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Paulo Agozzini Martin & Maria Lucia Singer

Sumario

Capıtulo 5. MATRIZES ELEMENTARES 49 1. Escalonamento revisitado 49 2. Matrizes elementares e determinantes 53

CAPıTULO 1

1. Sistemas lineares

Neste capıtulo vamos estudar os sistemas lineares, ou seja, sistemas de m equacoes em n incognitas, da forma

onde os coeficientes aij eo s bj sao numeros reais. Se algum dos bi for diferente de zero dizemos que o sistema eu m sistema nao-homogeneo; caso contrario, dizemos que eu m sistema homogeneo. Uma solucao do sistema acima e um conjunto ordenado de n numeros reais u1,...,u n, que, quando colocados respectivamente no lugar das incognitas, verifi- cam as m identidades:

Denotaremos um conjunto ordenado de n numeros reais por e o chamaremos de uma n-upla de numeros reais. O conjunto de todas as possıveis n-uplas de numeros reais sera denotado por Rn. Assim:

Nosso problema inicial consiste em saber se um dado sistema possui alguma solucao e em encontra-las todas, caso existam. Como nao fizemos nenhuma restricao aos inteiros m e n, temos sistemas com mais equacoes do que incognitas, com menos equacoes do que incognitas ou sistemas onde o numeros de equacoes e igual ao numero de incognitas.

Intuitivamente, um sistema com mais incognitas do que equacoes, como por exemplo:

tem uma infinidade de solucoes. Nesse exemplo, podemos deixar livres x2 e x3, e determinar x1:

de modo que as 3-uplas

sao todas as solucoes. Podemos tambem deixar livres as variaveis x1 e x3, de modo que as solucoes sejam representadas pelas 3-uplas:

Tambem intuitivamente percebemos que um sistema com mais equacoes do que incognitas nao tem muita chance de ter solucao, por exemplo:

Assim como a relacao entre o numero de equacoes e o numero de incognitas influencia na existencia de solucoes, destacamos tambem um caso digno de consideracao: todo sistema homogeneo possui pelo menos uma solucao, a saber (0,0,..., 0), chamada de solucao trivial.

Vimos acima exemplos de sistemas com uma infinidade de solucoes, com uma unica solucao e com nenhuma solucao. Veremos adiante que nao existem outras possibilidades!

2. Sistemas equivalentes.

Uma primeira observacao importante, embora muito simples, ea seguinte: dado um sistema linear, o seu conjunto solucao pode ser igualmente determinado (ou descrito) por inumeros outros sistemas de equacoes. Por exemplo o sistema:

2. SISTEMAS EQUIVALENTES. 7

determina o conjunto solucao S = {(1,1)}. Esse mesmo conjunto solucao e determinado pelo sistema:

ou pelo sistema

Assim, podemos nos fazer uma pegunta: fixado um sistema, existem transformacoes que podemos realizar nele de modo a simplificar as suas equacoes e, ao mesmo tempo, nao alterar o seu conjunto solucao?

Vamos comecar a responder essa questao por meio de um sistema simples

composto de tres equacoes a tres incognitas. Denotaremos cada equa-

Ei = bi. Apresentaremos a seguir tres operacoes muito simples que nao alteram o conjunto solucao do sistema:

1. Permutacao. Trocar de lugar duas equacoes do sistema:

2. Multiplicacao. Substituir uma das equacoes por um multiplo nao nulo dela mesma:

3. Adicao. Substituir a equacao Ei = bi pela sua soma com um multiplo de uma outra equacao, ou seja Ei + µ · Ej = bi + µbj (onde j = i)t ambem nao alteramos o conjunto solucao:

Cada uma das tres operacoes acima e chamada de operacao elementar. Veremos que, aplicadas em sequencia, elas sao extremamente uteis para simplificar as equacoes que descrevem um dado conjunto solucao. Dado um sistema linear, todo sistema obtido a partir dele, por meio de uma sequencia finita de operacoes elementares, ed itou m sistema equivalente ao sistema dado. Vimos acima que sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto solucao. Usualmente escrevemos

para denotar que os sistemas sao equivalentes.

