circuitos trifásicos

circuitos trifásicos

(Parte 1 de 2)

4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS

Este capítulo inicia-se com algumas definições importantes, que serão utilizadas ao longo do texto. Em seguida são apresentados métodos de cálculo para a análise de circuitos trifásicos alimentando cargas trifásicas equilibradas, ligadas através das duas formas possíveis, em estrela e em triângulo. Em continuação, apresenta-se o tópico de potência em sistemas trifásicos, quando são definidos os conceitos de potência ativa, reativa e aparente.

Define-se como “sistema de tensões trifásico e simétrico” (a 3 fases) um sistema de tensões do tipo:

eE t e E e eE t e E e e eE t E t e E e e

M jt

M j t

M M j t cos cos cos

E, pelos fasores, tem-se:

em que EEM=2 representa o valor eficaz da tensão.

Para entendimento de como um sistema trifásico é gerado, parte-se de um gerador monofásico. Nos terminais de uma bobina que gira com velocidade angular constante, no interior de um campo magnético uniforme, surge uma tensão senoidal cuja expressão é

544. CIRCUITOS TRIFÁSICOS em que θ representa o ângulo inicial da bobina. Ou melhor, adotando-se a origem dos tempos coincidente com a direção do vetor indução, θ representa o ângulo formado pela direção da bobina com a origem dos tempos no instante t=0.

Assim, é óbvio que, se sobre o mesmo eixo forem dispostas três bobinas deslocadas entre si de 23πrad e girar o conjunto com velocidade angular constante no sentido horário, no interior de um campo magnético uniforme, nos terminais das bobinas aparecerá um sistema de tensões de mesmo valor máximo e defasadas entre si de 23πrad, conforme

Figura. 4.1.

(a) - Bobinas do gerador

(b) - Valores instantâneos das tensões

Figura 4.1. Obtenção de um sistema trifásico de tensões

Define-se, para um sistema polifásico simétrico, “seqüência de fase” como sendo a ordem pela qual as tensões das fases passam pelo seu valor máximo. Por exemplo, no sistema trifásico da Figura. 4.1, a seqüência de fase é A-B-C, uma vez que as tensões passam consecutivamente pelo valor máximo na ordem A-B-C. Evidentemente, uma alteração cíclica não altera a seqüência de fase, isto é, a seqüência A-B-C é a mesma que B-C-A e que C-A-B. À seqüência A-B-C é dado o nome “seqüência direta” ou “seqüência

ELETROTÉCNICA GERAL 5 positiva”, e à seqüência A-C-B, que coincide com C-B-A e B-A-C, dá-se o nome de “seqüência inversa” ou “seqüência negativa”.

Exemplo 4.1

Solução: Sendo a seqüência de fase B-A-C, a primeira tensão a passar pelo valor máximo será vB, a qual será seguida, na ordem, por vA e vC . Portanto, deverá ser:

em que θ representa o ângulo inicial ou a rotação de fase em relação à origem. No instante t=0, tem-se:

Ao definir os sistemas trifásicos, observa-se que, entre as grandezas que os caracterizam, há uma rotação de fase de ±°120; portanto é bastante evidente pensar num operador que, aplicado a um fasor, perfaça tal rotação de fase. Assim, define-se o operador α, que é um número complexo de módulo unitário e argumento 120°, de modo que, quando aplicado a um fasor qualquer, transforma-o em outro de mesmo módulo e adiantado de 120°. Em outras palavras,

|j (4.2)

564. CIRCUITOS TRIFÁSICOS

No tocante à potenciação, o operador α possui as seguintes propriedades:

que é muito importante e será amplamente utilizada neste texto.

4.2SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS E EQUILIBRADOS COM CARGA EQUILIBRADA – LIGAÇÕES

4.2.1LIGAÇÕES EM ESTRELA

Supondo que sejam alimentadas, a partir dos terminais das três bobinas do item precedente, três impedâncias quaisquer, ZZRjX==+|ϕ, porém iguais entre si

(carga equilibrada). É evidente que os três circuitos assim constituídos (Figura. 4.2) formam três circuitos monofásicos, nos quais circularão as correntes:

EZ EjZ E Z

Isto é, nos três circuitos circularão correntes de mesmo valor eficaz e defasadas entre si de 23πrad (ou 120)°.

