Apostila Equações Diferenciais

Apostila Equações Diferenciais

(Parte 6 de 7)

A modelagem – representação matemática de um enunciado em palavras – de um fenômeno, processo etc. é facilitada se forem levadas em consideração as seguintes sugestões:

a – no enunciado do problema reconheça a variável dependente e represente-a por

uma função ( f ) da variável independente ( x ) b – Represente uma “taxa de variação” pela derivada da função em relação à variável independentedfxdx() c – Represente a frase “proporcional a ...” por “=kgx()” onde gx()pode ser a própria f(x) ou o x ou uma outra função ( g ) de f e/ou de x , conforme especificado no enunciado.

d – A constante de proporcionalidade k pode ser positiva ou negativa, dependendo se f(x) cresce ou decresce – de acordo com o enunciado.

Após a montagem da equação diferencial esta deve ser resolvida. Os valôres da constante k e da constante arbitrária (proveniente da solução da equação diferencial) serão determinados pelas condições iniciais dadas no enunciado do problema

- 1.18 Exemplos

1. A taxa de crescimento de um investimento na bolsa de valores é proporcional ao investimento a cada instante. Determine a equação (modelo matemático) que rege o investimento com o tempo.

Sejat - tempo ( variável independente)
f ( t )- valor do investimento no instante t (variável dependente)

df t dt

( ) - taxa de crescimento do investimento com o tempo

=kft() - representando o “proporcional ao investimento”

Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema:

df t

()()= onde k > 0 por ser a taxa de investimento crescente (pelo

k f t enunciado do problema)

2. Experiências mostram que uma substância radioativa se decompõe a uma taxa

proporcional à quantidade de material radioativo presente a cada instante. Obtenha a equação diferencial que modela o fenômeno.

Sejat - tempo ( variável independente)

f ( t ) - quantidade (massa) de substância presente no instante t df t dt

( ) - taxa de variação da quantidade de substância

=kft() - representando o “proporcional à quntidade de substância”

Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema:

df t k f t ()()= onde k < 0 por haver decaimento (pelo enunciado do problema)

3. Qual a equação diferencial que vai permitir determinar a velocidade inicial mínima de um corpo o qual é disparado na direção radial da terra e que é suposto escapar desta. Despresar a resistência do ar e a atração gravitacional de outros corpos celestes.

Sejat - tempo ( variável independente)

v ( t ) - velocidade do corpo no instante t

Física Classica (Lei de Newton) que a aceleração radial a uma distância r do centro da terra

Aqui o problema é mais complexo por não enunciar a proporcionalidade. Mas, sabemos da ( a(r) ) é inversamente proporcional ao quadrado da distância ( r ) do corpo ao centro da terra.

Assim, temos

a r k r

2onde k < 0 por ser a aceleração dirigida para o centro da terra.

= 1 A constante k é facilmente determinada lembrando que

=−=−9812,onde R é o raio da terra ( Rm=638106

a R g ms ,. )

Assim,
2donde

Por outro lado, sabemos que a r d v d t

()= onde vt d r d t = - taxa de variação da distância radial com o tempo.

Logo, juntando tudo e notando que desejamos a variação de v com r ( e não com t ) a r d v d r d r d t d v

Assim , finalmente, a equação procurada será

4 – Sabendo que o volume de uma gota, suposta esférica , decresce por evaporação a uma taxa proporcional à área de sua superfície, determine a equação do raio da gota em função do tempo

Sejat - tempo ( variável independente)

V ( t ) - volume da gota no instante t

S( t ) - superfície da gota no instante t Então do enunciado temos d t kS= onde k < 0 pois V decresce com o tempo

Como a gota é esférica,

onde r ( t ) = raio da gota no instante t

Substituindo V e S na equação diferencial teremos dt r k r

432pipi=, k < 0

d v d r v gR r

Derivando

dt kr=

Simplificando, temos finalmente d r

k= , k < 0

d t

Integrando, temos a equação que exprime o raio da gota em função do tempo rtktr =+0 onde r0= raio da gota no instante t=0 ( constante de integração)

- 1.19 Exercícios

1- No Exemplo n° 1 sabe-se que um investimento de R$ 100 rendeu R$ 4 após 6 anos. Determine qual foi o rendimento deste investimento nos 3 primeiros anos.

Resposta: R$ 20

2- No Exemplo n° 3 determine:

a) a distância radial do centro da terra na qual o corpo pára e começa a retornar à terra em queda livre sabendo que a velocidade inicial no lançamento foi de 3600 km/h b) a velocidade inicial mínima necessária para o corpo escapar da gravitação terrestre e nunca mais retornar.

3- No Exemplo n° 4 determine o tempo necessário para a gota evaporar por completo, sabendo que a gota inicialmente tinha 1 m de diâmetro e que o tempo em que uma outra gota de 0,5 m diâmetro evaporou foi de 10 minutos

4- a) Determine a equação diferencial cujas curvas integrais são círculos de raio e cujos

Resposta: 20 minutos centros estejam sobre o eixo das ordenadas.

b) Quais são as duas soluções singulares da equação diferencial determinada no item (a)

Resposta: a) d y

5- Um tanque vertical tem uma pequena fenda no fundo. Supondo que água escape do tanque a uma taxa proporcional à pressão da água sobre o fundo e sabendo que 5 % de água escapou no primeiro dia, determine o tempo necessário para que o nível da água no tanque chegue á metade.

Resposta: 13,5 horas

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