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Guias e Dicas
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Geometria Analítica II, Manuais, Projetos, Pesquisas de Engenharia Civil

Parte II do Livro de Geometria Analítica.

Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas

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Compartilhado em 21/03/2007

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Baixe Geometria Analítica II e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! JACIRJ. VENTURI cônicas e quádricas 5.2 edição (atualizada) Na internet você encontra integralmente . Os dois livros do autor: 1) Álgebra Vetorial e Geometria Analítica 2) Cônicas e Quádricas site: www.geometriaanalitica.com.br com acesso gratuito. O Copyright by Jacir J. Venturi FICHA CATALOGRÁFICA VENTURI, Jacir J., 1949 - Cônicas e Quádricas / JacirJ. Venturi -5.2ed. - Curitiba 243 p.:il. Inclui Apêndice e Bibliografia. ISBN 85.85132-48-5 1. Geometria Analítica. 2.Cônicas e Quádricas. LTítulo. CDD 516.3 V469c 2003 ISBN 85-85132-48-5 Composição/Desenhos: Herica Yamamoto Capa/Projeto Gráfico: Beatriz Susana Impressão e Acabamento: Artes Gráficas e Editora Unificado graficaDunificado.com Indice CAPÍTULO1 | TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E' 01. Translação de eixos 02. Rotação de eixos... 03. Aplicação das franslações e rotações no estudo de uma equação do 2.º grau... CAPÍTULO 2 APARÁBOLA 01. Definição ..... 02. Elementos da parábola. 03. Equações canônicas da parábola... 04. Identificação da parábola . 05. Construção geométrica da parábola 06. Aplicações práticas de parábola 07. Equações da parábola de O'=(Xo, Yo) 08. Equação da parábola de V= (Xo; Yo) e cujo eixo de simetria não é paralelo a um dos eixos coordenados .... CAPÍTULO 3 AELIPSE 01. Definição ..... 02. Elementos da elipse 03. Excentricidade ... 04. Equação canônica da elipse de centro na origem. 05. Identificação da elipse... 06. Construção de uma elipse 07. Aplicações práticas da elipse . 08. Equação da elipse cujo centro é O' = (xo, yo) € cujos eixos são paralelos aos eixos coordenados ........ 09. Equação da elipse cujo centro é O' = (xo, yo) e cujos eixos não são paralelos aos eixos coordenados ..... 23 25 28 41 42 42 45 46 50 e3 89 69 70 71 73 75 75 82 87 CAPÍTULO 4 AHIPÉRBOLE 01. Definição ..... 92 02. Elementos da hipérbole 92 03. Excentricidade da hipérbole 93 04. Equação canônica da hipérbole de centro na origem 93 05. Assíntotas da hipérbole 98 06. Hipérbole egiilátera .. 100 O7. Identificação da hipérbole 100 08. Aplicações práticas de uma hipérbol 101 09. Equação da hipérbole cujo centro é O'= (xo, yo) e cujos eixos são paralelos aos eixos coordenados .... 10. Equação da hipérbole cujo centro é0' = (xo, yo) é cujos eixos não são paralelos aos eixos coordenados CAPÍTULO 5 CÔNICAS 01. Seções cônicas..... 119 02. Equação completa do 2.º 120 03. Discriminante da equação do 2.º grai 120 04. Ordem das transformações . 120 05. Revisando ... 121 06. Cônicas degeneradas 135 CAPÍTULO 6 o EQUAÇÃO DA TANGENTE AUMA CÔNICA 1.º Problema: Atangente é paralela a uma reta dada... - 145 2.º Problema: Equação da tangente por um ponto externo à parábola...... - 150 3.º Problema: Equação da tangente emumponto Po=(Xo, Yo) pertencente à parábola..... .. 153 QUADRO RESUMO... CAPÍTULO 7 QUÁDRICAS Resenha histórica........ CAPÍTULO 8 QUÁDRICAS 164 164 165 166 167 169 173 174 01. Definição ..... 02. Exemplo de Quádricas . 03. Revisando 04. Superfícies 05. Simetria. 06. Equações de curvas no E O7. Interseções da superfície com os eixos coordenados . 08. Interseção da superfície com planos CAPÍTULO 9 . SUPERFÍCIE ESFÉRICA 183 183 184 184 01. Introdução 02. Definição 03. Cálculo do centro e do raio 04. Casos Particulares .... CAPÍTULO 10 SUPERFÍCIE CILÍNDRICA . 198 198 01. Definição... o 02. Equação da superfície cilindrica .. 03. Superfície cilíndrica de geratrizes paraloias aos eixos cartesianos .. 207 CAPÍTULO 1 | SUPERFÍCIE CÔNICA 218 218 225 01. Definição ..... 02. Equação da superfície cônica 03. Reconhecimento da superfície cônica e cálculo do vértice APÊNDICE 230 Jor. 1. Venturi so) livro-texto, tratar-se-á de equações do 2.º grau, no plano cartesia- no. Em especial, a parábola, a elipse, a hipérbole e a circunferência. São curvas obtidas pela interseção de um plano com um cone circular de 2 folhas. Por isso, são chamadas de seções cônicas ou simples- mente cônicas. Tratar-se-á também de superfície quádricas, que ganham uma importância cada vez maior na área computacional (Fractais, por exemplo). Uma quádrica é o conjunto de pontos E”, cujas coordena- das cartesianas, verificam uma equação do 2.º grau a, no máximo, três variáveis. Esferas, parabolóides, elipsóides, hiperbolóides, cilin- dros (do 2.º grau) e cones (do 2.º grau) constituem as mais conheci- das superfície quádricas. Um grande número de ilustrações facilita o entendimento do texto e é imprescindível quando se almeja uma conspícua formação geométrica. Há indicações de aplicabilidade prática, sinopses histó- ricas e sugestões para a resolução de exercícios, no intuito de moti- var o aluno naquilo que está estudando. Com o escopo didático, os exercícios estão dispostos emordem crescente de dificuldade. Deve-se ter em mente que à resolução dos exercícios pre- cede necessariamente um bom conhecimento da teoria. Por vezes, preferiu-se a apresentação intuitiva aos refinamentos teóricos, que viessem obstaculizar a compreensão do novel universitário. Honraram-nos sobremaneira a análise criteriosa e as sugestões feitas pelo Prof. Leo Barsottinos manuscritos que antece- deram este manual e de quem fomos assistentes por 3 lustros. Nesta convivência, aprendemos a admirá-lo não apenas como profissional exigente e de extraordinário conteúdo mas também como exemplo de coerência e justiça. Ademais, cumprimos o elementar dever de gratidão pelo desprendimento com que os professores Florinda Miyaóka, Osny A. Dacol, Décio Krause, Ana Maria N. de Oliveira, Luiz Carlos Domênico e Adilson Longen se dispuseram a ler o manuscrito e apre- sentar sugestões. O mesmo preito de gratidão estendemos à plêiade de colegas e amigos do Depto. deMatemática da UFPR, que nos pro- piciaram uma convivência de crescimento pessoal e profissional. Também a nossa profunda e sincera gratidão aos abnega- dos professores Pe. Oneres Marchiori e Pe. Andreás Wiggers pelos ensinamentos de Matemática, Latim e Grego no Ensino Fundamental e Médio em Lages(SC) e antes de tudo exemplos de altruísmo e dedicação. Críticas e sugestões hão de surgir. E serão bem-vindas. Resta-nos o consolo de ter envidado esforços para empregar util- mente o nosso tempo. Oautor CÔNICAS E QUÁDRICAS CONICAS: RESENHA HISTÓRICA INTRODUÇÃO "Na maior parte das ciências, assevera Herman Hankel, uma gera- ção põe abaixo o que a outra construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura." Como na formação de uma estrutura geo- lógica, as descobertas matemáticas se sedimentam e se estratificam ao longo dos séculos. Entretanto não se infira que a Matemáti iê cia estática e sim emcontínua evolução. As formulações inicialmente tênu- es e difusas percorrem um espinhoso caminho até atingir a magnitude de seu desenvolvimento. No presente epítome histórico, vamo-nos ater ao período conside- rado por muitos historiadores como a fase áurea da Matemática da anti- gúidade. Esse período se inicia com a Escola Pitagórica (séc. Vla.C.), tem sequência com Euclides e Arquimedes e termina com Apolônio (séc. Il aC.). Este apanágio, por si só, não justificaria esta resenha histórica no presente livro-texto que trata das Cônicas. No entanto, é justamente nesse período que se dá praticamente todo o desenvolvimento geométrico das cônicas. Porém, o enfoque analítico das cônicas só acontece com Fermat (1601-1665), uma vez que os matemáticos gregos não possuíam uma notação algébrica adequada. Credita-se a Fermat: - o estabelecimento do princípio fundamental de que uma equa- ção do 1.