Apostila

Apostila Equações Diferenciais
(Parte 2 de 7)
Se apresentam ou são transformáveis numa equação do tipo 0NdyMdx=+, onde M e N podem ser:
1.5.1 funções de uma variável | ou |
1.5.2 produtos com fatores de uma só variável | ou |
São equações de fácil solução, bastando isolar os termos de x e y e integrar.
a) ()()0dyxy2ydx1y2=+−− | b) 0xdyydx=− |
Exemplos:
=⋅−⋅−⋅− | d) 13x |

1.6 Exercícios
a) ()0ydxdy1x=−− | R: ()1xky−= |
1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:
= | R: 1 |

=⋅+ | R: ()xsene |
e) dx dyxy2y dx
=−−+++ |
R: c b y arctg2by axlnx a dx dyytgx
=− | R: ()kycosx=⋅ |
()0dy1xdx4xy22=++ | R: |
j) ()0dy2y3dxxy=⋅−−⋅ | R: ()122kylnx6y=− |
l) ()()0dyx3dxy2=−−+ | R: ()()kx3y2=−+ |
=⋅+−⋅ | R: ()22x1ky+= |
4xe dx
2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
==− | R: 12eyx2 |
==+− |
2x dx dy
= | R: ()[]2 222x1elny+= |
2x dx dy
3) Observe que a equação yx dx dy −
− = não é separável, mas se a variável y for substituída por uma nova variável v, definida por x y v=, então a equação se torna separável em x e v. Ache a solução da equação dada usando esta técnica.
1.7 Equações Homogêneas
Definição 8: Diz-se que uma função ()zy,x,f é homogênea se, substituindo-se x por kx, y por ky e z por kz, for verdadeira a igualdade ()()zy,x,fkkzky,kx,fm ⋅=, onde m é dito grau de homogeneidade.
y sen
yxyx yxyxyx,f 2
Definição 9: As equações homogêneas são do tipo, ou podem ser transformadas, em 0NdyMdx=+, onde M e N são funções homogêneas do mesmo grau.
Exemplos:
Então, NdyMdx−= |
Seja 0NdyMdx=+ uma equação homogênea.
NM dx
Como a equação é homogênea, M e N têm o mesmo grau de homogeneidade m. Daí, se dividirmos M e N por xm , transformaremos
M − numa função do tipo x yF.
x yF dx
(I) |
Se fizermos t x y = ou txy= e derivarmos em relação a x, teremos a equação dt xt
+= | (I) |
Substituindo (I) em (I), F(t)
xt=+ |
dt x dx tF(t) dt
=− , que é uma equação de variáveis separáveis.
Exemplos:
1.8 Exercícios
2) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:
=−− | R: k3xyx23 |
=−+ | R: |
2xy ekx=
c) ()()0dyyxdxyx=+−− | R: ky2xyx22 |
()()0dyxydxyx=−++ | R: |
y arctg2yxkln 2
i) x y e dy xy x klnlnxy
j) 0xdydxyx x y sec x ytgkxln
l) ()()0dyx3xy4ydxy3xy4x2222=+++++ | R: ()()kyxyx |
m) 0dyy x cosx x senydx
⋅ | R: |
x cossecky
n) ()0ydxdy2yx=+− | R: ()kxyy=−⋅ |
2) Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo: a) ()()2y ; 1 x; 0dy4yxdxy2x===+−− R: 092yxyx22=+−− xyx
x x y cosxy dx dy 3
3) Dadas as equações abaixo, verifique que a mudança para coordenadas polares, ()θcosrx⋅= e ()θsenry⋅=, transforma as equações em variáveis separáveis e, então, resolva as equações:
=−+ | R: ()2 |
yxkxln + =
b) xyy xln xy dx
⋅= | R: ky |
1.9 Equações Diferenciais Exatas
Definição 10: Uma equação na forma, ou redutível à forma 0NdyMdx=+ é diferencial exata se existe ()yx,U tal que:
(como 0dU= então ()cyx,U=)
Teorema: Sejam M e N funções contínuas e deriváveis. 0NdyMdx=+ é
diferencial exata se, e somente se, x y M ∂
Demonstração: ( ) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que 0NdyMdx=+ é diferencial exata. Então, ()yx,U∃ tal que ()cyx,U= e 0NdyMdxdU=+=.
Pela definição de diferencial total,
dy y
(Parte 2 de 7)