Apostila matemática finaceira e análise de investimento

Apostila matemática finaceira e análise de investimento

(Parte 3 de 5)

1 + i . n 1 + d . n

em D = PV . d . n substitui o PV

D = ___FV___. d . n

1 + d . n

DESCONTO COMPOSTO

1. Desconto composto bancário (descontos sucessivos sobre o FV, não é aplicável

no Brasil)

(J.C.) (FV)

FV = PV (1 + i)n PV = FV (1 – d)n

D = FV – PV

D = FV – FV (1 – d) n

D = FV (1– (1 – d) n )

2. Desconto composto racional (o mais justo , sobre a mesma taxa, o que seria o J

seria o D)

(J.C.) (PV)

FV = PV (1 + i)n FV = PV (1 + d)n ou

PV = ___FV___

(1 + d )n

D = FV – PV

D = FV – ___FV___

(1 + d )n

Obs.: Este desconto por ser igual ao juro composto, tem a mesma aplicação e a taxa utilizada é a taxa efetiva.

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando os seus valores atuais (PV), nessa época, forem iguais.

Obs.: A equivalência de capitais é utilizada sempre que quisermos saber se duas formas de pagamento se eqüivalem, por isso o seu uso sempre se faz necessário nas substituições de títulos (um título por outro, um título por vários, vários títulos por um único, vários títulos por vários títulos) sem que haja prejuízo para o credor ou devedor.

EXERCÍCIOS

  1. Uma duplicata no valor de $ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de $ 5.776,40 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,5% ao mês para o desconto simples bancário, determinar o prazo de vencimento da duplicata.

Resp.: 4 meses e 9 dias

  1. Qual a taxa mensal de desconto simples por fora, utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 880,00 ?

Resp.: 3% ao mês

  1. Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto simples de uma duplicata no valor de $ 3.400,00, com prazo de 45 dias, sabendo-se que o banco está cobrando nesta operação uma taxa de desconto bancário de 4% ao mês.

Resp.: $ 3.196,00

  1. O desconto de uma duplicata gerou crédito de $ 8.700,00 na conta de uma empresa. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 75 dias até o seu vencimento e que o banco cobra uma taxa de desconto bancário de 5,2% ao mês nessa operação, calcular o valor da duplicata no regime de capitalização simples.

Resp.: $ 10.000,00

  1. Cinco títulos no valor de $ 1.000,00 cada um, com vencimentos de 30 a 150 dias respectivamente, foram descontados por uma instituição financeira. Sabendo-se que a taxa de desconto por fora cobrada é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto global e o valor liquido correspondente a ser creditado na conta do cliente no regime de capitalização simples.

Resp.: $ 450,00 $ 4.550,00

  1. Oito títulos no valor de $ 1.000,00 cada um, são descontados por um banco, cujo liquido correspondente no valor de $ 6.830,00 é creditado na conta do cliente. Sabendo-se que os vencimentos desses títulos são mensais e sucessivos a partir de 30 dias, calcular a taxa de desconto simples bancário, utilizada na operação.

Resp.: 3,25% ao mês

  1. Quero substituir um título de $ 5.800,00 vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 1,3 % ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título no regime de capitalização simples ?

Resp.: $ 5.961,28

Exercícios Extras

  1. Um título de valor nominal de $4.000,00, vencível em 1 ano, está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo a taxa de desconto de 6% ao mês, determinar:

  1. desconto simples bancário

  2. desconto simples racional

  3. desconto composto bancário

  4. desconto composto racional

Verificar qual desses descontos é mais vantajoso para o proprietário do título.

  1. Um título com valor nominal de $50.000,00 foi resgatado 15 dias antes de sua data de vencimento, à taxa de 90% ao ano, sob o critério do desconto composto racional. Qual foi o desconto concedido? Por quanto foi negociado?

  1. Sabe-se que o valor do desconto simples bancário de um título à taxa de 33% ao ano e prazo de desconto de 90 dias, atinge $ 585,00. Para estas mesmas condições, pede-se determinar o valor do desconto deste título se fosse adotado o conceito de desconto simples racional.

  1. Qual o valor máximo que uma pessoa deve pagar por um título de valor nominal de $8.200,00 com vencimento para 110 dias, se deseja ganhar 5% ao mês? (Usar desconto simples racional).

SÉRIES DE PAGAMENTOS – RENDAS

CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTA

Fluxo de Caixa

Como já mencionado, na página 2 desta apostila, o fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou de pagamentos, em dinheiro, previstos para determinado período de tempo.