º grau, no plano, representa uma reta e que uma equação do 2.º grau, no plano, representa uma cônica; - a determinação das equações mais simples da reta, da circunte- rência, da elipse, da parábola e da hipérbole; - a aplicação da rotação de eixos para reduzir uma equação do 2.º grau à sua formamaissimples. PITÁGORAS (560(2) — 500(?) a.C.) A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamen- to, fulcrado emprovas dedutivas. Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Jor. 1. Venturi Pitágoras (a” = b” + c?) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida do tempo e namedida dos ângulos. Pitágoras nasceu na Ásia Menor, na ilha de Samos. Percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e quiçá Índia e Pérsia, onde acu- mulou ecléticos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filoso- fia, misticismo e religião. E oportuno lembrar a sua contemporaneidade com Buda, Confúcio e Lao-Tsé. Retornando a Samos, indispôs-se com o tirano Polícrates e emi- grou para o meridião da Itália, na Ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira Universidade domundo". A Escola Pitagórica e suas atividades se viram desde então envol- tas por um véu de lendas. Foi uma entidade parcialmente secreta com cen- tenas de alunos que compunham uma irmandade religiosa e intelectual: - prática de rituais de purificação e crença na doutrina da me- tempsicose, isto é, na transmigração da alma após a morte, de um corpo para outro. Portanto, advogavam a reencarnação e a imortalidade da alma; - lealdade entre os seus membros e distribuição comunitária dos bens materiais; - austeridade, ascetismo e obediência à hierarquia da Escola; - proibição de beber vinho e comer carne (portanto é falsa a infor- mação que seus discípulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstração do denominado Teorema de Pitágoras); - purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia; - classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos efatoráveis; - "criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e pro- vas, segundo o qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de afirmações explicitamente feitas e da ação de um racio- cínio dedutivo rigoroso" (George Simmons); - grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do 2. Utilizando notação algébrica, a equação x*=2 não admitia solução numérica para os pitagóricos, pois estes só admi- tiam os números racionais. Dada a conotação mística atribuída a 2, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para O impasse, os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram nomar; CÔNICAS E QUÁDRICAS esfera, cilindro, cone, elipsóide, parabolóide, hiperbolóide, etc. ABiblioteca de Alexandria estava muito próxima do que se enten- de hoje por Universidade. E se faz apropriado o depoimento do insigne Carl B. Boyer, em a História da Matemática: "A Universidade de Alexandria evidentemente não diferia muito de instituições modernas de cultura superior. Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa, outros eram melhores como administradores e outros ainda eram conhecidos pela sua capacidade de ensinar. Pelos relatos que pos- suímos, parece que Euclides definitivamente pertencia à última categoria. Nenhuma descoberta nova é atribuída a ele, mas era conhecido pela sua habilidade ao expor. Essa é a chave do sucesso de sua maior obra - Os Elementos." ARQUIMEDES (287(?)-212a.C.) A genialidade de Arquimedes como físico-matemático só é com- parável com Isaac Newton, no séc. XVIII. Sua produção é completamente original e muito vasta, incluindo Geometria Plana e Sólida, Astronomia, Aritmética,Mecânica e Hidrostática. Nasceu na ilha grega da Sicília, na cidade de Siracusa. Quando jovem estudou em Alexandria, o templo do saber da época, com os disci- pulos de Euclides. Suas invenções engenhosas, suasmáquinas de caráter utilitário e bélico, o memorizaram através dos séculos por historiadores romanos, gre- gos, bizantinos e árabes. Arquimedes, no entanto, considerava seus engenhos mecânicos como fator episódico e que, de certa forma, tiravam a dignidade da ciência pura. "Sua mentalidade não era a de um engenheiro, mas sim, a de um matemático". Alguns de seus feitos são clássicos e conhecidos, mas merecem serrelembrados: Por descrição de Vitrúvio, conhecemos a história da coroa do rei Herão. Este havia encomendado a um ourives uma coroa de ouro puro. Uma vez pronta, o descontiado rei Herão solicitou a Arquimedes que anali- sasse a coroa e dirimisse a dúvida: era a coroa de ouro puro ou feita de uma amálgama com prata? Quando tomava banho, Arquimedes observou que, à medida que seu corpo mergulhava na banheira, a água transbordava. Foi o insight para resolver o problema. Conta o historiador Vitrúvio que Arquimedes, eufórico, teria saído pelas ruas, completamente nu, gritando "Eureka, eureka", que significa "Achei, achei". Refeito do vexame, Arquimedes comprovou que houve fraude por Jor. 1. Venturi parte do ourives. Destarte, tomou dois recipientes cheios de água e num recipiente imergiu um bloco de ouro e noutro recipiente, um bloco de prata. Como ambos os blocos continham o mesmo peso que a coroa, comprovou afraude, pois constatou que os blocos deslocavam quantidades diferentes deágua. Deste fato decorre o princípio de Arquimedes, lei básica da Hidrostática: Todo corpo mergulhado num fluido recebe um impulso de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado. Paradoxalmente, Arquimedes era muito negligente em termos de asseio pessoal. Lê-se em Plutarco que Arquimedes "era por vezes levado àforça para banhar-se ou passar óleo no corpo, que costumava traçar figu- ras geométricas nas cinzas do fogo, e diagramas no óleo de seu corpo, estando emumestadodepreocupação totale de possessão divina, no sen- tidomaisverdadeiro, por seu amor e deleite pela ciência". Na2. Guerra Púnica, contra a poderosa razia do exército e mari- nha romanos, comandados pelo Cônsul Marcelo, a sagacidade de Arquimedes criou aparatos devastadores: - catapultas de grande alcance para lançar blocos de pedra sobre as galeras inimigas; - gigantescos guindastes que elevavam a proa dos navios roma- nos, afundando-os pela popa; - um enorme espelho que incendiava os navios hostis a distância, uma vez que refletiam os raios solares. Plutarco conta que se instalou tamanho temor e angústia entre as tropas romanas, que qualquer corda ou pau sobre as muralhas de Siracusa era considerado uma artimanha diabólica de Arquimedes. Marcelo desistiu de tomar Siracusa por assalto e infligiu um cerco de 3 anos. Em212a.C.acidaderendeu-se. Adentrando-se às muralhas de Siracusa as hostes romanas pro- moveram a pilhagem, seguida de uma sangrenta matança. Um soldado aproximou-se de um encanecido senhor de 75 anos, que indiferente à cha- cina, desenhava diagramas na areia e absorto balbuciou: "Não perturbes os meus círculos". O soldado enraivecido trespassou-o com a espada. Foram as derradeiras palavras de Arquimedes. Marcelo, que havia dado ordens expressas para que se poupasse avida de seu arquirival, ficou muito