Apostila matemática finaceira e análise de investimento

Apostila matemática finaceira e análise de investimento

(Parte 5 de 5)

PVt = PV1 + PV2 + PV3 + PV4 + PV5 , ou seja:

PVt = 100 . 1 . + 100 . 1 . + 100 . 1 . + 100 . 1 . + 100 . 1 .

(1,04)1 (1,04)2 (1,04)3 (1,04)4 (1,04)5

Colocando o valor 100 em evidência, temos:

PVt = 100 .

Os termos que aparecem dentro dos colchetes constituem uma soma de PG de razão 1 .

1,04

Como o trabalhar com expressões fracionárias é um pouco mais complexo, vamos, com uma simples operação, transformar esta série numa soma de mais fácil visualização e cálculo. Para tanto, aplicaremos o conceito de "Mínimo Múltiplo Comum" (MMC).

MMC = (1,04)5, que é o número divisível por qualquer um dos denominadores da série.

Efetuando os cálculos, temos:

PVt = 100

O numerador da expressão entre colchetes constitui-se numa soma de PG, de razão 1,04, com número de termos igual a 5; esta série, sendo escrita em ordem inversa, tem como primeiro

termo o número 1, que embora tenha um "jeitão" diferente, faz parte da "família", pois é um "legítimo" (1,04)0.

Aplicando a fórmula da soma de uma PG: SPG = a1.qn – a1, temos:

q – 1

PVt = 100 . = 100 . (4)

PVt = 100 . = 100 . 4,45182 = 445,18

Substituindo na expressão numérica (4) pelos respectivos símbolos, temos:

PVt = R .

Sendo o Fator de Valor Atual, representado por FVA (i,n).

PPV = R .

PPV = R . FVA (i,n)

Exercício: Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mensais e consecutivas de

$ 3.500,00 cada uma, considerando uma taxa de 5% ao mês.

Fator de Recuperação de Capital

É deduzido da fórmula anterior:

PV = R . R =

R = PV .

Em que é o Fator de Recuperação de Capital – FRC (i,n)

R = PV . FRC (i,n)

Observação: o FFC é o inverso do FAC, e que o FRC é o inverso do FVA:

FFC = FRC =

O FRC, é o fator, sem dúvida, mais utilizado na prática.

Exercícios:

1) Um empréstimo de $ 30.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros é 3,5% ao mês, calcular o valor da prestação.

2) Calcule o número de prestações semestrais de $ 15.000,00 cada uma, capaz de liquidar um financiamento de $ 49.882,65, à taxa de 20% ao semestre.

3) Determinar a que taxa anual foi firmada uma operação de empréstimo de $ 100.000,00, para ser liquidada em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de $ 7.270,87 cada uma?

Renda Antecipada

Fator de Valor Atual

A fórmula para a resolução de problemas de valor atual (renda antecipada) pode ser deduzida, utilizando-se o mesmo caminho seguido anteriormente para as deduções já vistas. Entretanto, no atual estágio, já sabemos que para obter o valor presente de uma série de pagamentos, podemos inicialmente calcular o seu montante e em seguida multiplicá-lo por (i + i), ou seja, utilizar o conceito de série de pagamentos para calcular o montante e, em seguida, o conceito de pagamento único para determinar o valor atual. Assim, temos:

PV = R . (1 + i) .

Como é FVA, temos:

PV = R . (1 + i) . FVA (i, n)

Portanto, para resolver um problema de valor atual de uma série de pagamentos com termos antecipados (renda antecipada), basta multiplicar por (1 + i) o valor obtido para termos postecipados (renda imediata). Para ilustrar, vejamos o seguinte exemplo:

Exercício 1) Determinar qual o valor de um telefone financiado em 24 prestações iguais de $ 5.054,03, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3,5% ao mês e que a primeira prestação é paga no ato da assinatura do contrato.

Observação: Nos casos de valor atual (presente valor) de uma série de pagamentos com termos antecipados (renda antecipada), o número de prestações não coincide com o número de meses, visto que a última prestação é sempre paga, ou devida, no início do último mês ( ou no final do penúltimo mês). No caso do exemplo, a última prestação tem seu venci­mento no final do 23º mês.