A representação gráfica do fluxo de caixa é feita de acordo com os dados apresentados em cada caso, sendo as setas orientadas em função da interpretação do enunciado do problema.

  1. a escala horizontal representa tempo, dividido em dias, meses, anos, etc. Os pontos 0, 1, 2, 3, 4,..., n substituem as datas de calendário, e são estipulados em função da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas. Assim, o ponto 0 (zero) representa a data inicial (hoje), o ponto 1 (um) indica o final do primeiro período e assim por diante.

  2. saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas por setas apontadas para baixo.

  3. entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima.

Para ilustrar, vamos nos recorrer ao seguinte exemplo:

Um banco concede um empréstimo de $ 40.000,00 a um cliente, para pagamento em 6 prestações iguais de $ 9.000,00. Represente graficamente o fluxo de caixa.

Do ponto de vista do banco, a representação gráfica do fluxo de caixa é a seguinte:

9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000

0      

 1 2 3 4 5 6

40.000

Ou seja, há uma saída inicial de caixa no valor de $40.000,00 e a entrada de 6 parcelas de $9.000,00 cada uma nos meses seguintes. Do ponto de vista do cliente, a orientação das setas é feita no sentido inverso, como segue:

40.000

 1 2 3 4 5 6

     

9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000

Represente o fluxo de caixa da seguinte situação:

Recebimentos Previstos Pagamentos Previstos

Dia

Valor

Dia

Valor

05

10.000

09

12.000

11

28.000

14

14.000

17

9.000

17

7.000

25

16.000

28

20.000

Exercícios:

  1. Uma pessoa adquiriu um bem de $12.000,00 e pagou-o em 3 prestações iguais de $5.000,00, sendo a primeira no ato do empréstimo.

  2. Uma pessoa adquiriu um bem de $12.000,00 e pagou-o em 3 prestações iguais de $5.000,00, sendo a primeira um mês após receber o bem.

  3. Depositei em uma caderneta de poupança $300,00 por mês, durante 1 ano, sendo o primeiro depósito realizado na data da abertura da conta. Obtive com isso, um montante de $4.300,00 no final de um ano.

  4. Depositei em uma caderneta de poupança $300,00 por mês, durante 1 ano, sendo o primeiro depósito realizado no final do primeiro mês. Obtive com isso, um montante de $4.300,00 no final de um ano.

Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os meses uma certa quantia em, por exemplo, uma caderneta de poupança, quando queremos comprar um bem qualquer, podemos fazê-lo em prestações, a serem pagas mensalmente.

Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar uma dívida depositando ou pagando certa quantia, em épocas distintas.

No primeiro caso temos uma capitalização e no segundo, uma amortização.

Então:

Capitalização  ação de investimento periódica de uma quantia fixa, com taxa de juros fixos, com vistas a compor um determinado capital.

Amortização  ação de saldar uma dívida por meio de parcelas periódicas, constantes ou não.

As séries de pagamentos podem ser definidas como uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, e com vencimentos sucessivos t1, t2, t3, ... tn .

Rendas

A sucessão de depósitos ou de prestações, destinados a formar um capital ou pagar um dívida é denominada renda.

Os termos da sucessão de depósitos ou de prestações são denominados termos da renda. E, o intervalo de tempo que ocorre entre os vencimentos de dois termos consecutivos é chamado período de renda. Exemplo: no caso da compra de uma TV em cores em 7 prestações mensais de $40,00, cada uma das prestações é um termo da renda e o período é mensal.

As rendas são dividas em. certas e aleatórias:

  1. Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados. Exemplo: compra de bens a prazo.

  2. Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode ser previamente determinado. Exemplo: pagamento de um seguro de vida ( o número de termos é indeterminado).

Em relação ao período da renda:

  1. Periódica: o período da renda é sempre o mesmo

  2. Não Periódica: o contrário

Se o período é o mês a renda é mensal, se o período é o trimestre a renda é trimestral.

Quanto aos termos:

  1. Constante: se os termos são iguais.

  2. Variável:ao contrário.

Quanto a data do vencimento do primeiro termo.

  1. Imediata: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato.

T1 T2 T3 // Tn-2 Tn-1 Tn termos

0 1 2 3 // n-2 n-1 n períodos

Assim, o vencimento do último termo (Tn) ocorre no fim do período n.

Exemplo: compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação um mês após a assinatura do contrato.

  1. Antecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero.

T1 T2 T3 T4 // Tn-1 Tn termos

0 1 2 3 // n-2 n-1 n períodos

O vencimento do último termo ocorre no início do período n.

Exemplo: depósito mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante um prazo determinado.

