Apostila Equações Diferenciais

Apostila Equações Diferenciais

(Parte 3 de 7)

Udx x UdU ∂

dy y

Udx x

UNdyMdx ∂ x UM ∂

∂ = e y UN ∂ xy U y y x U x

Pelo teorema de Schwartz, xy U y x

Daí, x y M ∂

(⇐) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que x

N y M ∂

Seja 0NdyMdx=+.

U x x U y .

x UM ∂

∂ = e y UN ∂

dx x

UMdx ∂

= e dy y UNdy ∂

0dUdy y

Udx x

UNdyMdx == ∂

Logo, 0NdyMdx=+ é diferencial exata.

Exemplo: Verificar se a equação ()02xydydxyx22 =−− é diferencial exata.

Resolução: Sabemos que x y M ∂

∂ e queremos determinar a função ()yx,U tal que NdyMdxdU+=.

Seja =Mdxw a integral parcial de Mdx, isto é, a integral obtida quando se considera y constante ()()yx,M=.

Mostraremos que y wN ∂

∂ − é função apenas de y:

w y x x y wN x

= Mdx y x x

= Mdx xy x

∂= M y x

M x

Se tomarmos dy wNdy y wdx x wdU

= dy y wNdydy y wdx Mdx x

NdyMdx+=.

Logo, ()cdy

NMdxyx,U =

−+=é a solução geral da equação.

Exemplos:

1.10 Fator Integrante Quando a equação ()()0dyyx,Ndxyx,M=+ não é diferencial exata, isto é,

x N y M ∂

∂∂ , pode-se transformá-la em uma diferencial exata multiplicando-se um

()yx, λ, denominado fator integrante.

Pesquisa do Fator Integrante: Seja ()yx, λ fator integrante de 0NdyMdx=+.

x N y M ∂

x N N x y

M M y ∂

M x N x N y

Esta equação é uma equação diferencial parcial de 1a ordem em λ e, portanto, sua solução não poderia ser efetuada por enquanto.

Assim, ela se simplifica supondo-se λ função apenas de x ou de y.

Suponhamos ()x λλ=. Então, 0

Daí e de (2), temos:

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