entristecido e providenciou que lhe con- cedesse um enterro com honras. Mandou erigir um monumento e, satisfa- zendo o desejo de Arquimedes, foi gravada na lápide de seu túmulo a representação de uma esfera inscrita num cilindro circular reto cuja altura é igual ao seu diâmetro, pois ele havia descoberto e provado as relações CÔNICAS E QUÁDRICAS matemáticas (notação hodierna): 3 Va =5 Veg 3 SS Se Outros inventos notáveis ou estudos de Arquimedes: - Ummecanismo feito de tubos emhélice, fixos a umeixoinclinado com uma manivela para fazê-lo girar. Tem por escopo elevar a água a um plano superior, conhecido como "parafuso de Arquimedes". E um processo rudimentar, masqueaindaéusadoaolongodorioNilo. - Descobriu o princípio da alavanca e cunhou o célebre aforisma: "Dê-me umponto de apoio e levantareio mundo". - Conta Plutarco que Arquimedes arrastou uma das galeras do rei Herão tão suave e uniformemente como se navegasse em pleno mar, movendo apenas com sua mão a extremidade de um engenho que consis- tiaemumblococompoliasecordas. - Relata Cícero que Arquimedes construiu um empolgante meca- nismo hidráulico, com esferas móveis que representavam o Sol, a Lua, os cinco planetas (conhecidos), podendo-se observar as fases e os eclipses da Lua. Enfim, umpequeno planetário. Agrandeza também semanifesta naMatemática: - No tratado Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes, em um círculo dado, inscreveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve a fórmula para o cálculo da área do círculo e, por muitos séculos, o mais acertado valor para x: OBSERVAÇÃO: Aobtenção da área do círculo através de polígonos ficou conheci- da como a "quadratura do círculo". Apenas à guisa de ilustração, o símbolo x não foi usado na antigúidade grega no sentido atual. A introdução do símbolo só aconteceu em 1706, por William Jones, umamigo de Newton. Jor. 1. Venturi de, os Principia de Newton; este, por sua vez, deu aos cientistas de hoje condições para que a viagem de ida e volta à Lua fosse possível". Igualmente é inegável a influência de Apolônio sobre Ptolomeu. Este foi astrônomo e geógrafo e fez observações em Alexandria de 127 a 151 d.C.. Suas obras mais famosas são o Almajesto (astronomia) e a Geografia (8 volumes). Ptolomeu introduziu as tabelas trigonométricas, o sistema de lati- tude e longitude tal como é usado hoje em cartografia, usou métodos de projeção e transformações estereográficas. Catalogou cerca de 8.000 cida- des, rios e referenciais importantes. Até a Idade Média, os mapas tinham como protótipos os mapas elaborados por Ptolomeu. E sobre tais mapas se debruçou Colombo muitas vezes antes de empreender sua viagem à América. Ademais, As Cônicas de Apolônio tiveram forte influência nos estudos de Kepler. Em 1609, Kepler edita a Astronomia Nova, onde apre- senta a principal lei da astronomia: "os planetas descrevem órbitas elípti- cas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos". A propósito, a palavra foco é devida a Kepler e provém da forma latinizada focus, cuja acepção é fogo, lareira. Outra aplicação prática de As Cônicas aparece na obra Os dois principais sistemas (1632), de Galileu, em que "desprezando a resistên- cia do ar, a trajetória de um projétil é uma parábola". Ademais, Galileu se reporta à componente horizontal e à componente vertical de uma parábo- la. Enfim, Leibniz se faz oportuno: "Quem entende Arquimedes e Apolônio, admirará menos as realizações dos homens mais célebres de épocas posteriores". GEOMETRIA ANALÍTICA: SINOPSE HISTÓRICA Depreende-se que foi extraordinário o incremento dado à Geometria Plana e Espacial pelos matemáticos helenísticos. Porém, não dispunham de uma notação algébrica adequada. Que nos perdoem pelo exagero da simplificação, mas podemos afirmar que a Álgebra possui uma dupla paternidade: Diofanto e al-Khowarizmi. Diofanto de Alexandria viveu no séc. Illd.C., e sua principal obra foi Aritmética, tratado que originalmente era composto de 13 livros, dos quais só os 6 primeiros se preservaram. O principal mérito da Aritmética é autilização de notações, ou seja, de uma linguagem mais sincopada, mais simbólica para a Matemática. CÔNICAS E QUÁDRICAS Por seu turno, al-Khowarizmi viveu por volta de 800 d.C. na cidade de Bagdá, que emerge como uma nova Alexandria. Sua principal obra Al-Jabr deixou marcas indeléveis em toda e Europa. Al-Jabr rece- beu a forma latinizada Algebrae (Álgebra). As palavras algarismo e algoritmo são provavelmente corruptelas de al-Khowarizmi (algorismi = algarismo = algoritmo). Em árabe Al-Jabr significa, numa tradução mais livre, desloca- ção e parece "referir-se à transposição de termos subtraídos para o outro lado da equação”. Os símbolos 0, 1,2,3,4,5,6, 7,8, 9tiveram notável receptividade na Europa através da obra de al-Khowarizmi. Daí serem denominados algarismos arábicos,masqueabemdaverdadesãodeorigemhindu. Fulcrado nos geômetras gregos e no desenvolvimento da álgebra em toda a Europa, Pierre de Fermat conclui em 1629 o manuscrito Ad locos planos et solidos isagoge (Introdução aos lugares planos e sóli- dos). Para a maioria dos historiadores, tal manuscrito representa o marco zero da Geometria Analítica. É curioso observar que Fermat não era um matemático. Estudou Direto em Toulouse, na França, e aí exerceu o cargo de advogado e con- selheiro do parlamento. Fermat tinha a Matemática como um "hobby" e mesmo assim foi considerado por Pascal o maior do seutempo. Desafiou a têmpera racional de muitas gerações de matemáticos com o notabilíssimo Último Teorema de Fermat. Às margens da Arithmética de Diofanto, Fermat escreveu: "Não desenvolvo aqui a demonstração deste teorema por falta de espaço." (ver pág. 33 do nosso livro Álgebra Vetorial e Geometria Analítica). Dedicou-se aos pensado- res clássicos e à matemática grega e segundo Carl B. Boyer, a obra As Cônicas de Apolônio foi uma das obras favoritas de Fermat. Coube a Pierre de Fermat (1601-1665) a descoberta das equa- ções dareta e da circunferência, e as equações mais simples da elipse, da parábola e da hipérbole. Aplicou a transformação equivalente à atual rota- ção de eixos para reduzir uma equação do 2.º grau à sua forma mais sim- ples. É cristalina em Fermat a percepção de uma Geometria Analítica a três dimensões: "Mas se o problema proposto envolve três incógnitas, deve-se achar, para satisfazer a equação, não apenas um ponto ou uma curva,mastodaumasupertície". É oportuno observar que a usual denominação sistema cartesia- no (Cartesius é a forma latinizada de Descartes) é anacrônica historica- mente, pois sua obra não contém eixos perpendiculares, eixos oblíquos, nem tampouco a equação de uma reta. Por mérito, o sistema cartesiano Jor. 1. Venturi deveria denominar-se sistema fermatiano. Indubitavelmente, Renê Descartes (1596-1650) é considerado o pai da filosofia moderna pela sua obra Discours de la Méthode, publi- cada em 1637. Oterceiro apêndice desta obra chama-se La Géométrie e é uma aplicação da álgebra aos problemas geométricos, mas quase nada trata do que se entende hoje por Geometria Analítica. Segundo George Simmons "La Géométrie foi pouco lida então e menos lida hoje, e bem merecidamente”. O autor 2. ROTAÇÃO DE EIXOS a) Fórmulas de rotação CÔNICAS E QUÁDRICAS Preliminarmente con- sideremos um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy. Man- tendo fixa a origem O, faz-se uma rotação nos eixos Ox e Oy de um mesmo ângulo , no senti- do anti-horário. Obtemos assim um novo sistema x'O'y' por uma rotação de xOy. Um ponto P que tem coordenadas (x, y) em relação ao sistema xOy, após uma rotação de eixos assume coordenadas (x', y') em relação ao novo sistema x'0'y". Nafigura ao lado: (P-O)=(P-0) (iryp=xisyi) O onde i,j,i'ej' são respec- tivamente os versores doseixosx,y, x ey”. a) Multiplicando escalar- mente (D por Jor. 1. Venturi 0Sx'x=cos O O 0sy'x=cos(90º+ 6)=-sen 6 Substituindo O em O : x=x'cos6 —y'sen 6 b) Multiplicando escalarmente 1) porj obtemos por cálculos aná- logos: y=x'sen6+y'cos6 Como se viu, deduzimos vetorialmente as fórmulas de rotação: x=x'cos0-y'seng y=x'sen0+y'cos6 b) Tabela das fórmulas de rotação Com o escopo mnemônico, transcrevemos a tabela abaixo. Observe que a 2.