Fator de Recuperação de Capital

Caso a incógnita do problema seja o valor da prestação (R), a fórmula necessária para a solução pode será:

R = PV .

Ou

R = PV . FRC (i,n)

Assim, para obter o valor da prestação num problema de série de pagamento iguais com termos antecipados (renda antecipada – amortização), basta dividir por 1 + i o valor obtido para termos vencidos ou postecipados (renda imediata – amortização).

Exercício 2) Um terreno é colocado à venda por $ 180.000,00 a vista ou em 10 prestações bimestrais, sendo a primeira prestação paga na data do con­trato. Determinar o valor de cada parcela bimestral, sabendo-se que o proprietário está cobrando uma taxa de 34% ao ano pelo financiamento.

Renda Diferida

Como já vimos, as rendas diferidas são aquelas em que o primeiro termo é exigível a partir de um certo período de carência.

// T1 T2 // Tn-2 Tn-1 Tn termos

0 1 2 // m m+1 m+2 // m+n-2 m+n-1 m+n períodos

O valor atual numa renda diferida é adquirida calculando-se o valor atual (renda imediata) do período (m+n) menos o valor atual do período (m), ou seja:

PV = R . – R .

Colocando o R em evidência, temos:

PV = R .

Onde, m é o período de carência e n é o período que da renda.

Exercícios:

  1. Qual o valor atual de uma renda de 15 termos mensais de R$ 700, com 3 meses de carência, à taxa de 1,5% ao mês?

  1. Calcule o valor atual de uma dívida que pode ser amortizada com dez prestações mensais de $500,00, sendo de 2% ao mês a taxa de juros e devendo a primeira prestação ser paga no 3º mês.

  1. A propaganda de uma grande loja de eletrodoméstico anuncia: “Compre o que quiser e pague em 10 vezes. Leve o produto hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses”. Se a taxa de financiamento é de 3% ao mês, qual é o valor da prestação de uma geladeira cujo o preço a vista é de $2.800,00?

11 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Passaremos a apresentar os sistemas de amortização mais utilizados no Brasil, sendo eles:

  • Sistema Francês (Tabela Price)

  • Sistema de Amortização Constante (SAC)

  • Sistema de Amortização Misto (SAM)

O primeiro é largamente utilizado em todos os setores financeiros e de capitais, enquanto os dois últimos são mais utilizados pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH), principalmente nas operações de financiamento para aquisição de casa própria.

  • Sistema Francês (Tabela Price)

O Sistema Francês de Amortização é mais conhecido no Brasil como “Tabela Price”. Esse sistema consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, dentro do conceito de renda imediata.

Jt parcela de juros referente ao período de ordem t (t = 1, 2, 3, 4, ..., n)

At parcela de amortização referente à prestação de ordem t (t = 1, 2, 3, 4, ..., n)

PVt saldo devedor referente ao período de ordem t (t = 0, 1, 2, 3, 4, ..., n-1)

  • Valor das Prestações (R) R = PVo .

  • Parcela de Juros (J) Multiplica a taxa de juros pelo saldo devedor existente no período,

imediatamente, anterior.

Exemplo: J1 = PVo . i

J2 = PV1 . i

  • Parcela de Amortização (A) Diferença entre o valor da prestação e o valor da parcela de

juros.

Exemplo: A1 = R – J1

A2 = R – J2

  • Valor do Saldo Devedor de ordem t (PVt) PVt = R .

Exercício 1: Montar a planilha de um empréstimo de $ 8.530,20, à taxa de 3% ao mês, para ser

liquidado em 10 prestações, sabendo-se que o plano de pagamento utilizado nesse

empréstimo foi o sistema francês (Tabela Price).

t

Saldo Devedor

(Pt)

Amortização

(At)

Juros

(Jt)

Prestação

(R)

0

8.530,20

-

-

-

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

TOTAL

Exercício 2: Calcular o saldo devedor de um empréstimo de $ 100.000,00, feito em 24

prestações mensais e iguais, à taxa de 3,5% ao mês, após o pagamento da 13ª

prestação.

