(Parte 1 de 12)

Capítulo 4 Derivada

4.1 Introduçªo

Neste capítulo estabeleceremos a noçªo de derivada de uma funçªo. A derivada envolve a variaçªo ou a mudança no comportamento de vÆrios fenômenos. Inicialmente apresentaremos a de niçªo de reta tangente ao grÆ co de uma funçªo. Posteriormente, de niremos funçıes derivÆveis e derivada de uma funçªo num ponto, dando Œnfase ao seu signi cado geomØtrico.

4.2 Reta Tangente

Seja uma funçªo de nida num domínio que pode ser um intervalo aberto ou uma reuniªo de intervalos abertos, ou ainda, tal que para todo intervalo aberto que contenha , se tenha: . Considere e

( ) pontos no grÆ co de , ; seja a reta secante que passa por e ; seu coe ciente angular Ø:

Fixemos o ponto e movamos sobre o grÆ co de em direçªo a , atØ um pontotal que ; seja a reta secante que passa por e ; seu coe ciente angular Ø:

134 CAPTULO4. DERIVADA

P x x x x x r r rf(x)

Figura 4.1:

Suponha que os pontos ( ) vªo se aproximando sucessivamente do ponto

(mas sem atingir ), ao longo do grÆ co de ; repetindo o processo obtemos , retas secantes de coe cientes angulares , respectivamente. É possível provar, rigoro- samente, que quando os pontos vªo se aproximando cada vez mais de , os respectivos, variam cada vez menos, tendendo a um valor limite constante, que denotaremos por .

De niçªo 2. A reta passando pelo ponto e tendo coe ciente angular , Ø chamada reta tangente ao grÆ co de no ponto .

existe, fazendo a mudança , temos:

Como Ø um ponto arbitrÆrio, podemos calcular o coe ciente angular da reta tangente ao grÆ co de para qualquer ponto :

Assim, só depende .

De niçªo 23. Se for contínua em , entªo, a equaçªo da reta tangente ao grÆ co de no pontoØ:

se o limite existe,

Exemplos 59.

[1] Determine a equaçªo da reta tangente ao grÆ co de , no ponto .

Denotemos por o coe ciente angular da reta tangente à parÆbola passando pelo ponto

. Seja e pontos da parÆbola; o coe ciente angular da reta secante à parÆbola passando por e Ø:

Figura 4.2:

Do desenho, Ø intuitivo que se aproxima-se de ( aproxima-se de ), os coe cientes angu- lares de ambas as retas carªo iguais; logo:

A equaçªo da reta tangente ao grÆ co de , no ponto Ø ou, equivalen- temente, .

Figura 4.3: Reta tangente a , no ponto .

[2] Determine a equaçªo da reta tangente ao grÆ co de , no ponto .

Seja o coe ciente angular da reta tangente ao grÆ co da funçªo passando pelo ponto. Seja e pontos da curva; o coe ciente angular da reta secante à

136 CAPTULO4. DERIVADA curva passando por e Ø:

Q x

Figura 4.4:

Novamente do desenho, Ø intuitivo que se aproxima-se de aproxima-se de os coe - cientes angulares de ambas as retas carªo iguais; logo: 5

A equaçªo da reta tangente ao grÆ co de , no ponto Ø ou, equivalen- temente, .

Figura 4.5: Reta tangente a , no ponto .

[3] Determine a equaçªo da reta tangente ao grÆ co de , no ponto .

Utilizemos agora diretamente a de niçªo:

Logo . A equaçªo da reta tangente ao grÆ co de , no ponto Ø .

4.3. FUNÕESDERIVVEIS 137

Figura 4.6: Da de niçªo segue que a equaçªo da reta normal ao grÆ co de no ponto Ø:se

4.3 Funçıes DerivÆveis

Seja uma funçªo de nida num domínio que pode ser um intervalo aberto ou uma reuniªo de intervalos abertos ou ainda, tal que para todo intervalo aberto que contenha , se tenha: .

De niçªo 24. Uma funçªo

Ø derivÆvel ou diferenciÆvel no ponto quando existe o seguinte limite:

Fazendo a mudança , temos:

Ø chamada a derivada de no ponto

. Como Ø um ponto arbitrÆrio, podemos calcular a derivada de para qualquer ponto ;

Assim

Ø funçªo de e .

De niçªo 25. Uma funçªo

Ø derivÆvel (ou diferenciÆvel) em , se Ø derivÆvel ou diferenciÆvel em cada .

(Parte 1 de 12)

Comentários