PME2300 Gabarito P3 2007

PME2300 Gabarito P3 2007

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

PME2300 – Mecânica dos Sólidos I - Prova #03 – 21/05/2007 – Gabarito

1ª Questão (5,0 pontos)

A viga prismática contínua da figura está engastada em A e em C e apoiada em B. Sabendo-se que o comprimento da viga é 2L, que a sua rigidez flexional é EI e que ela está submetida a um carregamento vertical, uniformemente distribuído, de intensidade q, pede-se: a) Determinar a equação da linha elástica para o trecho AB e esboçá-la; b) Determinar a equação do momento fletor para o trecho AB e esboçar o diagrama correspondente; c) Determinar a equação da força cortante para o trecho AB e esboçar o diagrama correspondente; d) Calcular as reações e indicar os sentidos corretos das mesmas em um diagrama de corpo livre.

x q x q

Resolução: a) equação diferencial da linha elástica:

condições de contorno: por simetria, o trecho AB é equivalente a uma viga bi-engastada de comprimento L

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica x q x q

e, portanto,

Anti-simétrica em relação a . (0,5) Lx=

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica d)

(0,5) Diagramas

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2ª Questão (5,0 pontos) A estrutura da figura é composta por duas barras de secção circular e raio externo R. O módulo de elasticidade do material é E, e sua tensão de escoamento é Eσ. A barra AD, contínua e de comprimento 2a, é articulada em A e apoiada em C, sobre a extremidade da barra BC. À estrutura está aplicada uma carga vertical P, conforme mostra a figura. Pede-se:

a) Calcular as reações vinculares (externas e internas) em A, B e C. Indique as componentes horizontais e verticais por H e V; ex.: . Elaborar os diagramas de corpo-livre. );(AAVH b) Determinar a equação do momento fletor na barra AD e esboçar o diagrama correspondente.

c) Calcular a deflexão verticalDδ na extremidade D da barra AD, através do Segundo Teorema de Castigliano.

d) Determinar a máxima carga P que pode ser aplicada à estrutura, por dois critérios: (1) de flambagem e (2) de resistência, segundo Von Mises.

(Use para ambos os critérios coeficiente de segurança 0,2=S).

DC x y a a

DC x

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Resolução: a) Reações vinculares (externas e internas) em A, B e C.

PVA= e PVVCB2==

b) Equação do momento fletor na barra AD e respectivo diagrama.

aaA C xD aaA C xD axPx xM

0;

c) Deflexão verticalDδ na extremidade D da barra AD, através do Segundo Teorema de Castigliano.

D dxP

MxMEIdxPM xIxE xMP axx

0;

)( , de forma que:

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D duudxxEI PdxxadxxEIP 0 20

Então:

(0,5) d) Máxima carga P que pode ser aplicada à estrutura;

(1) por critério de flambagem:

Apenas a barra BC estará sujeita à compressão, de intensidade PHVFCC2222=+=. A carga crítica de Euler para viga prismática de seção constante e bi-articulada é dada por:

(2) pelo critério de resistência segundo Von Mises:

A máxima tensão combinada, devido à tração e flexão, ocorre no ponto C, no dorso da barra AD (desconsideraremos a tensão de contato devida à reação vincular neste ponto). Nesta situação, desprezando os efeitos da cortante, este ponto estará em um estado uniaxial de tensão, com valor:

PRIPa πππσ, que pode ser comparada diretamente à

tensão de escoamento do material. (0,5)

Admitindo-se o mesmo coeficiente de segurança, 0,2=S, deve-se então ter 2Eσσ≤, ou seja:

Pσπ≤+⇒a

≤ σπσπ . (0,5)

Note que, com aR<< tem-se, assintoticamente,

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