Apostila Equações Diferenciais

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Se apresentam ou são transformáveis numa equação do tipo 0NdyMdx=+, onde M e N podem ser:

1.5.1 funções de uma variável	ou
1.5.2 produtos com fatores de uma só variável	ou

São equações de fácil solução, bastando isolar os termos de x e y e integrar.

a) ()()0dyxy2ydx1y2=+−−

b) 0xdyydx=−

Exemplos:

=⋅−⋅−⋅−

d) 13x

1.6 Exercícios

a) ()0ydxdy1x=−−

R: ()1xky−=

1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

=

R: 1

=⋅+	R: ()xsene

e) dx dyxy2y dx

=−−+++

R: c b y arctg2by axlnx a dx dyytgx

=−	R: ()kycosx=⋅

()0dy1xdx4xy22=++

R:

j) ()0dy2y3dxxy=⋅−−⋅

R: ()122kylnx6y=−

l) ()()0dyx3dxy2=−−+

R: ()()kx3y2=−+

=⋅+−⋅

R: ()22x1ky+=

4xe dx

2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):

==−

R: 12eyx2

==+−

2x dx dy

=	R: ()[]2 222x1elny+=

2x dx dy

3) Observe que a equação yx dx dy −

− = não é separável, mas se a variável y for substituída por uma nova variável v, definida por x y v=, então a equação se torna separável em x e v. Ache a solução da equação dada usando esta técnica.

1.7 Equações Homogêneas

Definição 8: Diz-se que uma função ()zy,x,f é homogênea se, substituindo-se x por kx, y por ky e z por kz, for verdadeira a igualdade ()()zy,x,fkkzky,kx,fm ⋅=, onde m é dito grau de homogeneidade.

y sen

yxyx yxyxyx,f 2

Definição 9: As equações homogêneas são do tipo, ou podem ser transformadas, em 0NdyMdx=+, onde M e N são funções homogêneas do mesmo grau.

Exemplos:

Então, NdyMdx−=

Seja 0NdyMdx=+ uma equação homogênea.

NM dx

Como a equação é homogênea, M e N têm o mesmo grau de homogeneidade m. Daí, se dividirmos M e N por xm , transformaremos

M − numa função do tipo x yF.

x yF dx

(I)

Se fizermos t x y = ou txy= e derivarmos em relação a x, teremos a equação dt xt

+=

(I)

Substituindo (I) em (I), F(t)

xt=+

dt x dx tF(t) dt

=− , que é uma equação de variáveis separáveis.

Exemplos:

1.8 Exercícios

2) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

=−−	R: k3xyx23

=−+

R:

2xy ekx=

c) ()()0dyyxdxyx=+−−

R: ky2xyx22

()()0dyxydxyx=−++

R:

y arctg2yxkln 2

i) x y e dy xy x klnlnxy

j) 0xdydxyx x y sec x ytgkxln

l) ()()0dyx3xy4ydxy3xy4x2222=+++++

R: ()()kyxyx

m) 0dyy x cosx x senydx

⋅

R:

x cossecky

n) ()0ydxdy2yx=+−

R: ()kxyy=−⋅

2) Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo: a) ()()2y ; 1 x; 0dy4yxdxy2x===+−− R: 092yxyx22=+−− xyx

x x y cosxy dx dy 3

3) Dadas as equações abaixo, verifique que a mudança para coordenadas polares, ()θcosrx⋅= e ()θsenry⋅=, transforma as equações em variáveis separáveis e, então, resolva as equações:

=−+

R: ()2

yxkxln + =

b) xyy xln xy dx

⋅=

R: ky

1.9 Equações Diferenciais Exatas

Definição 10: Uma equação na forma, ou redutível à forma 0NdyMdx=+ é diferencial exata se existe ()yx,U tal que:

(como 0dU= então ()cyx,U=)

Teorema: Sejam M e N funções contínuas e deriváveis. 0NdyMdx=+ é

diferencial exata se, e somente se, x y M ∂

Demonstração: ( ) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que 0NdyMdx=+ é diferencial exata. Então, ()yx,U∃ tal que ()cyx,U= e 0NdyMdxdU=+=.

Pela definição de diferencial total,

dy y

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