Em uito facil de se perceber que se o sistema E′i = b′i pode ser obtido do sistema Ei = bi por meio de uma sequencia de operacoes elementares, entao Ei = bi tambem pode ser obtido do sistema E′i = b′ i por meio de uma sequencia de operacoes elementares. Isso porque cada operacao elementar pode ser desfeita ou invertida por outra operacao elementar. De fato: consideremos o sistema S de equacoes

onde Ei(x1,...,x n)= bj representa a i-esima equacao ai1x1 + · + ainxn = bi do sistema S.S e S1 e o sistema obtido a partir de S

2. SISTEMAS EQUIVALENTES. 9 permutando-se as linhas i e j,c om i = j,e ntao ec laro ques ep er- mutarmos novamente as mesmas linhas i e j do sistema S1, obteremos o sistema original S.S e S2 eo btidod e S multiplicando-se a i-esima equacao de S por λ =0 entao obteremos S multiplicando a i-esima equacao de S2 por µ =1 /λ.S e S3 eo btidod e S substituindo-se a i-esima equacao de S, Ei = bi,p or E′i = b′i, onde E′i = Ei + λEj (com j = i)e b′i = bi + λbj,e ntao S3 fica:

Em(x1,...,x n)= bm e substituindo-se a i-esima linha de S3 pela diferenca entre ela e λ vezes a j-esima linha (que nao se alterou) obteremos o sistema S.

Alem disso, se o sistema S e obtido do sistema S′ e o sistema S′ e obtido do sistema S′′ entao S eo btidod e S′′. Isso mostra que se definirmos S ∼ S′ como: S′ eo btidod e S por meio de operacoes elementares, entao:

As tres propriedades acima caracterizam as chamadas relacoes de equivalencia. Essa relacao ∼ definida acima entre sistemas lineares particiona o conjunto de todos os sistemas lineares em classes de sistemas equivalentes de tal modo que se S ∼ S′ entao o conjunto solucao de S e o conjunto solucao de S′ sao iguais.

Vamos aplicar algumas operacoes elementares no exemplo acima para simplificar as suas equacoes, produzindo coeficientes nulos:

10 1. SISTEMAS LINEARES

e agora resolvemos recursivamente, de baixo para cima. O ultimo sistema tem uma forma particularmente simples e vamos chama-lo de sistema escalonado, pela sua forma de escada

Embora essa forma ja nos permita resolver o sistema, podemos continuar simplificando as equacoes, se assim o desejarmos: substituimos

Multiplicando a segunda equacao por −1/4 e trocando a primeira equacao pela diferenca das duas primeiras:

Esse processo de escalonamento e chamado de escalonamento completo. Esse exemplo sugere que todo sistema linear pode ser reduzido, por meio de uma sequencia de operacoes elementares, a um sistema na forma escalonada.

CAPıTULO 2

1. Escalonamento

Um sistema linear de m equacoes e n incognitas ed itou m sistema escalonado se estiver na seguinte forma:

atktxkt + · + atnxn = bt

Aa parencia terrıvel desse sistema desaparece se o olharmos com boa vontade: o escalonamento se traduz no simples fato de que o segmento inicial de coeficientes nulos vai aumentando, da primeira equacao atea ultima. As equacoes com todos os coeficientes nulos – precisamente, da (t+1)-esima equacao atea m-esima equacao – acarretam a inexistencia de solucoes caso algum bj = 0 onde t +1 ≤ j ≤ m.A razao pela qual essas ultimas equacoes estao presentes na definicao e que elas podem aparecer no processo de escalonamento, como o exemplo abaixo ilustra:

Vejamos tres exemplos significativos de sistemas escalonados: o primeiro e um sistema com mais incognitas do que equacoes:

14 2. O METODO DE GAUSS

No segundo exemplo temos o mesmo numero de incognitas e de equacoes:

E claro que esse sistema nao possui solucao.

Os exemplos acima mostram que ef acil decidir se um sistema escalonado possui solucoes e que e igualmente facil encontra-las. Podemos resumir a analise do caso escalonado no lema abaixo, cuja demosntracao e vidente:

Lema 1.1. Consideremos um sistema linear escalonado de m equacoes e n incognitas. Entao, com a mesma notacao do inıcio da secao, podemos concluir:

1) Se bj =0 para algum t +1 ≤ j ≤ m, o sistema nao possui solucao.

2) Se bj =0 para todo t +1 ≤ j ≤ m es e kt = n, o sistema possui uma unica solucao.

3) Se bj =0 para todo t +1 ≤ j ≤ m es e kt <n , o sistema possui uma infinidade de solucoes.