º coluna nadamaisé doque a derivada da 1.º coluna. x x y x cos 6 —sen 6 y sen 6 cos 6 DERIVADA Exemplo: A equação 5xº + 6xy + 5y— 8 = O representa uma elipse no sistema xOy. Obter a equação da mesma elipse uma vez efetuada a rotação de eixos de amplitude 6 = 45º. RESOLUÇÃO: a) Fórmulas de rotação: de 2, 2 2. 2 o We) x=x'cos45º-y'sen45º= CÔNICAS E QUÁDRICAS x= usends?sycosast= J2 yes 2 LR usy) b) Substituindo x e y por seus valores na equação dada: 2 2 a 6) «tê 9) [É one 5 [Zen] -8=0 c) Desenvolvendo e simplificando, a equação acima reduz-se a: 4x yt=4 d) Gráfico: Aequação 5x +6xy+5y-8=0 foi transformada na equa- ção 4x” + yº = 4 mediante uma rotação de 0 = 45º. Veremos que a equação transformada é de longe, muito mais fácil de se representar graficamente. OBSERVAÇÃO: Parábola, elipse e hipérbole serão estudadas nos três próximos capítulos. Didaticamente merece ressalvas a postura de se repor- tar a uma curva que ainda não foi apresentada. Justifiquemos: 1) As equações mais simples (ditas canônicas) da parábola, elipse e hipérbole fazem parte do conteúdo programático do Ensino Médio. 2) Nosso escopo no presente capítulo não é enfatizar o gráfico da curva e sim a rotação e/outranslação de eixos cartesianos. Jog. 1 Venturi 1. Dada a equação Ax” + Bxy +Cy' + Dx + Ey+F=0, atransla- ção não afeta os coeficientes dos termos do 2.ºgrau(A, B, C). 2. Após uma translação com O' = (xo, yo) o novo termo inde- pendente F' pode ser obtido: F'= AX + BxoJo + Co + DXo + EYo + F. EXEMPLIFIQUEMOS: Na equação 5x” + 6xy + 5y — 4x + 4y + 8= 0, 0s termos do 1.º grau são eliminados quando feita uma translação para O' = (1, —1). Em relação ao sistema x'O'y' anova equação terá a forma 5x” + 6xy' +5y" + F'=0. Mas, F'=5(1)+6(1)(-1) +5(1)-4(1)-4(-1) +8=4. Resp.:5xº + 6x'y +5y"+4=0 b) Pormeiodeumarotaçãoeliminarotermoemxy. Dada a equação Axº + Bxy + Cy + Dx + Ey+F=0 (()),o termo em xy pode ser eliminado mediante uma rotação de eixos correspon- dente a umângulo O tal que: 9208 (paraAC) DEMOSTRAÇÃO: a) Fórmulas de rotação: x=x'cos6 —-y'sen6 y=x'sen9+y'cos6 Q b) Substituindo (2) em D: A(xcos6-y' sen 6) + B(x cos 8-y' senB) (x sen B+y' cos 6) + +C(xsenO+y'coso) +...=0 ordenando ostermos emx”,y“ex'y': (Acos' 6 + Bsen 8 cos 6+C sen” 6)x” + [-2A sen 6 cos O + +B (cos 0 - sen” 8) + 2C sen O cos 6) x'y' + (A sen” 6 — -BsenOcos6+Ccos"0)y" +...=0 O termo em xy desaparecerá na equação acima se o seu coefici- ente for nulo: CÔNICAS E QUÁDRICAS (C-A)(2sen 6cos 6) + B(cos"6-sen? 6) =0 (C-A)sen26+Bcos26=0 O Dividindo porcos 26: (C-A)tg20+B=0 ou B 20=-—— A wo- O (440) Cumpre destacar: 1) Arotação não afeta o termo independente. 2) Adotaremos sempre 0º<0<90º. 3)Seem particular A=C, então(4) não tem sentido, mas de (3 obtém-se B cos20=0 = cos20=0 = 20=90º = 0=45º. 4) O grau de uma equação não é alterado quando se aplica umatransformação de coordenadas. ai ES] “Todos sabemos o que somos, mas não o que podemos ser." William Shakespeare (1564-1616), o maior dramaturgo inglês. 1. Dadaa equação 3x - 4xy — 1 = 0, pede-se para: a) achar o ângulo de rotação que elimina o termo emxy. RESOLUÇÃO: B 4-4 20= =TÉ DÊ 0-4 c-30"3 2tgo 4 20= =D mastg Tg6i3 Efetuando-se:2tg'0-3tg6-2=0 Equação do 2.º grau cujas raízes são: tg9,=2 1 t99,=-— 19 6, 2 Jor. 1. Venturi OBSERVA O ângulo agudo 6 é obtido pelatgo=2 => 0=63! b) Calcular as fórmulas de rotação (para 0º < 6 < 909). b.1) Cálculo do sen 6 e do cos 6 Obtivemos quetg0=2 «sec? 0=1+tg)0=1+(2) =5 seco=/5 acosg= 1 1 seco 5 «sen?0=1-cos?0=1 seng=2. 5 b.2) Fórmulas de rotação: x=x'cos6 —-y'sen6 y=x'sen6+y'cos6 Substituindo sen = —. [a ei ala) c) Obter a nova equação no sistema x'Oy' após a rotação de eixos de amplitude 6: c.1) Substituindo as fórmulas de rotação na equação dada: 2 x'-2y' x-2y' | 2x +y" 3 -4 -1=0 c.2) Efetuando-se os produtos e as somas: Resp.:4y"-xº-1=0 CÔNICAS E QUÁDRICAS Fórmulas de rotação : J2 2 2 2 x'=x''cos45º-y"' sen45º= = (x"-y'") y'=x''sen45º+y''cos45º= Substituindo 3) em Q): 2 [Le] [Be f Ee) (ey) 2 2 Bom To rafEo +y ] -250 7 Efetuando os produtos e as somas: 4x"? + 2y'? -250 BG que é uma equação do tipo Ax"? +By'2 +F=0. OBSERVAÇÃO: No Capítulo 3 veremos que a equação (4representa uma elipse. Ao lado, apenas a título de ilustração, figurou-se a elipse em relação ao novo sistema x"O'y" após efetuada uma trans- A 33 lação para O'=| +, — ção p o-(5.5) e uma rotação de amplitude 0 =45º. “Pior que o ódio é a falta de amor." Nelson Rodrigues (1912-1980), dramaturgo e jornalista pernambucano. 01. Mediante uma translação de eixos, eliminar os termos do 1.º grauna equação x +4y'-2x— 167 +5=0. Resp.: xº+4yº-12=0 Jor. 1. Venturi 02. Eliminar os termos do 1.º grau em 2xy - x- y + 3 = 0 por meio de umatranslação de eixos. Resp.: 4x'y+5=0 03. Transforme a equação xº + y' - 8x— 10y = -37 numa equação dotipox+y'=Kk. Construa afigura. Resp.: xº+yº=4 SUGESTÃO: Na equação dada devemos eliminar os termos do 1.º grau — translação. 04. Eliminar o termo em xy na equação xº + 4xy + y"—2 =0 median- te uma rotação de eixos. Resp.: 3xº-yº-2=0 05. Calcular o ângulo 6 (0º < 6 < 90º) necessário para girar os eixos para que desapareça o termo em xy na equação xº +2/3xy+3yº + /3x—y +3=0 e achar aequação dacurva referida aos novos eixos. Resp.:0=609,2xº-yº+3=0 Série B “Não tenho tempo nem para brigas nem para lamentações; homem algum pode obrigar-me a descer tanto que possa odiá-lo." Laurence Jones 06. Transformar a equação 5x” + 4xy + 2yº = 1 numa equação do tipo Axº+Cy"=F. Resp.:6xº+y"=1 0 CÔNICAS E QUÁDRICAS SUGESTÃO: Na equação dada deve-se eliminar o termo emxy — rotação. Bs > seno=-L ecoso-2. A-C 3 5 5º Com estes valores substitui-se as fórmulas de rotação na equa- ção dada. Fórmula: tg 20 = 07. Reduzir a equação 5x” + 5y' + 6xy -4x + 4y —- 1 =0 à forma Axº+Cy“+F=0. Resp.:8x" +2y"º -5=0 SUGESTÃO: a) Devemos eliminar: -ostermos do 1.“grau > translação. -otermoemxy > rotação. b) Ordem dastransformações: B:-4AC 40 1) translação. 2)rotação. c) Substituindo as fórmulas de translação na equação dada obtém-se O'= (1,1) e uma equação do tipo: 5x? + 6x'y'+5y" + F=0. Mas: F=5(1+5(1]+6(1)(-1)-4(1)+4(-1)-1=-5. Então: 5xº+6xy'+5yº-5=0 1) d) Com a rotação eliminamos o termo emxynaequação (D: B 6 20=——— => 0=45º. 9 A-C 0 > 5 Fórmulas de rotação para 6 = 45º: 2 x=x'c0545º —y'sen45º= 2 (e —y') 2 2 e) Levando(2) em (Dtem-se a resposta. 