  • Sistema de Amortização Constante (SAC)

Características:

  • As amortizações (A) são periódicas iguais ou constantes (no sistema francês as amortizações crescem exponencialmente).

A =

  • As dívidas (PVt) decrescem em uma PA (progressão aritmética)

  • As prestações de ordem t são determinadas pela soma dos juros com a amortização, correspondentes, ou seja:

Rt = Jt + At

  • Valor do saldo devedor de ordem t.

PVt = A . (n – t) ou PVt = PVo – (t . A)

Exemplo1: Elaborar um plano de pagamentos, com base no Sistema de Amortização Constante,

correspondente a um empréstimo de $100.000,00, à taxa de 3% ao mês, a ser

liquidado em 10 prestações mensais.

Antes de efetuar o cálculo da planilha. Calcular o saldo devedor após o pagamento

da 7ª prestação (saldo devedor de ordem t = 7).

t

Saldo Devedor

(Pt)

Amortização

(At)

Juros

(Jt)

Prestação

(R)

0

100.000,00

-

-

-

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

TOTAL

  • Sistema de Amortização Misto (SAM)

Este sistema foi criado pelo BNH em maio de 1979, e constituiu-se num misto entre o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) e o Sistema de Amortização Constante, originando-se daí a sua denominação.

O SAM é um plano de pagamentos composto por prestações dos planos cujos valores são resultantes da média aritmética dos valores das prestações dos planos SAC e Price, correspondentes aos respectivos prazos; os valores das parcelas de amortização e juros resultam da mesma regra.

Com relação ao SAM, praticamente não há nada a comentar, visto que os valores correspondentes a esse sistema situam-se sempre num ponto intermediário entre os valores do SAC e do Sistema Price. As suas prestações decrescem linearmente, enquanto as amortizações correspondentes crescem de forma exponencial.

Na tabela 8.4 (valor do empréstimo $120.000,00, número de prestações 120, taxa de juros 2 % ao mês), observamos:

Em relação ao comportamento dos saldos devedores, para os três sistemas:

SAC os saldos devedores decrescem mais rapidamente, atingindo 50%

do saldo após o pagamento de 50% das prestações.

Tabela Price a metade do saldo devedor é liquidada após o pagamento da 90ª

prestação, que representa 75 % do total.

SAM somente após o pagamento da 77ª prestação (cerca de 64% do total) é que se

conseguirá liquidar cerce de 50% do saldo devedor.

Exercícios:

  1. Um banco empresta $100.000,00 a um cliente. Sabendo que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa contratada foi de 10 % ao ano e que o banco quer a devolução em 5 prestações, construir a planilha.

  1. Um empréstimo de $80.000,00 deve ser pago em 4 amortizações constantes anuais. A taxa de juros contratada é de 8% ao ano. Construir as planilhas de financiamento referente aos três sistemas de financiamento (Tabela Price, SAC e SAM).

  1. Construir a planilha de um financiamento de $ 200.000,00, feito pelo Sistema de Amortização Misto (SAM), com juro de 10 % ao ano e prazo de 5 anos.

  1. Uma financiadora faz um empréstimo de $ 100.000,00 para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Calcular o saldo devedor após o pagamento da 3ª prestação.

  1. Uma financiadora emprestou $100.000,00, sem prazo de carência. Sabendo que a taxa de juro cobrada pela financiadora é de 1,5% ao mês (Tabela Price) e que a amortização deve ser feita em 6 meses. Calcule o valor da prestação e o saldo devedor após o pagamento da 4ª prestação.

Referência Bibliográfica

CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira – 11. ed. São Paulo: Saraiva, 1996

MATHIAS, W. F. Matemática Financeira – 2. ed. São Paulo: Atlas, 1993.

PARENTE, E. e CARIBÉ, R. Matemática Comercial e Financeira. São Paulo: FTD, 1996.

PUCCINI, A. L. Matemática Financeira – Objetiva e Aplicada – 6. ed. São Paulo: Saraiva, 1999

SOBRINHO, J. D. V. Matemática Financeira – 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.

1 FVA e FRC são fatores utilizados no tipo de renda de amortização que veremos mais adiante.

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