Apostila Equações Diferenciais

Apostila Equações Diferenciais

(Parte 5 de 7)

l) xey dx

1.13 Exercícios

1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

a) ()()xsenxtgy dx xsen xsecy 2

()()()0dxycosdy1ysenx=−−+

( ) 0x xcotgxy dx e) ()()xcosxtgy dx

1 xsecy f) 2xy dx

x=−R: 2xCxy+=

2y dx

=+R:

i) xy dx

=+R: xek1xy−⋅+−=

j) ()xseny dx

=+R:

l) ( ) yyylnx

y x

6y dy dx p) ()xarctgxyx2 dx

⋅=⋅−R: ()

( )xsen xcosy1xsen dx

()()()()[]0dx1xcosxsenxydyxcosx=⋅−+⋅⋅+⋅⋅

xy dx

dx dyxlnx=+⋅⋅ R:

kxlnlny −+=

2) Achar a solução particular para 0y= e 0x= na equação:

( ) ( )xsecxtgy dx

=⋅−R: ()xsecxy⋅=

3) Achar a solução particular para by= e ax= na equação:

0ey dx

=−+⋅R: ()axeabe

1.14 Equações Redutíveis às de Variáveis Separáveis

cybxa cybxaF dx constantes e o determinante 0 ba

1 =, podem ser redutíveis a variáveis separá- veis. Se o determinante acima é zero, então 0baba1221=−.

c m≠ (caso fosse igual seria possí-

vel uma simplificação na forma da equação, não sendo necessário, então, o processo em descrição).

Levando (2) em (1), temos:

cymbxma cybxaF dx cybxam cybxaF dx

Seja ybxat 1 +=

xatyb11−=()xat
−=

dx dtb1 dx

G(t) cmt ctFa dx dtb1 2

G(t)a

dx dtb1

+⋅=

dt dx

, que é uma equação de variáveis

separáveis.

Exemplos:

1.15 Equações Redutíveis às Homogêneas

cybxa cybxaF dx constantes e o determinante 0 ba

2 1≠, podem ser reduzidas à forma das homogê- neas.

Considerando o sistema =++

, com solução genérica α=x e β=y.

Reintroduzindo x e y na equação (1) como =∴+= dydvvy dxduux βα

(geome- tricamente equivale a uma translação dos eixos coordenados para o ponto ()βα, que é a interseção das retas componentes do sistema (2), o que é verdadeiro, uma vez que o determinante considerado é diferente de zero).

cbvbaua cbvbauaF cvbua cvbuaF du dv βα βα βα βα

cbavbua cbavbuaF βα βα (vemos, em (2), que α e β são soluções do sistema)

vbua vbuaF du

2 1 que é uma equação homogênea.

1.16 Exercícios

Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) ()()0dy23y2xdx13y2x=+++−+ R: ()k73y2xln3y3x9=+−−++

f) ()()0dy85yxdxx3y=−+++

1.17 Aplicações

Problemas, fenômenos, processos etc. que dependem (são funções) de uma variável contínua (independente) podem sempre ser representados (modelados) por uma equação diferencial. Geralmente a variável (contínua) independente é tempo, distância, tamanho, velocidade, volume, etc. A variável dependente (função) deve ser aquela que melhor caracteriza (descreve) o fenômeno ou processo que se deseja modelar.

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