Para compreender os sistemas lineares, precisamos provar que dado um sistema linear, ele e equivalente a um sistema escalonado. Esse eo objetivo do proximo

Teorema 1.2. Dado um sistema linear de m equacoes e n incognitas

onde nenhuma equacao ed ot ipo 0=0 , podemos reduzı-lo a um sistema escalonado por meio de um numero finito de operacoes elementares.

Prova: Reordenando as equacoes (se necessario), reescrevemos o sistema de modo que o segmento inicial de coeficientes nulos seja nao decrescente, isto e:

16 2. O METODO DE GAUSS

i-esima equacao, chegando ao sistema equivalente:

ultimas equacoes nao dependem mais da variavel x1k1 e portanto podemos retomar a analise inicial: reordenando as (m−1) ultimas equacoes

(se necessario), colocamos o sistema de modo a poder eliminar a dependencia de uma outra variavel e continuamos o processo do mesmo modo. Como em cada passo criamos um degrau, o resultado final sera um sistema escalonado. Isso termina a prova do teorema.

O sistema linear homogeneo que possui os mesmos coeficientes do sistema anterior:

sera chamado de sistema homogeneo associado ao sistema nao homogeneo dado. A questao que nos propomos tratar nesta secao e a seguinte: existe alguma relacao entre as solucoes desses dois sistemas?

Uma primeira observacao se impoe: suponhamos que (u1,...,u n) ∈ Rn seja uma solucao do sistema nao-homogeneo (estamos supondo que existam solucoes e que escolhemos uma delas ao acaso).

Fixada essa solucao, podemos fabricar outras solucoes de modo bem simples, utilizando as solucoes do sistema homogeneo associado: seja

(h1,...,h n) ∈ Rn uma solucao qualquer do sistema homogeno associado; entao tambem es olucao do sistema nao-homogeneo dado. A verificacao desse fato e imediata, e e consequencia da propriedade distributiva da multiplicacao dos numeros reais:

j=1 aijuj +

para todo 1 ≤ i ≤ m. Na verdade, um pouco mais e verdadeiro:

Teorema 2.1. Se (u1,...,u n) ∈ Rn e uma solucao fixada de um sistema linear nao-homogeneo, entao todas as solucoes desse sistema nao-homogeneo sao da forma onde (h1,...,h n) ∈ Rn percorre as solucoes do sistema homogeneo associado.

Prova: Falta provar apenas que toda solucao tem a forma enunciada no teorema. Suponhamos que (z1,...,z n) seja uma solucao do sistema nao-homogeneo. Entao para cada 1 ≤ i ≤ m temos

j=1 aijzj = bi.

18 2. O METODO DE GAUSS

Mas por hipotese sabemos que ∑n j=1 aijuj = bi,p arat odo1 ≤ i ≤ m. Subtraindo essas duas equacoes obtemos

ou seja, a n-upla (u1 − z1,...,u n − zn) ∈ Rn es olucao do sistema homogeneo associado. Se definirmos hj = zj−uj entao temos o teorema demonstrado.

O resultado acima e interessante tambem porque sugere que podemos definir uma adicao em Rn da seguinte maneira:

E claro que essa adicao de n-uplas e associativa, comutativa, tem

(0,..., 0) como elemento neutro, e cada n-upla (u1,...,u n)t em um oposto, a saber (−u1,..., −un). Essa soma e uma generalizacao natural da soma dos numeros reais (que e o conjunto das 1-uplas, ou R1). Um conjunto G munido com uma operacao de adicao que satisfaz as quatro propriedades mencionadas acima e chamado de grupo abeliano. Em uito facil de ver que o conjunto solucao de um sistema linear homogeneo e um grupo abeliano, com a adicao em Rn definida acima!

CAPıTULO 3

1. Operacoes com sistemas lineares Dados dois sistemas lineares com m equacoes e n incognitas,

j=1 aijxj = bi, com 1 ≤ i ≤ m, podemos realizar diversas operacoes com esses sistemas, de modo a obter outros sistemas lineares. Por exemplo, podemos soma-los da seguinte maneira:

obtendo um outro sistema. Podemos tambem multiplica-los por numeros reais α,β da seguinte maneira:

j=1 αaijxj = αbi,

Podemos tambem compor sistemas lineares, como por exemplo os sistemas

j=1 aijxj = bi, onde o sistema do lado esquerdo possui m equacoes e n incognitas, e o do lado direito possui n equacoes e p incogitas. Se substituirmos o sistema do lado direito no sistema do lado esquerdo, obteremos um sistema com m equacoes e p incognitas (mais adiante faremos essas contas).