Observa-se que os três circuitos são eletricamente independentes, e portanto pode-se interligar os pontos NA, NB e NC, designados por N, sem que isso venha a causar qualquer alteração nos mesmos. Por outro lado, observa-se que os pontos ′′′NNNABC , e

ELETROTÉCNICA GERAL 57 estão ao mesmo potencial que o ponto N; logo, podem ser interligados designando-os por ′N . A corrente que circula pelo condutor N′ é dada por

pois as três correntes aferentes ao nó ′N têm o mesmo valor eficaz e estão defasadas entre si de 2π/3 rad. Deve-se salientar a mesma conclusão poderia ser obtida, observando que os pontos N e ′N estão no mesmo potencial.

(a) - Três circuitos monofásicos A A´

(b) - Circuito trifásico

Figura 4.2. Sistema trifásico com gerador e carga ligados em estrela

O condutor que interliga os pontos N e ′N recebe o nome de fio neutro ou quarto fio. Evidentemente, sendo nula a corrente que o percorre, poderia ser retirado do circuito.

Observa-se aqui uma das grandes vantagens dos sistemas trifásicos. Para a transmissão da mesma potência, são utilizados 3 ou 4 fios, enquanto seriam necessários 6 fios se fossem utilizados 3 circuitos monofásicos (conforme observa-se da Figura. 4.2).

584. CIRCUITOS TRIFÁSICOS

Ao esquema de ligação assim obtido é dado o nome de circuito trifásico simétrico com gerador ligado em "estrela" (Y) e carga "equilibrada em estrela" (Y), dando-se o nome de "centro-estrela" ao ponto N ou N.

Definem-se:

(1)Tensão de fase:tensão medida entre o centro-estrela e qualquer um dos terminais do gerador ou da carga;

(2)Tensão de linha:tensão medida entre dois terminais (nenhum deles sendo o "centroestrela") do gerador ou da carga. Evidentemente, define-se a tensão de linha como sendo a tensão medida entre os condutores que ligam o gerador à carga; (3)Corrente de fase:corrente que percorre cada uma das bobinas do gerador ou, o que é o mesmo, corrente que percorre cada uma das impedâncias da carga;

(4)Corrente de linha:corrente que percorre os condutores que interligam o gerador à carga (exclui-se o neutro).

Salienta-se que as tensões e correntes de linha e de fase num sistema trifásico simétrico e equilibrado têm, em todas as fases, valores eficazes iguais, estando defasadas entre si de

2π/3 rad. Em vista deste fato, é evidente que a determinação desses valores num circuito trifásico com gerador em Y e carga em Y, resume-se à sua determinação para o caso de um circuito monofásico constituído por uma das bobinas ligada a uma das impedâncias por um condutor de linha, lembrando ainda que a intensidade de corrente no fio neutro é nula.

Em tudo o que se segue, valores de fase são indicados com um índice F e os de linha com índice L ou sem índice algum.

De acordo com as definições apresentadas, tem-se a Tabela. 4.1, que apresenta todos os valores de linha e de fase para o circuito da Figura. 4.1.

ELETROTÉCNICA GERAL 59

Tabela 4.1. Grandezas de fase e linha (em módulo) num trifásico simétrico e equilibrado ligado em estrela

Valores de faseValores de linha

Gerador Carga Gerador Carga Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão

Passa-se a determinar as relações existentes entre os valores de fase e de linha, iniciando por observar que, para a ligação estrela, as correntes de linha e de fase são iguais, isto é,

&&&&&&IIIIIIANABNBCNC===,,

Para a determinação da relação entre as tensões, adota-se um trifásico com seqüência de fase direta, ou seja,

As tensões de linha são dadas por

Utilizando matrizes, tem-se: &

Salienta-se porém que

604. CIRCUITOS TRIFÁSICOS

j |

Portanto &

Da Equação. (4.4), observa-se que, para um sistema trifásico simétrico e equilibrado, na ligação estrela, com seqüência de fase direta, passa-se de uma das tensões de fase à de linha correspondente multiplicando-se o fasor que a representa pelo número

Exemplo 4.2

Uma carga equilibrada ligada em estrela é alimentada por um sistema trifásico simétrico e

(a)as tensões de fase na carga; (b)as tensões de linha na carga.

