Apostila matemática finaceira e análise de investimento

Apostila matemática finaceira e análise de investimento

(Parte 2 de 5)

n = n

FV = FV

Exemplos:

  1. Determinar a taxa anual ia equivalente, conhecida a taxa mensal im no regime de capitalização composta:

FV = FV

PV (1 + ia) = PV (1 + im)12

ia = (1 + im)12 - 1

  1. Determinar a taxa mensal im equivalente, conhecida a taxa anual ia de juros compostos.

FV = FV

PV (1 + ia) = PV (1 + im)12

- 1 = im ou im = (1 + ia) - 1

  1. Determinar a taxa mensal equivalente a 79,58563% ao ano no regime de capitalização composta.

FV = FV

PV (1 + ia) = PV (1 + im)12

PV (1 + 0,7958563) = PV (1 + im)12

- 1 = im

0,05 = im ou im = 0,05 = 5% ao mês

Obs.: Quando as unidades de medidas (taxa e período) são diferentes e não se quer fazer as transformações podemos usar:

Fórmula genérica: iq = (1 + it)q/t – 1 onde,

iq = taxa para o prazo que eu quero (em dias)

it = taxa para o prazo que eu tenho (em dias)

q = prazo que eu quero

t = prazo que eu tenho

Exemplos:

  1. Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65 % ao ano.

iq = (1 + it)q/t – 1

i183 = (1 +0,65)183/360 – 1

i183 = (1,65)183/360 – 1

i183 = 28,99% para o período de 183 dias

  1. Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês.

i491 = (1,05)491/30 – 1

i491 = 122,23% para o período de 491 dias.

  1. Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre.

i27 = (1,13)27/90 – 1

i27 = 3,73% para o período de 27 dias.

Exercícios:

  1. Determinar a taxa anual equivalente a 5% ao mês, no regime de capitalização composta.

Resp.: 79,58563% ao ano

  1. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano, no regime de juros compostos.

Resp.: 4% ao mês.

  1. Determinar a taxa efetiva anual, no regime de capitalização composta, sabendo-se que a taxa diária é de 0,19442%.

Resp.: 101,22% ao ano

  1. Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos, no regime de capitalização composta.

Resp.: 5% ao trimestre.

  1. Determinar a taxa efetiva para um período de dois anos da aplicação de uma taxa trimestral de 5% capitalizada trimestralmente.

Resp.: 47,746% para o período de dois anos

  1. Calcular o montante de uma aplicação de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de 3,25% ao mês capitalizada mensalmente.

Resp.: $ 18.173,25

  1. No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de $20.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondente a uma taxa de 4% ao mês capitalizada mensalmente. Pergunta-se: Qual o valor emprestado?

Resp.: $ 7.802,44

  1. A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no regime de capitalização composta, no valor de $16.000,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de $22.753,61 no final de 8 meses. Determinar:

  1. Os juros cobrados pela loja na operação de financiamento

  2. A taxa mensal cobrada pela loja

  3. A taxa efetiva anual do financiamento

Resp.: a) $ 6.753,61 b) 4,5% ao mês c) 69,588% ao ano

  1. Em que prazo um empréstimo de $30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de $51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao mês pelo regime de capitalização composta?

Resp.: 11 meses

Classificação das taxas de Juros

  1. Taxa Linear e Taxa Exponencial referem-se ao regime de capitalização utilizado

Linear  juros simples

Exponencial  juros compostos

  1. Taxas equivalentes. Duas ou mais taxas são equivalentes quando aplicadas sobre um mesmo capital, pelo mesmo período de tempo, produzem o mesmo montante.

Dentro desse conceito, uma taxa equivalente pode ser aplicada tanto no

juros simples quanto no composto. Contudo, a terminologia equivalente é

utilizada no mercado financeiro para designar uma taxa composta.

Já para o regime de juros simples é usada proporcional.

Diariamente ouvimos nos jornais e meios financeiros:

  • “As aplicações em Certificados de depósitos Bancários pagaram ontem uma taxa média de 20% ao ano, o que representa um rendimento bruto de 1,53% a mês”

  • “A taxa de inflação anual de determinado país foi de 30% ao ano, ou seja uma média mensal de 2,21% ao mês”

  • “As aplicações em poupança rendem juros de 6% ao ano, capitalizados mensalmente, correspondendo a uma taxa efetiva de 6,17% ao ano”

Como tais taxas são obtidas? Qual o processo para a conversão dessas taxas?

Fórmula genérica: iq = (1 + it)q/t – 1 onde,

iq = taxa para o prazo que eu quero (em dias)

it = taxa para o prazo que eu tenho (em dias)

q = prazo que eu quero

t = prazo que eu tenho

Obs.: capitalização  uma taxa de 10% ao mês é equivalente a 213,84%

ao ano

descapitalização  20% ao ano equivale a 1,53% ao mês

  1. Taxa proporcional: O conceito de taxa proporcional é usado no regime de capitalização simples. Ou seja: uma taxa de 1% ao dia é proporcional a 30% ao mês.

