PME2300 Gabarito P2 2007

PME2300 Gabarito P2 2007

(Parte 1 de 2)

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

PME2300 – Mecânica dos Sólidos I - Prova #02 – 15/05/2007 – Gabarito

1ª Questão (4,0 pontos)

A viga ABC da figura está articulada em A e é suportada por um tirante em B. O comprimento da viga é 2L e a sua rigidez flexional é EI. O comprimento do tirante é L e sua rigidez axial é EA.

Pede-se determinar, usando o Princípio do Trabalho e da Energia, o deslocamento vertical δ que sofre a extremidade livre C da viga quando nela é aplicada uma força vertical P.

a) Força normal no tirante DB:

PN2= (0,5) b) Energia de deformação armazenada no tirante DB:

c) Energia de deformação armazenada na barra AC:

∫= L AC dxEI

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica d) Energia de deformação total:

e) Trabalho realizado pela força aplicada:

2 δPW= (0,5) f) Princípio do Trabalho e da Energia

δ EAPLEI PL 43

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2ª Questão (6,0 pontos)

Um dinamômetro de alta capacidade, projetado para medir cargas de tração de até 2000kN em sistemas de amarração de navios, é construído a partir da usinagem de uma peça de aço carbono, liga SAE4340 (ABNT4340), de alta resistência. O dinamômetro é inserido na linha através de duas manilhas ligadas a dois tornéis (distorcedores). Os pinos das manilhas, inseridos nos olhais, transmitem ao dinamômetro a carga de tração F, a ser medida. Os tornéis dão liberdade de giro ao conjunto, de forma a minimizar a aplicação de torção. O sensoriamento da carga de tração é feito indiretamente, através da medida de deformações, utilizando-se rosetas de extensômetros elétricos, que são coladas à superfície do “pescoço” da peça, em sua seção intermediária. São 4 conjuntos de rosetas, instalados a 90º entre si e ligadas eletricamente de forma a compensar deformações decorrentes de esforços outros que não os de tração. A calibração do dinamômetro é realizada em aparato de ensaio de tração.

b a b a b a

Na fase de dimensionamento do dinamômetro, uma das preocupações do projetista é a definição do diâmetro D. Por um lado deseja-se grande sensibilidade. Por outro, requer-se a resistência necessária. Admitindo que não haja qualquer imposição de flexão e que o material seja isotrópico e linear-elástico.

(I) Pede-se determinar, de forma analítico-literal, no ponto A da superfície do pescoço da peça: (a) A tensão normal à seção, xσ, associada à tração F;

(b) A tensão de cisalhamento, xyτ, associada a um torque residual, de magnitude T;

(c) O tensor das tensões , segundo os eixos locais (x,y,z); T (d) As tensões principais e as direções a elas correspondentes. (e) A máxima tensão de cisalhamento e a direção correspondente, medida angularmente a partir do eixo x; (f) As deformações principais.

(I) Para um diâmetro D=80mm, uma carga máxima de tração de 2000kN, e uma torção residual de 5kNm, determinar numericamente o coeficiente (ou fator) de segurança S da peça, segundo os seguintes critérios de resistência (faça considerações acerca da aplicabilidade dos diferentes critérios):

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(g) Critério de Tresca ou de Máxima Tensão de Cisalhamento: ; TS (h) Critério de Von Mises, ou de Máxima Energia de Distorção: ; VMS

(i) Critério de Rankine, ou de Máxima Tensão Normal: . RS

(I) Determinar numericamente, neste caso de carregamento:

(j) As deformações principais;

(k) A deformação xε, e o erro que seria cometido na leitura da tração, devido ao efeito de torção.

Dados: 1. Propriedades mecânicas do Aço ABNT 4340, após usinagem e tratamento térmico:

E=200GPa; ν=0,3;

Solução: (I) Pede-se determinar, de forma analítico-literal, no ponto A da superfície do pescoço da peça:

(a) A tensão normal à seção, xσ, associada à tração F:

(b) A tensão de cisalhamento, xyτ, associada a um torque residual, de magnitude T:

(c) O tensor das tensões , segundo os eixos locais (x,y,z): T Estado plano de tensões: 0===yzxzzττσ. Mais ainda, 0=yσ. Logo:

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DTDFxy xy π ππτ τσx

T (0,5)

(d) As tensões principais e as direções a elas correspondentes: Convencionando as direções principais (1,2) no plano (x,y).

DFTDFπσ (0,3)

2tan1−=−−=⇒⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝

xxyx xy στ σστθ 2 ⎛−= − xxyστθ 2 tan2

1

(e) A máxima tensão de cisalhamento e a direção correspondente, medida angularmente a partir do eixo x; σστ (0,3)

(f) As deformações normais nas direções das tensões principais:

DFTDFπσ e 03=σ

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(0,5)(0,5)

Alternativamente (1,0), as deformações nas direções (x,y,z) são dadas por

() xxyxzz xxxzyy xzyxx

(0,3) e as distorções correspondentes a estas direções por:

yz xz xxyxy xy FDTDT EEG

(0,2) de tal forma que o tensor de deformações, nas direções (x,y,z) fica:

2DE F z yxy xyx E com FDT4=β e que leva ao seguinte problema de autovalor:

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