Solução: (a) Tensões de fase na carga

Sendo o trifásico simétrico, sabe-se que os módulos de todas as tensões de fase são iguais entre si. Logo,

Por outro lado, sendo a seqüência de fase direta, sabe-se que, partindo da fase B, deverão passar pelo máximo, ordenadamente, as fases C e A. Logo, o fasor &VBN está adiantado de

ELETROTÉCNICA GERAL 61

Finalmente, resulta:

Usando matrizes, tem-se: &

(b) Tensões de linha na carga

De (4.4), resulta:

Figura 4.3. Diagrama de fasores para o Ex. 4.2

624. CIRCUITOS TRIFÁSICOS

Exemplo 4.3 Resolver o exemplo 4.2 admitindo-se seqüência de fase inversa. Solução: (a) Cálculo das tensões de fase na carga

Como no exemplo precedente, os módulos das tensões de fase são todos iguais e valem 220 V .

Para a determinação da fase de &VCN e &VAN salienta-se que, em sendo a seqüência de fase inversa (B-A-C) o fasor &VAN está atrasado de 120° em relação ao fasor &VBN, e o fasor &VCN

(b) Cálculo das tensões de linha na carga

De (2.2), resulta:

Para a resolução de circuitos trifásicos, pode-se proceder do mesmo modo que para os monofásicos, isto é, pode-se utilizar análise de malha ou nodal ou, ainda, qualquer dos métodos aplicáveis à resolução dos circuitos monofásicos. Porém, como será visto a seguir, o cálculo do circuito fica bastante simplificado levando-se em conta as simetrias existentes nos trifásicos simétricos com carga equilibrada.

Exemplificando, suponha que se queira resolver o circuito da Figura. 4.4, no qual conhecem-se as tensões de fase do gerador (seqüência direta) e as impedâncias da linha e da carga, ′ZZe, respectivamente. Pretende-se determinar as correntes nas três fases.

São conhecidos:

ELETROTÉCNICA GERAL 63

Figura 4.4. Circuito trifásico em estrela

Pode-se resolver o circuito, observando que, num sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada, os pontos N e ′ estão ao mesmo potencial, ou seja

Logo, pode-se interligá-los por um condutor sem alterar o circuito, dado que nesse condutor não circulará corrente. Nessas condições, o circuito da Figura. 10 transforma-se no da Figura. 4.5, no qual têm-se três malhas independentes:

NAA'N'N , NBB'N'N e NCC'N'N

Portanto as três correntes valerão

644. CIRCUITOS TRIFÁSICOS

Figura 4.5. Circuito trifásico em estrela com neutro

Deve-se notar que tudo se passa como se fosse resolvido o circuito monofásico da Figura. 4.6, no qual interligam-se os pontos N e ′ por um fio de impedância nula.

Figura 4.6. Circuito monofásico equivalente

Exemplo 4.4

Um alternador trifásico alimenta por meio de uma linha equilibrada uma carga trifásica equilibrada. São conhecidos:

(1)a tensão de linha do alternador (380 V) e a freqüência (60 Hz); (2)o tipo de ligação do alternador (Y); (3)o número de fios da linha (3);

(4)a resistência (0,2 Ω) e a reatância indutiva (0,5 Ω) de cada fio da linha; (5)a impedância da carga (3 + j 4 Ω).

Pedem-se:

(a)as tensões de fase e de linha no gerador; (b)as correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador; (c)as tensões de fase e de linha na carga;

ELETROTÉCNICA GERAL 65

(d)a queda de tensão na linha (valores de fase e de linha); Solução:

(a) Tensões de fase e de linha no gerador Admitindo-se seqüência de fase A-B-C, e adotando VAN com fase inicial nula, resulta

(b) Determinação da intensidade de corrente

O circuito a ser utilizado para a determinação da corrente é o da Figura. 4.7.b, no qual temse

(a) Circuito trifásico

664. CIRCUITOS TRIFÁSICOS

(b) Circuito monofásico equivalente Figura 4.7. Determinação do circuito monofásico equivalente.