  1. Taxa efetiva ou real: é aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo do período de capitalização.

Exemplos: 5% a.m. – capitalização mensal

2% a.a. – capitalização anual

  1. Taxa nominal: é aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo do período de capitalização. É quase sempre fornecida em termos anuais.

Exemplos: 15% a.a. – capitalização semestral significa uma taxa efetiva de

= 7,5% a.s.

24% a.a. – capitalização trimestral  significa uma taxa

efetiva de = 6% a.t.

Exercícios:

  1. Encontrar a taxa de juro efetiva, relativa à taxa nominal de 36% ao ano:

  1. com capitalização mensal

  2. com capitalização bimestral

  1. Encontrar a taxa mensal de juro composto, equivalente a 9,2727% at.

  1. Qual a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 36% aa, com capitalização mensal?

  1. No Brasil, as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juro composto à taxa de 6% aa, com capitalização mensal. Pergunta-se:

  1. qual a taxa efetiva mensal?

  2. qual a taxa efetiva anual?

  1. Um instituição financeira empresta dinheiro a 96% aa, adotando a capitalização mensal de juro composto. Qual seria o montante a ser pago por um empréstimo de $45.000,00 feito por um ano?

  1. Aplicando o valor de $2.000,00, hoje, a uma taxa de juros efetiva de 69,58814% a.a., quanto será o resgate daqui a 75 dia, no regime de juros compostos?

DESCONTO

Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida.

Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.

O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro.

Títulos de Crédito

Títulos de crédito são instrumentos jurídicos reconhecidos e definidos pelo Direito Comercial, que desempenham relevante papel no desenvolvimento econômico de um país, e valem por tudo aquilo que estiver estipulado.

Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio.

  1. A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira.

  2. A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.

  3. A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.

DEVEDOR E CREDOR  os participantes de um acordo, no qual um empresta o dinheiro e o outro pega emprestado

COMPROVANTE DA DÍVIDA  título de crédito

Desconto

Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:

  • que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento;

  • que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.

Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.

As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, ou seja, é o resgate de um título antes da sua data de vencimento. E o ato de efetuá-las é chamado descontar um título.

DATA DE VENCIMENTO  podendo o devedor pagar antes ou o credor repassar esse

título  ABATIMENTO  DESCONTO

TÍTULOS DE CRÉDITO  nota promissória

duplicata

letra de câmbio (caiu em desuso)

DESCONTO  devedor pague antes ou o credor necessite do dinheiro antes

AMBOS OS CASOS  BENEFÍCIO  DESCONTO  ACORDO

Além disso:

  • dia de vencimento é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) da aplicação,

  • futuro valor (valor assumido pelo título na data de seu vencimento), também conhecido e expresso no mercado financeiro como: valor futuro de um título, valor nominal, valor face do título e valor de resgate.

  • presente valor (valor assumido pelo título na quitação ou negociação realizada antes da sua data de vencimento), também denominado como: valor presente de um título, valor creditado ou pago ao seu titular, valor descontado, valor líquido creditado, crédito gerado por um título.

  • o período é aquele período correspondente a antecipação do resgate do título, isto é, o período compreendido entre a data do resgate antecipado e a efetiva data do vencimento.

Desconto é a quantia a ser abatida do futuro valor, isto é, a diferença entre o futuro valor e o presente valor.

D = FV – PV

Classificação de desconto

A operação de desconto é realizada nos regimes de capitalização simples e composta originando os seguintes tipos de descontos:

  1. Desconto simples por fora, bancário ou comercial;

  2. Desconto simples por dentro ou racional;

  3. Desconto composto por fora, bancário ou comercial;

  4. Desconto composto por dentro ou racional.

Características do desconto

  1. d = taxa de desconto

  2. n = período

  3. desconto por fora, bancário ou comercial (simples ou composto): a taxa de desconto incide sobre o capital denominado como FV (futuro valor, montante, etc.)

  4. desconto por dentro ou racional (simples ou composto): a taxa de desconto incide sobre o capital denominado PV (presente valor, valor descontado, etc.)

DESCONTO SIMPLES

1. Desconto Simples bancário (para prazos curtos)

(J.S.) (FV)

É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizada, principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo, por esta razão, também conhecido por desconto bancário ou comercial.

J = PV . i . n D = FV . d . n

J = FV – PV D = FV – PV ou PV = FV – D

FV = PV . (1 + i . n) ou PV = FV – FV . d . n

PV = FV . (1 – d . n)

2. Desconto Simples racional (o menor desconto se fosse o J.S. o mais

utilizado) não é usado por exclusão

(J.S.) (PV)

J = PV . i . n D = PV . d . n

FV = PV . (1 + i . n) FV = PV . (1 + d . n)

PV = ___FV___ PV = ___FV___

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