PME2300 Gabarito PSub 2007

PME2300 Gabarito PSub 2007

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

PME2300 – Mecânica dos Sólidos I - Prova Substitutiva – 26/06/2007

Duração: 100 minutos

(É proibido o uso de calculadoras)

1ª Questão (5,0 pontos)

A treliça da figura é formada por barras com rigidez axial EA e com rigidez flexional EI dadas e está contida em um plano vertical. Sabendo que ela está submetida a uma força P aplicada ao seu nó A, pedese:

a) Determinar as forças que atuam em cada barra; b) Identificar as barras que podem estar sujeitas a flambagem; c) Determinar o máximo valor de P para que não ocorra flambagem em nenhuma das barras; d) Calcular a energia de deformação armazenada na treliça; e) Determinar o deslocamento vertical do nó A; f) Determinar o deslocamento horizontal do nó A.

a) As forças nas barras podem ser obtidas pelo método dos nós, resultando:

2PFAC=; PFAB−=; 2PFBC−= e PFCD2=, onde o sinal (-) representa uma força de compressão. (1,0)

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica b) As barras que podem estar sujeitas a flambagem são as barras que estão submetidas a força de compressão (AB e BC). (0,5) c) Para uma barra prismática bi-articulada a carga crítica (carga de Euler) é dada por

22l EIPcrπ=, onde l é o comprimento da barra.

Portanto, para a barra AB: 2 4L

EIPπ= (0,5)

d) Como a estrutura é uma treliça, só haverá energia de deformação devida à força normal aplicada em cada barra:

LPLPLPLP EAEA lNU

+= EA LPU (1,0) e) Sendo Vδ o deslocamento vertical do nó A, teremos, pelo Princípio do Trabalho e da Energia,

f) Se considerarmos uma força fictícia H aplicada ao nó A, da esquerda para a direita, ela se transmitirá integralmente à barra AB e, portanto, só influirá na parcela da energia de deformação correspondente a essa barra. Assim, sendo essa parcela teremos, considerando a existência da força fictícia, ABU

() EA LHPUAB 2

Pelo 2º. Teorema de Castigliano, sendo Hδ o deslocamento horizontal do nó A, teremos:

LHPδEAPLH2=δ (1,0)

(da esquerda para a direita)

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2ª Questão (5,0 pontos) Foram medidas as deformações e distorções em um ponto da superfície externa de uma estrutura,

elasticidade do material é e sua tensão de escoamento é GPa200=EMPa900=Eσ. Pede-se:

a) Determinar o coeficiente de Poisson ν.

Eγτν ⇒ 3

(0,5)(0,5)

b) Calcular as tensões yzxzzyxττσσσ,,,,. O estado de tensões é plano ou triplo? Justifique. Pela Lei de Hook generalizada:

yxzz xzyy zyxx

Assim, com εεεε=−==zyx :

z yx Eσ

MPa300z yxσ

(0,3) Também,

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xzzxzx zyyzyz yxxyxy

Como 0==xzyzγγ, então, 0==xzyzττ. (0,5)

O Estado de Tensões é plano (no plano xy), pois 0≡zσ e 0==xzyzττ. (0,5) c) Determinar as tensões principais.

O tensor das tensões é dado por: (MPa) 300 com ; 0

d) Calcular os coeficientes de seguranças e , considerando os critérios de Tresca e de Von Mises. TS VMS

1) Pelo critério de Tresca, devemos comparar a tensão de cisalhamento máximo com o valor correspondente ao estado uniaxial sob tensão de escoamento. Ou seja:

xy EEMAX

2) Pelo critério de Von Mises, devemos comparar a tensão equivalente correspondente à máxima energia de distorção, com o valor desta tensão no estado uniaxial, sob tensão de escoamento. Ou seja:

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