Cada sistema resultante dessas operacoes tem os seus coeficientes determinados de maneira precisa, em funcao da operacao realizada, e

20 3. MATRIZES podemos visualizar esses processos com extrema clareza se introduzirmos uma notacao mais facil de manejar. Vamos representar um sistema linear

na chamada forma matricial: introduzimos a matriz m × n (dizemos que a matriz possui m linhas e n colunas) dos coeficientes

e escrevemos a n-upla das variaveis como uma matriz n × 1, isto e, uma n-upla vertical (vamos chama-la de transposta da n-upla usual).

Assim, se x =( x1,...,x n)t e b =( b1,...,b m)t, o sistema inicial pode ser escrito como

Ax = b, ou, mais explicitamente,

onde a multiplicacao A · x e a multiplicacao que definiremos a seguir (para matrizes em geral).

Se A =( aij)e uma matriz m × n e A′ =( a′kl)e uma matriz n × p entao a matriz A′ =( cij)e uma matriz m × p cujos coeficientes sao dados por

Essa multiplicacao aparentemente complicada nasceu da composicao de sistemas que mencionamos acima; de fato, se

e o sistema com m equacoes e n incognitas e se p∑

e o sistema com n equacoes e p incognitas, a composicao fornece

j=1 aij ou seja,

de modo que dentro dos parenteses apareceram os novos coeficientes, que sao exatamente os obtidos pela multiplicacao matricial acima definida.

Vamos denotar por Mm,n(R) o conjunto de todas as matrizes com m linhas e n colunas. Aqui m e n sao numeros inteiros com m,n ≥ 1.

Denotaremos os elementos de Mm,n(R)p or (aij), subentendendo que 1 ≤ i ≤ m e1 ≤ j ≤ n.

A soma de sistemas lineares corresponde uma soma de matrizes: se

A =( aij)e A =( a′ij)s ao duas matrizes de Mm,n(R), definimos a sua soma como sendo a matriz C =( cij)d e Mm,n(R) onde cij = aij + a′ij, ou seja, somamos coeficiente a coeficiente. Podemos tambem definir uma multiplicacao de matriz por numero real: se α ∈ R e A =( aij) ∈ Mm,n(R), definimos a matriz αA por αA =( αaij).

Para o produto de matrizes (que traduz a ideia de composicao de sistemas lineares e tambem a ideia de mudanca de variaveis) temos que multiplicar uma A =( aij) ∈ Mm,n(R)p or uma A′ =( a′ij) ∈ Mn,p(R) do modo anteriormente definido:

2 3. MATRIZES

O leitor deve observar que quando m = n o produto de matri- zes acima fornece outra matriz de Mm,m(R), de modo que esse caso merece uma atencao especial. Doravante vamos representar o con- junto Mm,m(R)s implesmentep or Mm(R). Uma matriz de Mm(R) sera chamada de matriz quadrada de ordem m. Os teoremas abaixo, cuja demonstracao e elementar, apresentam as principais propriedades das operacoes introduzidas:

Teorema 1.1. As operacoes de adicao e multiplicacao por numero real que foram definidas para Mm,n(R) tem as seguintes propriedades:

A4)(Existencia de oposto) Dada uma A ∈ Mm,n(R) existe B ∈ Mm,n(R) tal que A + B =0 .

Teorema 1.2. Ao peracao de produto de matrizes em Mn(R) possui as seguintes propriedades:

A matriz 0 da propriedade A3) e chamada de matriz nula,e ea matriz 0 = (aij)c om aij = 0. A matriz I da propriedade AL5) e chamada de matriz identidade e por vezes e denotada In, para explicitar que eu me lementod e Mn(R). Temos que In =( aij)c om aii =1 e aij =0 se i = j:

onde

As propriedades acima nos dizem que Mm,n(R)e um conjunto muito rico do ponto de vista estrutural: por ter as propriedades A1)- A4)

Mm,n(R)e um grupo abeliano; esse fato, juntamente com as propriedades M1) - M4), fazem com que Mm,n(R)s ejau me spaco vetorial, e, alem disso, como valem tambem AL1) - AL5), Mn(R)eu ma algebra associativa com unidade. O leitor interessado em saber mais sobre es- sas estruturas algebricas pode consultar, por exemplo, Basic Algebra volumesIeI Id eN .J acobson.

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