9 y=x'sen45º + y'cos45º=—— (x'+y') Jor. 1. Venturi 3) tudo fazemos para não privar nosso filho de conforto, bens materiais, shoppings, lazer, etc., mas destarte não estamos criando uma geração por demais hedonista e alheia aos problemas sociais? Para esses paradoxos, não há Manual de Instruções. Mas se houvesse, duas palavras comporiam o título deste manual: AFETO e LIMITES. São pratos distintos de uma balança etêm que prevalecer o equilíbrio, a medida e o bom senso. Mais que no passado, ao percorrer o seu caminho, o jovem de hoje encontra muitas bifurcações, tendo amiúde, que decidir entre o bem eo mal, entre o certo e o errado. Em cada etapa da vida, é bom que o nosso educando cometa pequenos erros e seja responsabilizado por eles. Mas também que tenha clareza das nefastas consequências dos grandes ou irreversíveis erros, para que possa evitá-los. Por exemplo: uma gravidez indesejada; exposição excessiva ao risco; envolvimento com drogas, álcool, tabaco, DST, brigas violentas, furtos, etc. Num crescendo, a criança e o adolescente devem adquirir o direito de fazer escolhas, aprendendo a auto-admi- nistrar-se. "Sem liberdade, o ser humano não se educa. Sem autoridade, não se educa para a liberdade." — pondera o educa- dor suíço Jean Piaget (1896-1980). Autoridade e liberdade, exercidas com equilíbrio, são manifestações de afeto, ensejam segurança e proteção para a vida adulta. "Autoridade é fun- damental, a superproteção e a permissividade impedem que os jovens amadureçam" — completa a professora da UFRJ Tânia Zagury. Aos filhos, deve- mos dar-lhes "raízes e asas" (valores e liber- dade). E nós, pais, educa- mos pouco pelos cromos- somos e muito como- somos (exemplos). Sai sempre ganhando quem sabe amar, dialogar, conviver com erros e também quem sabe ser firme e coerente emsuas atitudes. Diante de tantas exigências, nós, pais, perguntamos em tom de blague: dá para tomar uma Kaiser antes? E vem o estraga-prazer e responde: Não, beber cerveja é um mau exemplo para os filhos! Do autor CÔNICAS E QUÁDRICAS CAP pa A Parábola Pierre de Fermat (1601-1665), inspirado nos estudos de Apolônio (matemático grego do séc. Ila.C.), estabeleceu o princípio fundamental da Geometria Analítica, segundo o qual uma equação do 1.º grau, no plano, representa uma reta e uma equação do 2.º grau, no plano, uma cônica. Mostrou de uma forma bastante sistemática a equação geral de uma reta, de uma circunferência e as equações mais simples de uma pará- bola, elipse e hipérbole. 1. DEFINIÇÃO Considere-se, em um plano a, um ponto F e uma reta d que não contém F. Denominamos parábola de foco F e diretriz d ao lugar geométri- co dos pontos do plano aque eguidistam de de F. A figura ao lado mostra alguns pontos pertencentes à parábola (equidistantes do ponto Fe da reta d). OBSERVAÇ, Na pág. 230 você encontra a etimologia da palavra parábola. Jor. 1. Venturi 2. ELEMENTOS DA PARÁBOLA Denominamos: F:foco d: diretriz Vivértice p: parâmetro, que repre- eixo de senta a distância do simetria foco à diretriz (p 0). reta VF: eixo de simetria da parábola. AS LATUS RECTUM: é a corda AA' que passa pelo foco e é perpendi- cular ao eixo de simetria. Também chamada de corda focal mínima. 3. EQUAÇÕES CANÔNICAS DA PARÁBOLA (V =0) a) O eixo de simetria coincide com o eixo x. Na figura ao lado tem-se uma parábola de concavida- de voltada para a direita representada no sistema car- tesianoxOy. A diretriz tem á p equação x =-&. quação x=—— Ademais: P=(x,y) é um ponto genérico da parábola. F=[250 Jéotoco 2 P'= f- E , v) é o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre a diretriz. CÔNICAS E QUÁDRICAS ercício Resolvido “Gasta-se menos tempo fazendo a coisa certa, do que explicando por que a fizemos errado." Henry W. Longfeliow (1807-1882), poeta americano. Dada a parábola de equação y” = — 8x, pedem-se: a) as coordenadas dofoco; RESOLUÇÃO: Sendo x o eixo de simetria, então F = (5 0) Aequaçãoy' =-8x é daformay” = 2px. Comparando os coeficientes do 2.ºmembro: p 2p=-8 > p=-4> 272 Resp.:F=(-2,0) b)ográfico: y, Equação da diretriz: dx-2=0 5. CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA DA PARÁBOLA (Leitura Complementar) Vamos traçar a parábola da qual são dados o foco F e a diretriz d. Representemos o eixo de simetria r, que intercepta d em A, e o vértice V, que é0 pontomédiode AF. Sobre o eixo e à direita de V marquemos os pon- tos GC, C,, Cs, C,... e por tais pontos tracemos as paralelas d,, do, ds, d,... à diretriz. Jor. 1. Venturi Utilizemos umcompasso de: 1)aberturaiguala d(C,, A) e cen- tro em F determinemos sobre a paralela d,os pontos P. e P,. 2) abertura iguala d(C,, A) e cen- tro em F determinemos sobre a paralela d,os pontos P, e P;. 3) abertura iguala d(C,, A) e cen- tro em F determinemos sobre a paralela d, os pontos P. e P;. Repete-se a operação para os pontos CG, C, e obteremostantos pontos da curva quanto quiser- mos. 6. APLICAÇÕES PRÁTICAS DE PARÁBOLA (Leitura Complementar) a) A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma pará- bola (a superfície espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola. Sup. espelhada Farol de um automóvel Secção de um farol b) Se umespelho parabólico é apontado para o Sol, os raios de luz (paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus significa fogo). Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para CÔNICAS E QUÁDRICAS telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas (as ondas paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e confluem para o retransmis- sor). (espelho parabólico) (antena parabólica) c) ocabo principal de uma ponte pênsil assumiria a forma de uma parábola (desde que o cabo fosse perfeitamente flexível), se se negligen- ciasse a sua massa e se o peso da ponte estivesse uniformemente distri- buídos ao longo de seu comprimento. Na prática, sabemos que tais condições não se verificam. Na ver- dade os cabos assumem a forma de uma curva muito próxima de uma parábola. Tal curva quando sujeita apenas ao próprio peso se chama CATENÁRIA. d) Em Resistência dos Materiais, o diagrama do Momento Fletor de uma viga submetida a uma carga uniforme é uma parábola. Jor. 1. Venturi 07. Obter os pontos de intersecção das parábolas abaixo repre- sentadas. Resp.: 0=(0,0) P=(1,1) 7. EQUAÇÕES DA PARÁBOLA DE V=0'=(x,, yo) a) O eixo de simetria é paralelo ao eixo x. Através de uma transla- ção de eixos, obtemos um novo sistema x'O'y, cuja ori- gem O' coincide com o vértice V=(Xo yo) Face o exposto, a equa- ção da parábola referida ao novosistemax'0'y' é: yê-2pe O Substituindo (2) em (y=yo)!=2p(x=xo) (1) que representa a equação de uma parábola de V= (xo, yo) e eixo de simetria paralelo ao eixo x. O parâmetro p será positivo ou negativo se, respectiva- mente a concavidade da parábola estiver voltada para a direita ou para a esquerda. CÔNICAS E QUÁDRICAS Ainda, desenvolvendo (1) e isolando a variável x: 1 Yo y 4 YO+2PX, x=—y -22y ' 2” p 2p (9) a 5 % ou x=ay? +by+c (o) Comparando os coeficientes de (1') e (1), observe: a=1 5 p=b 2p ú 2a b=-L > yy=bp>y=>2 p 2a Esta última fórmula em destaque permite calcular a ordenada do vértice da parábola (yo). b) O eixo de simetria é paralelo ao eixo y. Analogamente, mutatis mutandis, a parábola de concavidade voltada para cima (quando p >0) ou con- cavidade voltada para baixo (quando p< O) tema forma: (x—xoP=2p(y yo) (11) Outrossim, desenvolvendo (Il) e isolando a variável y, temos: y=ax+bx+c (II) Similarmente ao caso anterior, a comparação dos coeficientes de (11) e (11) permite concluir que: Jor. 1. Venturi N.B.: Fulcrados na comparação das equações, enfatize-se que o sinal do coeficiente a é o mesmo de p. Isto posto, a concavi- dade da parábola fica explicitada. Por exemplo: A parábola x=—4yº + 3y + 1 tem concavidade voltada para a esquerda pois o sinal de a é negativo. Dea Soo “Quando um dedo aponta, três (dedos) contra." Axioma Popular. 01. Obter a equação da parábola abaixo configurada. 