  1. Diferida: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos, a contar da data zero

// T1 T2 // Tn-2 Tn-1 Tn termos

0 1 2 // m m+1 m+2 // m+n-2 m+n-1 m+n períodos

O vencimento do último termo ocorre no fim de m+n períodos.

Exemplo: compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação no fim de um determinado número de meses.

Represente a situação em forma de fluxo de caixa identificando que tipo de renda e sua subclassificação:

  1. Uma pessoa depositou $1.000,00 por mês durante 5 meses, sendo o primeiro depósito na data da abertura da conta, e recebeu $14.000,00 após 5 meses, qual foi a taxa mensal trabalhada?

  2. Um terreno é colocado à venda por $ 180.000,00 a vista ou em 10 prestações bimestrais, sendo a primeira prestação recebida no quarto bimestre. Determinar o valor de cada parcela bimestral, sabendo-se que o proprietário está cobrando uma taxa de 34% ao ano pelo financiamento.

  3. Uma pessoa adquiriu um bem de $12.000,00 e pagou-o em três prestações bimestrais iguais, sendo a primeira 1 bimestre logo que recebeu o bem. A taxa foi de 2% ao mês. Qual foi o valor das prestações?

  4. Uma pessoa depositou em um banco $300,00 por mês, durante dois semestres, a uma taxa de 2,5% a.b. Obtendo com isso, um certo montante no final desse prazo, que queremos descobrir. Faça o fluxo em relação ao banco.

  5. Um comerciante investiu $450,75 por mês em uma instituição financeira, durante 7 bimestres, à taxa de 5% a.a. Quanto ele terá no final desses 7 bimestres?

  6. A propaganda de uma loja de roupas anuncia: “Compre o que quiser e pague em 5 vezes. Leve o produto hoje e tenha dois meses de carência”. Se a taxa de financiamento é de 3% ao mês, qual é o valor da prestação mensal de uma compra cujo o preço a vista é de $1.200,00?

  7. Determinar qual o valor de um carro financiado em 2 anos com prestações bimestrais iguais de $ 5.054,03, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3,5% ao mês e que a primeira prestação o vendedor do carro receberá no ato da assinatura do contrato.

  8. Um comerciante pagou $1.000,00 por mês por um empréstimo realizado em uma instituição financeira, durante 2 anos, à taxa de 5% a.m. Qual o valor pego no empréstimo?

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Renda Imediata

Fator de acumulação de capital (FAC)

Consideremos o seguinte problema:

Determinar o valor do montante, no final do quinto mês, de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de $ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a trinta dias da data tomada como base (“momento zero”), e que a última, no final do quinto mês, é coincidente com o momento em que é pedido o montante.

* obs.: nos problemas que envolvem Rendas, usaremos R para o valor das prestações. E, o PV para o valor atual, ou seja, o capital inicial.

Dados: R=100,00 i=4% n=5 FV=?

Em termos de fluxo de caixa, o problema pode ser esquematizado como segue:

FV=?

0 1 2 3 4 5

    

100 100 100 100 100

Para calcular o montante pedido, vamos utilizar somente os conhecimentos que já temos. Como apenas sabemos resolver problemas com um único pagamento, vamos calcular o montante de cada prestação no final do 5º mês, individualmente. Assim, o montante da primeira, obtido da fórmula já conhecida

FV = R (1 + i)n , será:

FV1 = 100. (1,04)4 = 100 . 1,16986 = 116,99

O expoente 4 da expressão (1,04)4 representa o número de meses a decorrer entre a data da primeira aplicação e a data fixada para o cálculo do seu montante.

 4 meses  FV=116,99

0 1 2 3 4 5

100

Essa mesma consideração é válida para todas as demais prestações. Assim, o montante da terceira parcela é obtido como segue:

FV3 = 100. (1,04)3 = 100 . 1,08160 = 108,16

 2 meses  FV=108,16

0 1 2 3 4 5

100

Como a última parcela é aplicada exatamente no dia em que se pede o valor do montante, não terá rendimento algum. O montante desta prestação pode ser assim especificado:

FV5 = 100. (1,04)0 = 100 . 1 = 100

Em resumo, os montantes de cada uma das 5 aplicações são calculados como segue:

FV1 = 100. (1,04)4 = 100 . 1,16986 = 116,99

FV2 = 100. (1,04)3 = 100 . 1,12486 = 112,49

FV3 = 100. (1,04)2 = 100 . 1,08160 = 108,16

FV4 = 100. (1,04)1 = 100 . 1,04000 = 104,00

FV5 = 100. (1,04)0 = 100 . 1,00000 = 100,00

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