Apostila matemática finaceira e análise de investimento

Apostila matemática finaceira e análise de investimento

(Parte 4 de 5)

FVt = .............................................. = 541,63

Portanto, o montante de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, de $100,00 cada uma, à taxa de 4% ao mês, dentro do conceito de renda imediata, é de $541,63.

Entretanto, esse cálculo, como foi feito, é muito trabalhoso. Com o objetivo de facilitar o trabalho, vamos tentar aplicar uma fórmula que permita chegar ao valor final através de um caminho mais curto e rápido.

Sabemos que FVt=FV1+FV2+FV3+FV4+FV5.

Substituindo cada FV pelos seus respectivos valores, sem efetuarmos os cálculos, temos:

FVt=100. (1,04)4 + 100. (1,04)3 +100. (1,04)2 +100. (1,04)1 +100. (1,04)0

Como o valor 100 é constante em todos os termos, pode ser colocado em evidência:

FVt= 100. [(1,04)4 + (1,04)3 + (1,04)2 + (1,04)1 + (1,04)0] ou

FVt= 100. [(1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4]

Como a série (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 representa a soma de uma progressão geométrica de razão 1,04, podemos aplicar a fórmula:

SPG = a1.qn – a1

q – 1

que dá a soma dos termos de uma PG, em que a1 representa o primeiro termo da série, n o número de termos e q a razão.

Sabendo-se que a1 = (1,04)0 = 1, q = 1,04 e n = 5, temos:

FVt = 100 . 1 . (1,04)5 – 1 = 100 . (1,04)5 – 1 (1)

1,04 – 1 0,04

FVt = 100 . 0,21665 = 100 . 5,41625 = 541,63

0,04

Portanto, encontramos o valor do montante correspondente à aplicação de 5 parcelas iguais sem calcular os montantes individuais.

Como no problema R = 100, n = 5 e i = 0,04, substituindo na expressão (1) os valores numéricos pelos seus símbolos correspondentes temos a fórmula genérica:

FVt = R . (1 + i)n – 1 (2)

i

Em que (1 + i)n – 1 é o fator de acumulação de capital – FAC (i,n).

i

Para simplificar façamos FVt = FV, na expressão (2), que passa a ser escrita:

FV = R . (1 + i)n – 1

i

FV = R . FAC (i,n)

A utilização do FAC é através de uma tabela que facilita os cálculos. No problema anterior, a fórmula ficará:

FV = 100 . FAC (4%, 5)

Exercício: quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar $ 500,00 por mês, durante esse prazo, em um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 3% ao mês ?

Observação: quando não se especificar que tipo de renda está sendo trabalhada, ou ainda, se não evidenciar que está ocorrendo hoje, ou em um período de carência, estamos diante de um problema de renda imediata.

Como os problemas de renda imediata envolvem o FV, R, n, i, podemos trabalhar com a fórmula de diferentes maneiras, de acordo com os dados do exercício e do que se pede. Com isso, há a necessidade de conhecermos os outros fatores de capitalização existentes nas tabelas financeiras. Entre eles:

  • Fator de acumulação de capital (FAC) – já conhecemos  quanto terá

  • Fator de formação de capital (FFC)  quanto aplicar

  • Fator de valor atual (FVA)1  qual o valor

  • Fator de recuperação de capital (FRC) 

Fator de formação de capital (FFC)

O FFC é obtido facilmente a partir da fórmula do montante deduzida anteriormente:

FV = R . (1 + i)n – 1

i

Essa fórmula, como vimos, é utilizada para obter o valor do montante, quando são conhecidos o valor das prestações, a taxa e o número de prestações. Quando a incógnita é o valor das prestações, basta fazer:

R = FV .

(1 + i)n – 1

i

R = FV . i .

(1 + i)n – 1

Ou

R = FV . FFC (i,n)

Exercícios:

1) Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num “ Fundo de Renda Fixa”, durante 5 anos, sendo o primeiro depósito no final do primeiro período, para que possa resgatar $ 200.000,00 no final de 60 meses, sabendo que o fundo proporciona um rendimento de 2% ao mês ?

2) Quantas prestações de $ 4.000,00 devo aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao trimestre, para acumular o montante de $ 100.516,08 no final de certo prazo ? E qual esse prazo ?

3) A que taxa devo aplicar $ 15.036,28 por ano para que eu tenha um montante de $ 500.000,00 no final de 10 anos ?

Renda Antecipada

Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário. Assim, a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento "zero", ou seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento ou de qualquer outra operação que implique pagamentos ou recebimentos de prestações.

Como veremos, todos os problemas de séries de pagamentos antecipados poderão ser resolvidos a partir dos fatores definidos para série de pagamentos com termos vencidos (ou renda imediata), bastando multiplicá-los ou dividi-los por (1 + i).

Fator de acumulação de capital (FAC) e Fator de formação de capital (FFC)

Qual o montante, no final do 5º mês, resultante da aplicação de 5 prestações iguais, mensais e consecutivas de $ 100,00, à taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita hoje (data do contrato).

Em termos de fluxo de caixa, o problema pode ser esquematizado como segue:

FV=?

0 1 2 3 4 5

    

100 100 100 100 100

Sabendo que o montante "FV" é o somatório dos montantes individuais de cada prestação, e que a primeira aplicação feita no momento "zero" é capitalizada por 5 períodos, a segunda por 4, a terceira por 3, e assim sucessivamente, até a última, a qual é capitalizada por 1 período, podemos escrever:

FV = 100. (1,04)5 + 100. (1,04)4 + 100. (1,04)3 +100. (1,04)2 +100. (1,04)1

FV= 100. [(1,04)5 + (1,04)4 + (1,04)3 + (1,04)2 + (1,04)1] ou

FV= 100. [(1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 + (1,04)5]

Aplicando a soma de uma PG.