3 p 5 d+ RESOLUÇÃO: Aequação da parábolatema forma: (y— yo) = 2p(x— xo) Naigura obtemos: V =(3,3) e É=2 > p=4 Resp.:(y-3)=8(x-3)ouy'-6y -8x+33=0 OBSERVAÇÃ Equação da CÔNICAS E QUÁDRICAS paralelo ao eixo y. Ademais, a parábola intercepta o eixo y no ponto de ordenada -8 (termo independente da parábola) e corta o eixo x no ponto de abscissa2 (raízes x, = x,daeg.-2x+8x-8=0). OBSERVAÇÃO: Há outros processos para a resolução do exercício em pauta. Um desses processos utiliza a teoria da translação de eixos. Vejamos: Aequação dada pode ser escrita: 22 -Bx+y+8=0 OD a) Fórmulas de translação : X=X,+X | vv O Y=Yo+y b) Substituindo 2) em(D : 2x +xP-B(x +x)+(+y)+8=0 O * fazendo a soma dos coeficientes de x = O 4x,-8=0 > x,=2 * fazendo o termo independente = O 2x)-8x, +y,+8=0 parax,=2 obtém-se y,=0. Então V=(2,0) c) Levando o V = (2,0) em (3) obtemos : 2 1 yu x2=—+ 2 y que representa a equação canônica de uma parábola em que 1 p 1 2p=-— E -— P="2 202 8 Verifique ainda que o gráfico da parábola coincide com o da úl- tima figura. Jor. 1. Venturi ATA "Se há um agravo pungente a perdoar, é tempo, é hora. O mais profundo rancor não resiste a um apelo de braços abertos." Helena Kolody, poeta e escritora paranaense. 01. Uma parábola tem foco em F = (2, 4) e vértice em V = (2, -2). Determinar a sua equação. Resp.: (x-2)=24(y+2) . a) a equação é da forma: SUGESTÃO: (x-2):=2p(y+2) YA YA bjmas|Bl-6=|pI=12 F Pp 2 º. > 2 x -2 > v x 02. Equação da parábola comvérticeem(1,3)efocoem(1,2). Resp.: (x-1/=-4(y-3) 03. Equação da parábola com foco em F = (1, 3) e diretriz de equação y =-1. Resp.: (x-1)/=8(y-1) 04. Calcular o vértice, o foco e a diretriz da parábola (x-2/-4(y-8). Resp.: V=(2,8);F=(2,7); d:y-9=0 CÔNICAS E QUÁDRICAS 05. Qual a equação do conjunto de pontos P = (x, y) que são equidistantes da reta y = 3e do ponto F = (0, 0)? Resp.: x+6y-9=0 SUGESTÃO: =(4,7) x,3) F =(0,0) Pelo enunciado: da(P,P)=d(P,F) 06. Determinar a equação da parábola abaixo representada e a equação de sua diretriz. Resp.: (y-1)=4(x-1) d:x=0 Jor. 1. Venturi 11. A parábola y = xº + bx + c passa pelo ponto P = (1,3) ea abscissa do foco é igual a 2. Calcular c. Resp.: c=6 12. Equação da parábola com eixo de simetria vertical, cujo vértice é V=(3, 1) e que intercepta o eixo das abscissas nos pontos (2, 0) e (4,0). Resp.: xX-6x+y+8=0 13. A parábola representada pela função y = ax” + bx + c passa pelos pontos (0, -3): (-3,0) e (2, 5). Obter a equação da parábola. Resp.:y=x+2x-3 14. Obtenha os pontos de intersecção das parábolas y =x" + 1 e y = -xX* + 3. Ademais, calcule os vértices e as intersecções de cada parábola com os eixos cartesianos. y Resp.: P=(-1,2)eP'=(1,2) 1.ºparábola: V=(0, 1); intercepta o eixo y no ponto (0, 1) e não intercepta o eixo x. 2.ºparábola: V=(0, 3); intercepta o eixo y em (0, 3); intercepta o eixo xnos pontos (3,0) e (3,0). 15. Obter o vértice e ofoco da parábola y' -6y — 12x— 15=0. Resp.: V=(-2,3)eF=(1,3) SUGESTÃO: a) Inicialmente isole a variável x: b) Calcule a ordenada do vértice : =—y? -D3 12” 2a CÔNICAS E QUÁDRICAS 16. Idem para: ay=m-Sx e bx?-8x-6y+14=0 Resp.: a) V=(8,27) é [52 efe) 17. Encontrar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábolax"+ 6x—12y +57=0. Resp.: F=(-3,7)ed:y-1=0 18. Os cabos de um lado de uma ponte pênsil com carga uniformemente distribuídas tomam a forma aproximada de um arco de parábola. As torres de suporte dos cabos tem 65 m de altura e o intervalo entre as torres é de 500 m. O ponto mais baixo fica a 15 m do nível da estrada. YA v EA T Of 4,ã x ty - 250 Wy2 Achar a equação da parábola considerando o sistema cartesiano sito conforme a figura. Calcular o comprimento (£) de um fio de sustentação situado a 100 m do centro da ponte. Resp.: xX—-1250y+18750=0e t=28m SUGESTÃO: a)V=(0,15) b) Equação da parábola: (x — 0)? = 2p(y — 15) c)P=(250,65)€ parábola > |p|=625. Jor. 1. Venturi 19. Determinar o comprimento de latus rectum da parábola xX=-16y. Resp.: 16 SUGESTÃO: a) A parábola tem foco y emF=(0,-4)ealatus rectum tem equação y=-4. b) Levando y = — 4 na equação da parábola x =-16(-4)> x=+8. 8,-4) e A =(8,-4). c) Comprimento da la- tus rectum: d(A,A)=16 OBSERVAÇÃO: Demonstra-se que o comprimento da latus rectum de yº = 2px oux=2py é2p. 20. Determinar as coordenadas das extremidades da latus rectum da parábola cuja diretrizéa retay -3=0ecujofocoé oponto F=(1,1). Resp.: P=(3,1)eP'=(-1,1) 21. O diâmetro de uma circunferência tem extremidades nas extremidades da latus rectum da parábola y - 8y -8x + 32=0. Pede-se a equação da circunferência. Resp.: (x-4) + (y-4) = 16 22. (ZÓZIMO GONÇALVES) Deduzir a equação da parábola de eixo vertical cujo foco é o ponto F = (-1, 3) e que passa pelo ponto P=(3,6). Resp.: (x+ 1) (x+1) 4(y-2)e CÔNICAS E QUÁDRICAS Registre-se que a parábola não corta os eixos x e y: fazendo x = 0 na equação dada obtém-se 9x” — 34x + 51 = 0. Esta equação possui discriminante negativo, e ipso facto é desprovida de raízes. Analogamente, se se fizer y = O na equação dada, a equação 16y-38y +51 =0 não possuiraízes. OBSERVAÇÃO: Cálculo das coordenadas do vértice V emrelação ao sistema xOy: Fórmulas de rotação: 1 e scsy 08 5) 17 5 5 “25 a(n+4fl ay 5) 19 Yos 5 25 “Brincar com a criança não é perder tempo, é ganhá-lo; se é triste ver meninos sem escola, mais triste ainda é vê-los sentados enfileirados, com exercícios estéreis, sem valor para a formação do homem." Carlos Drummond de Andrade (1902-1987), poeta brasileiro. 01. Obter a equação canônica da parábola x — 2xy +y'- 8x + 16=0 Resp.: y'2-2/2x'=0 02. Uma parábola tem o foco na origem e diretriz a reta r:2x+3y+5=0. Ache asua equação. Resp.: 9x +4y — 12xy -20x-30y-25=0 Jor. 1. Venturi SUGESTÃO: Seja P = (x, y) um ponto genérico da parábola. d(P 0)=d(P,r) Cas 03. Equação da parábola cujo foco é F = (0, 1) e cuja diretriz é a reta2x-y=0. Resp.:x+4y +4xy-10y+5=0 04. Numa parábola tem-se o V = (6, -3) ea diretriz 3x —- 5y + 1=0. Pede-se a sua equação. Resp.:25x+9y -30xy -414x+214y+ 1529=0 05. Obter a equação da parábola sabendo-se que o foco é F=(1,2) e o vértice coincide com a origem. Resp.:4x+4xy+y —20x+40y=0 SUGESTÃO: a)Dafigura: É = 5 > p= 25 sen6= e cos6= &l= an CÔNICAS E QUÁDRICAS b) A equação da parábola em relação ao sistema x'Oy' é: y'?=2px D c) Fórmulas de rotação : x-2y 5 2x+y 5 d) Substituindo Q em (D tem-se a resposta. x=xcos0-ysen6= y=xsen9+ycos0= 06. Calcular a equação da parábola de vértice no ponto (2, 2), que passa pelo ponto P = (4, 1) e cujo eixo focal está sobre areta y = i +ãx. Resp: 9x + 167 -24xy -68x— 76y +284=0 SUGESTÃO: Vide exercício precedente. AOS MESTRES Mais do que o conhecimento, o que faz o verdadei- romestre é a dedicação. Aos que, possuindo sabedoria, transmitiram-na comamor, o nosso preito de imorredouragratidão. Aos que souberam suprir as limitações, doando-se por inteiro, nosso perene reconhecimento. Aos que simplesmente nos passaram conhecimen- to:muito obrigado. E aos que, carecendo de luzes, foram incapazes de se doar, que não sejam julgados, mas compreendidos. Johann W. Goethe (1749-1832), o maior poeta alemão. Jair. 1. Venturi Dotriângulo retângulo B,OF, hachurado na figura, obtemos a rela- ção notável: a =bired N.B.:Arigor há um abuso de linguagem ao denominar-se de "eixo maior"o segmento AA, e de "eixomenor" o segmento B,B.. 3. EXCENTRICIDADE Uma importante característica da elipse é a sua excentricidade, que é definida pela relação: e-. (0<E<1, sendo E a letra grega épsilon) Comoaecsão positivos ec< a, depreende-se que 0< E <1. - Quanto mais próximo de zero for o valor de €, mais a elipse se aproxima de uma circunferência. Por outro lado, quanto mais achatada for a elipse, mais o valor de € se aproxima de 1. Uma vez fixo o valor de a, há uma correspondência entre o valor de £ e adistância focal: quanto mais a elipse se aproxima de uma circunte- rência, menor a distância entre os focos; e quanto mais achatada for a elip- se, maior a distância entre osfocos. F, F F, F . F, F, F. E=04 E=06 E=08 (CIRCUNFERÊNCIA) É fácil concluir quanto aos valores extremos do domínio de E: Se € = 0 tem-se uma circunferência de diâmetro 2a e os focos F, e F. coincidem com o centro da circunferência. Se E = 1 tem-se segmento retilineo F,F,. CÔNICAS E QUÁDRICAS 4. EQUAÇÃO CANÔNICA DA ELIPSE DE CENTRO NA ORIGEM a) O eixomaiorcoincide com o eixo x. y Sejam: P=(x,y) um ponto gené- rico da elipse. Por definição: da(P.F)+d(P, F)=2a (x +c) +(y-0P +Jlx-c) +(y-0 =2a Transpondo o 2.