Apostila Topografia

Apostila Topografia

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β a = 2m m AB

C b = 3 c = 1m

1

sen α = 2

1
3

cos α = 2

3
1
m tg β = 3

Obs.: É importante lembrar que as funções trigonométricas são adimensionais, ou seja, para qualquer unidade que esteja sendo utilizada, elas sempre se simplificarão, como pode ser visto no exemplo acima.

2) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um ângulo de 56º 0’0”. Afastando-se de 20,0 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35º 0’0”. Calcule a largura do rio (CEFET, 1984).

TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion

3) Para determinar a largura de um rio, um topógrafo mediu, a partir de uma base de 20,00m de comprimento os ângulos A e B, conforme figura. Calcule valor de h.

BP M h a b

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2.4 - RELAÇÕES MÉTRICAS COM O TRIÂNGULO RETÂNGULO

Para um triângulo retângulo ABC pode-se estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:

Onde: b, c: catetos; h: altura relativa à hipotenusa;

B C b nm H h

TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion a: hipotenusa; m, n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

As seguintes relações métricas podem ser definidas:

a) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

b2 = a . n c2 = a . m b) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa.

b . c = a . h c) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

h2 = m . n

a2 = b2 + c2(Teorema de Pitágoras)

d) O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

2.5 - EXERCÍCIO A partir da primeira relação métrica, deduzir o Teorema de Pitágoras.

b2 = a . n c2 = a . m b2 + c2 = a . m + a . n

como: (m + n) = a ,então

b2 + c2 = a . (m + n) b2 + c2 = a . (a) ou b2 + c2 = a2

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2.6 - TRIÂNGULO QUALQUER

2.6.1 - LEI DOS SENOS

“Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita”.

B C bac

a== (2.3)

senCcsenBbsenA

2.6.2 - LEI DOS COSSENOS

“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam”.

a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cos A(2.4)

2.7 - EXERCÍCIO

Um topógrafo, a partir dos pontos A e B, distantes de 20m, realiza a medição dos ângulos horizontais a duas balizas colocadas em D e C, com o auxílio de um teodolito. Calcule a distância entre as balizas (CEFET, 1984).

TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion

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É comum em levantamentos topográficos a necessidade de representar no papel uma certa porção da superfície terrestre. Para que isto seja possível, teremos que representar as feições levantadas em uma escala adequada para os fins do projeto. De forma simples, podemos definir escala com sendo a relação entre o valor de uma distância medida no desenho e sua correspondente no terreno. A NBR 8196 (Emprego de escalas em desenho técnico: procedimentos) define escala como sendo a relação da dimensão linear de um elemento e/ou um objeto apresentado no desenho original para a dimensão real do mesmo e/ou do próprio objeto.

Normalmente são empregados três tipos de notação para a representação da escala:

E = d D onde:

d = distância no desenho;
D = distância no terreno.

M = denominador da escala;

Por exemplo, se uma feição é representada no desenho com um centímetro de comprimento e sabe-se que seu comprimento no terreno é de 100 metros, então a escala de representação utilizada é de 1:10.0. Ao utilizar a fórmula (3.2) para o cálculo da escala deve-se ter o cuidado de transformar as distâncias para a mesma unidade. Por exemplo:

d = 5 cm

cmE

D = 0,5 km

As escalas podem ser de redução (1:n), ampliação (n:1) ou naturais (1:1). Em

Topografia as escalas empregadas normalmente são: 1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000. Logicamente que não é algo rígido e estes valores dependerão do objetivo do desenho.

Uma escala é dita grande quando apresenta o denominador pequeno (por exemplo, 1:100, 1:200, 1:50, etc.). Já uma escala pequena possui o denominador grande (1:10.0, 1:500.0, etc.).

O valor da escala é adimensional, ou seja, não tem dimensão (unidade). Escrever 1:200 significa que uma unidade no desenho equivale a 200 unidades no terreno. Assim, 1 cm no desenho corresponde a 200 cm no terreno ou 1 milímetro do desenho corresponde a 200

03 - ESCALAS

(3.1)

(3.2) (3.3)

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