SPG = a1.qn – a1

q – 1

Temos:

FV = 100 . 1,04 . (1,04)5 – 1,04 = 100 . 1,04 . [(1,04)5 – 1]

1,04 – 1 0,04

FV = 100 . 1,04

FV = 100 . 1,04 . 5,41632 = 563,30

Substituindo na expressão (1) os valores numéricos pelos respectivos símbolos, temos:

FV = R . (1 + i)

(2)

FV = R . (1 + i) . FAC (i,n)

Resolvendo o problema com a indicação tradicional, temos:

Dados: R= 100,00

n = 5 prestações mensais

i = 4% ao mês

FV = ?

Caso a incógnita do problema seja "R", a fórmula para a sua solução pode ser obtida da expressão (2), como segue:

FV = R . (1 + i)

R = FV .

Ou

R = FV . . 1 . FFC (i, n)

(1 + i)

Problemas:

1) Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 36 meses, um montante de $ 300.000,00, sabendo que o rendimento firmado é de 34,489% ao ano, e que as prestações são iguais e consecutivas, e em número de 36?

2) Quantas aplicações mensais de $ 1.000,00 são necessárias para se obter um montante de $ 33.426,47, sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês, e que a primeira aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resgate daquele valor?

3) Um "Fundo de Renda Fixa" assegura, a quem aplicar 60 parcelas iguais e mensais de $ 500,00, o resgate de um montante de $ 58.166,29 no final do 60º mês. Sabendo-se que a primeira aplicação é feita na data do contrato, calcular a taxa de rendimento proporcionada pelo Fundo.

4) Calcular o montante, no final do 8º mês, resultante da aplicação de 8 parcelas mensais e consecutivas, à taxa de 2,25% ao mês, sendo as 4 primeiras de $ 12.000,00 cada uma e as 4 restantes de $ 18.000,00 cada uma, sabendo-se que se trata de uma série de pagamentos com termos antecipados (renda antecipada).

5) Quanto um aplicador poderá resgatar, no final de 2 anos, se adquirir trimestralmente, no início dos 5 primeiros trimestres, $ 10.000,00 sabendo-se que o rendimento é de 9% ao trimestre e que a primeira aplicação é feita "hoje" ?

AMORTIZAÇÃO COMPOSTA

Vamos, agora, aprender a calcular o valor de uma dívida (ou de um empréstimo, ou o valor à vista de uma mercadoria) que será paga em prestações periódicas de quantias constantes, sobre as quais incide a mesma taxa.

Obs.: Na capitalização composta, os fatores que a compreendiam eram os Fator de acumulação de capital (FAC) e Fator de formação de capital (FFC). Aqui na amortização composta serão os Fator de valor atual (FVA) e Fator de recuperação de capital (FRC).

Renda Imediata

Da mesma forma que deduzimos o Fator de Acumulação de Capital , vamos deduzir o Fator de Valor Atual para a série de pagamentos iguais ou uniformes. Partiremos do seguinte problema prático:

Qual o valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago ou amortizado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de $ 100,00 cada uma?

O que se quer é o valor presente dessa série de 5 parcelas iguais. Mais uma vez, utilizaremos as ferramentas que conhecemos para solucionar esses problemas. Com relação a valor presente ou atual, somente sabemos resolver os casos com pagamentos simples, ou seja, aqueles que apresentam um úni­co pagamento. Assim, vamos resolver o problema por partes, admitindo-se que cada prestação corresponda a um financiamento isolado.

Dados: PV = ? R = 100,00 i = 4% n = 5

PV=?

0 1 2 3 4 5

    

100 100 100 100 100

FV = PV . (1 + i)n  PV = FV .  PV = FV . 1 .

(1 + i)n (1 + i)n

No problema, cada prestação R = 100 representa o montante (ou valor futuro) individual de um capital inicial que desconhecemos, aplicado à taxa de 4% ao mês, e por prazos que vão de 1 a 5 meses. O que queremos é determinar o capital inicial ou valor presente dessas prestações no “momento zero”.

Para a primeira prestação, temos:

PV1 = 100 . 1 . = 100 . 0,96154 = 96,15

(1,04)1

Esquematicamente:

PV1 = 96,15

0 1 2 3 4 5

100

Para a terceira prestação:

PV3 = 100 . 1 . = 100 . 0,88900 = 88,90

(1,04)3

O expoente 3 representa o número de meses decorridos entre a data fixada para o cálculo do valor presente e a data do vencimento da terceira prestação:

PV3 = 88,90

0 1 2 3 4 5

100

O presente valor da Quinta prestação é obtido:

PV5 = 100 . 1 . = 100 . 0,82193 = 82,19

(1,04)5

PV5 = 82,19

0 1 2 3 4 5

100

Resumindo, temos:

PV1 = 100 . 1 . = 100 . 0,96154 = 96,15

(1,04)1

PV2 = 100 . 1 . = 100 . 0,92456 = 92,46

(1,04)2

PV3 = 100 . 1 . = 100 . 0,88900 = 88,90

(1,04)3

PV4 = 100 . 1 . = 100 . 0,85480 = 85,48

(1,04)4

PV5 = 100 . 1 . = 100 . 0,82193 = 82,19

(1,04)5 _______

PVt = ....................................................445,18

Utilizaremos conhecimentos da matemática elementar, como no FAC, para simplificar esses cálculos.

(Parte 4 de 5)

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