º radical ao 2.º membro : x +cP+y" =2a-Vx-c) +y? Elevando ao quadrado e desenvolvendo os produtos notáveis: (rc +y2=4a 4a flxoP +y? + (xo) +y? Isolando o radical: 4a v(x-c)2+y? =43º -40x Dividindo por 4 e tornando a quadrar: a2(x?-20x +02 +y2)=a* —-282cx + cêx? ou (42 -c2?)x2+a2y? =a2(a? -c?) Mas pela relação notável a? —c? =b?: b?x2 + c?y? = ab? Dividindo ambos os membros por a2b? : * ny tp! (eixo maior = eixo x) que é chamada equação canônica ou reduzida da elipse de cen- tronaorigem efocos sobre o eixo x. OBSERVAÇÃO: Está consagrado o uso da expressão: "o eixo maior coincide com o eixo x”, mas, que numa linguagem mais precisa usar-se-ia: "o eixo maior pertence ao eixo x". Jog. 1 Venturi b) O eixomaior coincide com o eixo y. y, Nafiguratem-se: F,=(0,c)e F,=(0,-c) De forma análoga de- monstra-se que para um P ponto P = (x, y) pertencente à elipse tem-se a equação canô- nica: (eixomaior =eixo y) Aqui cabe um destaque: na equação canônica a é a medida do semi-eixo maior e a” representa o maior dos denominadores. Se o número a*é denominador de: xº então os focos estão sobre o eixo x; y então os focos estão sobre o eixo y. 2 x Exemplifiquemos: A equação 4 + 16 senaquala”= 16; portanto a medida do seu eixomaioré 22=2/16=8 e 0 eixomaior coincide como o eixo y. 1 representauma elip- Depreende-se ainda, da equação, queb?=4=>b=2. Coordenadas dos focos : ci=af -b?=16-4=12 > >c=2/3. Então : F=(0,2/3) e E, =(0,-2/3) CÔNICAS E QUÁDRICAS 6. CONSTRUÇÃO DE UMA ELIPSE (Leitura Complementar) Discorramos sobre o chamado método do "carpinteiro" ou método do "jardineiro" (para dar forma aos canteiros). Sobre uma tábua cra- va-se dois pregos e fixa-se os extremos de um barbante, de comprimento 2a, nos dois pre- gos (focos). Estira-se o barbante com um lápis e se move este últi- mo até uma volta completa, sem- pre como barbante tenso. A figu- raajuda o entendimento e obser- veque d(P, F)+d(P,F)=2a. + R———— + 7. APLICAÇÕES PRÁTICAS DA ELIPSE (Leitura Complementar) a) Atrajetória dos planetas ao redor do Sol não é circular e sim elip- tica (não considerando o deslocamento do sistema solar). Foi Kepler (1571-1630) quem desenvolveu esta teoria. No caso da Terra os semi- eixos são a = 153.493.000 km e b = 153.454.000 km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra: =0,0167 (quase uma circunferência) O eixo maior apresenta dois pontos: o periélio (janeiro) e o afélio (julho), que correspondem às distâncias mínimas e máxima da Terra ao Sol, respectivamente. Ademais, no globo terrestre (geóide) o equador tem aproximada- mente a forma de uma circunferência e o meridiano de uma elipse. b) Arcos emforma de semi-elipse sáomuito empregados na cons- T— — trução de pontes de concreto e de pedras (desde os anti- gos romanos). c) Engenharia Civil: em Resistência dos Materiais é muito empre- gadaa elipse de inércia. Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias. Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excên- tricos). Jor. 1. Venturi d) Sob uma abóboda elíptica os sons emitidos em um foco têm melhor audibilidade nos pontos próximos ao outro foco, não obstante serem praticamente inaudíveis na região intermediária aos dois focos. região de baixa audibilidade e) O mais portentoso monumento arquitetônico de Roma antiga foi o Coliseu. A planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188m e o menor 156 m. Começou a ser construído em 72 por Vespasiano efoi concluído em 82 por Tito. A cobertura móvel, à altura de 85 m, era sus- tentada por um sistema inédito de tirantes, acionada em caso de chuva para proteger seus 40.000 espectadores. Diante da tribuna imperial, os gar- bosos gladiadores romanos destfilavam antes da luta e proferiam em alto e bom som: Ave, Caesar, morituri te salutant (Salve, César, os que vão mor- rerte saúdam). Exercícios “As paixões são loucas; porém, não precisam ser burras. Alberto Goldin (n.1940), psicanalista argentino. 01. Dê as equações das elipses cujos gráficos são representados abaixo: Resp. : CÔNICAS E QUÁDRICAS 02. Calcular a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10ecujo eixomenor mede 8. Resp.:2c=6 03. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo y e cujamedida do eixomaior é 5 e do eixomenoré 2. 2 yu Resp.: 4 4 25 04. Calcular a excentricidade da elipse 25x + 16y” = 400. 3 Resp.: — Ps SUGESTÃO: Calcule inicialmente a equação canônica, dividindo todos os ter- mos por 400: 2 2 2 25x 4 18y =1 ou X 4 = 400 400 16 25 05. A órbita da Terra é uma elipse e o Sol ocupa um dos focos. Sabendo que o semi-eixo maior tem 153 493 000 km e que a excentricida- de é de 0,0167, calcular a menor e a maior distância da Terra ao Sol. Resp.: 150929 660km 156056330km 06. Determinar os pontos de intersecção da elipse 9x” + 4y = 25 comos eixos cartesianos. Resp.: [-2 io |f2.0)fo,8 0-3 3 3 2 2 07. Pede-se a equação da elipse que passa pelos pontos (-2, 0), (2.0) e(0,1). Jor. 1. Venturi 16. Determinar a equação da elipse com centro na origem, focos sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos A = (2,2)eB= (243, 0). 2 4 Resp: X 4) =4 P 12 6 SUGESTÃO: = a) Equação da elipse : ts! D 4.4 bDA-(2,7)€D > Et! gB=-(3,)€D=> pe! O Resolve-se: (2) e (3) 17. Similarmente à parábola, o latus rectum da elipse é uma das duas cordas focais da elipse e perpendiculares ao seu eixo maior. Então, dadaa elipse 7 + 2 =1, pede-se comprimento do latus rectum. 18 Resp.: — Ps SUGESTÃO: Um dos focos da elipse é F = (0, 4). Os pontos de intersecção da reta y = 4 coma elipse é P, [54 P, =[5:4) Ocomprimentoéa d(P,, P). O CÔNICAS E QUÁDRICAS 18. Um cilindro de revolução tem por base um círculo de R = 6. Determinar a área da elipse intersecção do cilindro por um plano que forma com o seu eixo umângulo de 30º. Resp.:727u.a. SUGESTÃO: Da figura: a) b=6 6 bd) a= sen30º c) S=rab 19. Determinar a área do quadradoinscritonaelipse 9x + 16y = 625. Resp.:100u.a. SUGESTÃO: Os vértices do quadra- do são obtidos pelas intersec- çõesdasretasy=xey =-x com aelipse. Jor. 1. Venturi 8. EQUAÇÃO DA ELIPSE CUJO CENTRO É O'= (x., yo) E CUJOS EIXOS SÃO PARALELOS AOS EIXOS COORDENADOS 8. a) O eixomaior é paralelo ao eixo x. YA YA Por meio de uma transla- ção de eixos, representamos um novo sistema x'O'y', cuja origem O" = (xo, Yo) coincide como centro da elipse. A equação da elipse refe- rida ao novo sistema x'O'y' é: vo a at! O No entanto, as fórmulas detranslação fornecem: + 0 Levando em(D: a: VR ( = 44 = + (1) que representa a equação canônica da elipse cujo centro é O'=(Xo. Yo) e cujos focos estão sobre uma paralela ao eixo x. 8.b) O eixomaioréparaleloaoeixoy. YA YA Adotando um raciocínio simi- lar ao caso (1), ter-se-á para equação daelipse: (x=x2 (y-yo E ID) Yo Em (1) e (Il) eliminando-se os denominadores, desenvolvendo-se os produtos notáveis e ordenando-se as variáveis, a equação da elipse assume aformaAxº+ Cy + Dx+Ey+F=0,em queAeCtêmomesmosinaleAzC. O CÔNICAS E QUÁDRICAS ce data “A matemática vista com justeza, possui não apenas verdade, mas suprema beleza — uma beleza fria e austera, como só a grande arte pode mostrar." Bertrand Russel (1872-1970), filósofo e matemático inglês. (ref, (y=5P 01. Dada a equação da elipse 25 1, pede-seas coordenadas dos focos, do centro e o respectivo gráfico. Resp.: O'=(-6,5) F,=(-6,9) F,=(-6,1) 02. Obter a equação da elipse comcentro emO'=(8,-2),com b=tec=43. (x-8F (y+2f . =1 Fesp: + 03. Determinar as coordenadas dos focos da elipse “9 2 (x - + td 4 Resp.:F = (3+/3,-1) e E =(3-/3,-1) 04. Equação da elipse com focos em (-2, 3) e (6, 3) e vértices em (-3,3)e(7,3). Resp. 6 BP (=P, 25 9 Jor. 1. Venturi 05. Obter a equação da elipse cujos vértices são A, = (1,3); A, =(1,-7)B,=(-2,-2)eB,=(4,-2). Resp.: 1 =P 44 +2y =1 9 25 . 