(c) Tensão na carga (i)valores de fase:

(d) Queda de tensão na linha (i)valores de fase:

(i)valores de linha:

ELETROTÉCNICA GERAL 67

4.2.2LIGAÇÕES EM TRIÂNGULO

Suponha as três bobinas do item anterior, porém ligadas a três impedâncias Z iguais entre si, conforme indicado na Figura. 4.8. Notar que as malhas A'N'ANA, B'N'BNB e C'N'CNC são eletricamente independentes; logo, pode-se interligar os pontos C e NB sem alterar em nada o circuito. Por outro lado, os pontos C' e N'B estão ao mesmo potencial; logo, podem ser interligados, e pode-se substituir os condutores C-C' e NB-N'B por um único condutor. Os pontos comuns CNB e C'N'B serão designados por C e C', respectivamente. Após realizar a interligação desses pontos, observa-se que a malha

A'N'ANA é eletricamente independente do restante do circuito; portanto, por raciocínio análogo, pode-se interligar os pontos ANC e A'N'C , designados por A e A',

pois

respectivamente. Finalmente, observa-se que os pontos B e NA estão ao mesmo potencial,

e que os pontos B' e N'A também estão ao mesmo potencial, pois

Portanto, pode-se interligar os pontos BNA e B'N'A obtendo os pontos B e B', respectivamente. Assim, tem-se o circuito da Figura. 4.8.b, no qual o gerador e a carga estão ligados em triângulo.

(a) - Três circuitos monofásicos

684. CIRCUITOS TRIFÁSICOS

B BC C

(b) - Circuito trifásico com gerador e carga em triângulo Figura 4.8. Representação da ligação triângulo

Salienta-se que a Equação. (4.5) é condição necessária para que seja possível ligar um gerador em triângulo sem que haja corrente de circulação.

De acordo com as definições anteriores, as tensões de fase são:

no gerador:

As tensões de linha no gerador e na carga são:

As correntes de fase são:

no gerador:

As correntes de linha são:

Na ligação triângulo, quanto às tensões é evidente que há igualdade entre as de fase e as de linha. Para a determinação da relação entre as correntes de linha e de fase, adota-se

ELETROTÉCNICA GERAL 69 inicialmente um sistema trifásico simétrico e equilibrado com seqüência de fase direta, ou seja,

ou, com matrizes, &

Aplicando aos nós A', B' e C' da Figura. 4.8.b a 1a lei de Kirchhoff, obtem-se:

=− Matricialmente, tem-se:

ou seja, &

logo será

704. CIRCUITOS TRIFÁSICOS

Ou seja, num circuito trifásico simétrico e equilibrado, seqüência direta, com carga equilibrada ligada em triângulo, obtém-se as correntes de linha multiplicando as

Pode-se demonstrar que, analogamente a quanto foi feito, sendo a seqüência de fase inversa, as correntes de linha estarão adiantadas de 30° sobre as correspondentes de fase, isto é, para a seqüência de fase inversa, tem-se:

No caso da determinação das correntes de fase conhecendo-se as de linha, surge uma indeterminação. De fato, supondo-se uma seqüência de fase direta, os valores

representam uma terna de fasores de correntes de fase que satisfazem aos dados de linha.

Conforme já foi dito, os sistemas trifásicos podem ser resolvidos utilizando-se qualquer dos métodos de resolução de circuitos, porém, devido às simetrias existentes nos trifásicos, empregam-se soluções particulares que muito simplificam a resolução.

Suponha ter que resolver um circuito trifásico simétrico e equilibrado em que tem-se um gerador fictício ligado em triângulo que alimenta por meio de uma linha de impedância ′Z uma carga com impedância de fase Z, ligada em triângulo (Figura. 4.9).

ELETROTÉCNICA GERAL 71

Figura 4.9. Circuito trifásico em triângulo Resolvendo-se o sistema por correntes fictícias de malhas, resultam as equações:

das quais poderemos determinar os valores de αβγ,.e

Como a resolução do sistema acima é por demais trabalhosa, procura-se um novo caminho, a partir da aplicação da lei de Ohm à malha A'B'BA e das simetrias do sistema, para determinar o valor da corrente &IAB′′ . Adotando-se seqüência de fase direta, resulta

ou&&IIIABF−=3;logo

VI X XFF cossenϕϕ

724. CIRCUITOS TRIFÁSICOS e portanto

arc tg X R

Assim, tem-se

A Equação. (4.8) mostra que o problema proposto transforma-se no da determinação da corrente que circula numa malha cuja f.e.m. vale &VAB e cuja impedância é 3′+Z.

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