Apostila Equações Diferenciais

Apostila Equações Diferenciais

(Parte 4 de 7)

M x N x N N1 x

1 λ λ y M N1 x

Como λ é função apenas de x, seja y M N

λ
1dxxR

du u λ

ou

dx x y M N1

Analogamente, se ()y λλ=,

ou

dy y x N M1

Observe que, pelo processo adotado, pode-se obter um fator integrante e não todos os fatores, de modo que as restrições adotadas não prejudicam a pesquisa deste fator.

Exemplos:

1.1 Exercícios

3) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) ()()0dy23yxdx1y2x=−+−+− R: k4y3y2x2xy2x22=+−+−

+⋅

c) 0dyy 3xydx

+R: Cy1yx32

e) 22yx ydxxdyydyxdx +

=+R: ()k4xyyx222
g) ()()()()()()0dw2twtgwsecdtwttgtsec=+−⋅+−⋅
=⋅+⋅+⋅+⋅

dye3yycosteyysen2t t22t3

yx dx k) yxy xyx

−=R: kyyxx2222=++
l) ()02xdydx2yx=−−R: ()C4yxx=−⋅

o) 0dyyxyxdxyxxy 2

+⋅−
=⋅++⋅++
q) ()()()()0dy 2ysenh2xsenhdx 2ycosh2xcosh=⋅+⋅

s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyxcotgycotgycossec2xyedxxcossecycossece 2 y2y

1dx2x yxx

R: Kx

a) ()0xdydxxyx23=+−R:

4) Determine os fatores integrantes para as seguintes equações: 3

e x

=−+R:

b) ( ) 0dyyxyeydx 2y yee

d) ()0dyxdx2xyx23=+−R: 4x

5) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

()02xydydxyx22=+−R: Cx
b) xdyydxdyy2=+R: Cyxy2=+
=−+R: ()kyyxln32=+
dy2x−+=R: 1ekeyx2x+⋅=−

f) 1ye dx

=−+R: ()()Cxxln1x9y34

6) Mostre que as equações abaixo não são exatas mas tornam-se exatas quando multiplicadas pelo fator integrante dado ao lado. Portanto, resolva as equações:

xyeyx, ; 0dyy xcos2eycosdxxsen2e y

7) Achar a solução particular para 0x= na equação:

8) Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI):

4yye dx dy 2xy yxxln3x dx

7) Determine a constante a de modo que a equação seja exata e, então, resolva a equação resultante:

axeyex2xy2xy=++R: kex

dyy 1axy1x

++R:

1.12 Equações Lineares

Se apresentam, ou podem ser transformadas, na forma QPy dx dy =+, onde P e

Q são funções de x ou constantes.

Observe que, neste tipo de equação,

Pdx e é fator integrante.

De fato, QPy dx

=+()0dydxQPy=+−

( ) 0dyedxQPye

Pdx− =λ e = PdxeN λ.

∂ PdxeP y

∂ PdxeP x

Daí, transformamos a equação linear em outra diferencial exata. Vamos achar, então, sua solução:

()()Cdy dx QPye y edxQPye PdxPdxPdx

−⋅(1)
−⋅dxQedxePydxQPye

PdxPdxPdx

PdxPdxedx QPye y (3)

= − + ⋅ − ⋅ CdyeedxQeey PdxPdxPdxPdx

CdxQeey PdxPdx +

⋅ = ⋅

que é a solução geral de uma equação linear de 1a ordem e 1o grau.

Exemplos:

x=+c) 2x

xy dx

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