06. Calcular a equação da elipse de centro em (4, 2) e tangente aos eixos coordenados, sabendo que os eixos da elipse são paralelos aos referidos eixos cartesianos. > 2 oa (yo2f o, Resp. esp 16 4 07. Qual a equação do conjunto de ponto P = (x, y) cuja soma das distânciasaF,=(1,0)e F,=(3,0)é5? Resp.:84x + 100y'-336x— 189=0 SUGESTÃO: dPE)+dPE)=5 > Jx-P+y ry/x-3+y"=5 Efetuando tem - se aresposta. 08. Determinar as coordenadas do centro e a equação canônica daelipse4x+y'-40x—12y+120=0. e ua x y Resp.:0'=(5, > 40 =1 esp.:0'=(5,6) e 4 "16 09. Achar a equação canônica e as coordenadas dos focos da elipse 4x +3y'-32x+ 127+40=0. xy Resp.:— +55 =1 esp 9 12 F=(4-2+)/3) e E =(4-2-/3) 10. Construir o gráfico da elipse 4x" +9yº-8x— 36y +4=0. Resp.: CÔNICAS E QUÁDRICAS Série B “Ter problemas na vida não é ter vida infeliz." Da música "Pais Paraplégicos”, de Padre Zezinho, soj. 11.0 ponto B =(3, 11) é um dos extremos do eixo menor de uma elipse cujos focos estão sobre areta y + 6 = 0. Pede-se a equação da elipse conhecendo-se ainda a sua excentricidade igual a = 2 Resp.: (x-3Ê (y+6P 50 25 12. Um ponto P = (x, y) se desloca de modo que a soma de suas distâncias aos pontos (2, — 4) e (2,2) é 10. Deduzir a equação do lugar geométrico descrito. Resp.:25xº + 16y'- 100x+32y-284=0 9. EQUAÇÃO DA ELIPSE CUJO CENTRO É O' = (x,, yo) E CUJOS EIXOS NÃO SÃO PARALELOS AOS EIXOS COOR- DENADOS. Reiteramos que a existência do termo em xy na equação de uma elipse indica que os eixos da elipse são oblíquos aos eixos cartesianos. Faz-semister a rotação, além datranslação. ercício Resolvido “O homem nunca sabe do que é capaz até ser obrigado a tentar." Charles Dickens (1812-1870), escritor inglês. Dada a elipse de equação 5x + 6xy + 5y' —- 4x + 4y = 0, pede-se o centro, a equação canônica e o gráfico. RESOLUÇÃO: a) Ordem dastransformações: Do eo 1) translação Bº-4AC =(6)*- 4(5)(5) 40 tb) rotação b) Translação: Substituindo as fórmulas de translação na equação dada: 5(Xo+x)+ B(Xo 4X) (Yo +) + 5(Vo +] = Axo + x) + +4(Yo+y)=0 0 Jor. 1. Venturi Série B “Suaviter in modo, fortiter in re." Axioma latino: Suave no modo, forte na ação. 04. Umaelipse temo centro na origem e: a)eixo focal sobre areta y = 2x; b) um dos focos em F =(1,2); oa-2/5 e c=45. Pede-se a sua equação. Resp.:19x-4xy+ 167 =300 SUGESTÃO: 1) Equação da elipse em relação ax'Oy': xy? E +pr =1 O 2)Se a=2/5,0=/5 >b?=15 3) Da figura: seno=2 e coso=-L 5 5 x 4) Fórmulas de rotação: 1 2X-y 1 X+2y 5 5) Substituindo (2) em (1) tem-se a resposta. Q 05. Uma elipse tem: a) eixo focal sobre areta y = —x b) eixo menor sobre a reta y =x ob=1te c=1 2 Calcular a sua equação. Resp.:9x+2xy +9y'-10=0 O CÔNICAS E QUÁDRICAS SUGESTÃO: 1) Equação da elipse: xy? pa 1 O 2) Fórmulas de rotação (a = 45º): x'=xcos45º - y sen 45º H o y=xsen45º +y sen 45º 3) Substitua 2) em (D: 06. Uma elipse tem como focos os pontos F, = (-8, 15)e F,=(12,5)e passa pela origem do sistema cartesiano. Quala sua equação? Resp.:5xº +4xy +8y'-60x— 168y=0 ISS Ser forte, demaneira que nada possa perturbar a sua paz de espírito. Falar de saúde, felicidade e prosperidade a toda pessoa que encontrar. Fazer os seus amigos sentirem que há alguma coisa supe- rior dentro deles. Olhar para o lado glorioso de todas as coisas e fazer com que seu otimismo se torne realidade. Pensar sempre no melhor, trabalhar sempre pelo melhor e esperar somente o melhor. Esquecer os erros do passado e preparar-se para melhores realizações no futuro. Ter tanto entusiasmo e interesse pelo sucesso alheio como pelo próprio. Dedicar tanto tempo ao próprio aperfeiçoamento que não lhe sobre tempo para criticar os outros. Ser grande na contrariedade, nobre na cólera, forte no temor, e receber alegremente a provação. Fazer um bom juízo de si mesmo e proclamar este fato ao mundo, não emaltas vozes, mas em grandes feitos. Viverna certeza de que o mundo estará sempre ao seu lado, enquanto lhe dedicar o que há de melhor dentro de simesmo. Autor desconhecido. Jog. 1. Ventuni CAP TULL A Hipérbole 1. DEFINIÇÃO É o lugar geométrico dos pontos de um plano tais que o valor absoluto da diferença de suas distâncias a dois pontos fixos F, e F, (focos), domesmoplano, é uma constante (2a), onde 2a <d(F,F,): Assim: OBSERVAÇÃ ld F)-d(P. F)|=2a A hipérbole é uma curva com dois ramos e o valor absoluto pode ser desconsiderado desde que adotemos a diferença entre a maior e o menor distância. Aetimologia da palavra hipérbole, você encontra na pág. 231. 2. ELEMENTOS DAHIPÉRBOLE F,. F,: focos. A distância entre os focos F, e F., igual a 2c, denomina-se distân- ciafocal. O: Centro da hipérbole; é o ponto médio do segmento FF. A, A,: vértices da hipér- bole. Eixo real ou transver- so: é o segmento AA, e cujo comprimento é2a. Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B,B, e cujo comprimento é 2b. CÔNICAS E QUÁDRICAS b) excentricidade (€); Daequação acimaseobtéma=5eb=4. Cálculo de c: ci=a"+b*=25+16=41 > c=J41 Pesp.:g= = N8 a 5 c)ográfico. Ainda: A =(-5,0); A, =(5,0) 0,-4);B, 0,4) —[41,0); F, = (41,0) ce data “Para mim, a vida não é uma 'chama breve". Ela é uma espécie de chama esplendorosa que consegui segurar por algum momento, e quero fazê-la queimar o mais intensamente possível antes de passá-la às futuras gerações.” George Bernard Shaw (1856-1950), escritor irlandês. 01. Determinar a distância focal da hipérbole 9x — 16yº = 144. Resp.:10 Jog. 1. Ventuni 02. Obter as equações das hipérboles abaixo configuradas. Resp.: — — Resp.:— -— =1 03. Equação da hipérbole com focos em F,= (0,8) e F,=(0,-8)e vérticesem(0,6)e(0,-6). y x Resp.: —>-— =1 36 28 04. Equação da hipérbole cuja excentricidade él5e cuja distân- cia focal é 445. (O centro coincide com a origem e os focos estão sobre o eixo x). CÔNICAS E QUÁDRICAS 05. Obter a excentricidade da hipérbole 5x" -5yº =Kk (parak £0). Resp.: 2 06. Uma hipérbole tem o centro na origem e o eixo real coincide como eixo x. Ademais, 2b=6 e E= ã. Determine a sua equação. 2 Resp: LX 4 Pq 07. Obter a equação da hipérbole de focos em F, = (2,0) e F, = (-2,0) e que passa pelo ponto P = (3, 1). Resp.:x-y'=2 08. Calcular a equação da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo das ordenadas, que passa pelos pontos P o $) Q=(4,6). Resp.:5y'-9x=36 SUGESTÃO: y x a) Equação da hipérbole : Eb 1 b)PE hipérbole= a* = e c)QE hipérbole > b? = 4 Série B "Como é raro ter o mesmo critério para julgar o próximo e a nós mesmos." Tomás de Kempis (c. 1380-1471), in Imitação de Cristo. 09. Aelipse 2x + 3y” = 24 e a hipérbole x — y' = 5 se interceptam em4pontosA,B,C,D.DeterminaraáreadoretânguloABCD. 4546 5 Resp.: S= ua
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