Algumas Propriedades de Matrizes

Algumas Propriedades de Matrizes

Algumas propriedades das matrizes

IE-120 Fundamentos de Métodos Numéricos

Prof. Flávio Mendes Neto Agosto de 2001

1. Introdução. Uma matriz com n linhas e m colunas pode ser representada por

i =1n(1.2)
j =1m.(1.3)

onde os índices do termo genérico aij podem assumir os valores

Às vezes pode ser conveniente separar os índices do termo genérico por vírgula, por exemplo: ai,j.E xplicitamente pode-se, ainda, escrever

a11 a12a1m
a21 a22a2m
an1 an2anm

Ao rdem (n×m) da matriz pode, em geral, ser omitida quando suas dimensões ficarem claras no contexto. Em geral as matrizes são designadas por letras maiúsculas

1.1. Alguns formatos comuns de matrizes. A seguir são listados alguns tipos comuns de matrizes. Matriz quadrada: mesmo número de linhas e de colunas (n = m).

a11 a12a1n
a21 a22a2n
an1 an2ann

Vetor linha: n =1 . Normalmente os vetores são designados por letras minúsculas. Por exemplo: xm ou x−→m. Vetor coluna: m =1 . Em geral o termo vetor está associado ao vetor coluna. A representação usual de vetores é x−→n = x−→ = {xi}(1.6) onde o índice do termo genérico xi tem a variação

i =1n.(1.7)

A dimensão dos vetores também é freqüentemente omitida. Outra representação comum de vetores é

ou, economizando papel,

x1 x2xn ¤

onde o “expoente” T representa a operação de transposição, comentada mais adiante. 1

Matriz nula:d efinida por aij =0 ,∀i,j. É representada, normalmente, por 0, 0.E xiste, de forma correspondente, o vetor nulo.

Matriz diagonal (quadrada): todos os elementos fora da diagonal principal (i = j) são, necessariamente, nulos, ou seja, aij =0 quando i 6= j. São freqüentes as representações

onde i =1n.

D = diag (dii)(1.10) Matriz identidade: matriz diagonal com todos os elementos da diagonal unitários.

Matriz triangular inferior (quadrada): todos os elementos acima da diagonal principal são, necessariamente, nulos, ou seja, aij =0 quando i< j. Geralmente é representada por

l11 00
l21 l220
ln1 ln2lnn

onde o L vem da palavra lower (inferior, em Inglês). Matriz triangular superior (quadrada): todos os elementos abaixo da diagonal principal são, necessari- amente, nulos, ou seja, aij =0 quando i>j . Geralmente é representada por

u11 u12u1,n−1 u1n
0 u22u2n
00 unn

onde o U vem da palavra upper (superior, em Inglês). Matriz simétrica (quadrada): uma matriz é chamada de simétrica quando os seus elementos possuem a propriedade aij = aji para ∀i,j. Matriz anti-simétrica ou anti-métrica (quadrada): uma matriz é chamada de simétrica quando os seus elementos possuem a propriedade aij = −aji para ∀i,j.

Matriz com estrutura simétrica (quadrada): uma matriz tem estrutura simétrica quando aij 6=0 implica, necessariamente, em aji 6=0 para ∀i,j.

Matriz de banda (quadrada): uma matriz é chamada de banda quando aij =0 para |i −j| >m onde m é a largura de banda. Se m =0 a matriz é diagonal. Se m =1 a matriz é chamada de tridiagonal. O número de elementos na diagonal é 2m +1 . Exemplo de matriz tridiagonal:

Perfild a matriz (skyline): configuração dos elementos não nulos de uma matriz. Matriz esparsa: matriz cuja quantidade de elementos nulos é significativa (existem vários índices de “esparsidade”).

Matriz de permutação: é obtida por uma permutação (troca) das linhas ou colunas da matriz identidade. Por exemplo:

• Pré-multiplicar pela matriz de permutação troca as linhas da matriz multiplicada

Pós-multiplicar pela matriz de permutação troca as colunas da matriz multiplicada Matriz de reflexão (ortogonal):

R w−→ éo vetor w−→ refletido no plano ao qual o vetor v−→ é ortogonal. Matriz de rotação (ortogonal). Exemplo:

1.2. Algumas operações com matrizes. A seguir são listadas algumas operações com matrizes. Soma: sejam as matrizes An×m e Bn×m. A matriz queéa soma dasm atrizesa nterioresé

para i =1n e j =1 .. .m.

Multiplicação: sejam as matrizes An×m e Bm×p. A matriz que é a multiplicação das matrizes anteriores é

para i =1n e j =1 .. .m. Note que o produto AB pode não existir (em função do número de linhas e

colunas das matrizes) e que não necessariamente éi gual a B A. Multiplicação de uma matriz por um escalar:

Matriz transposta: Bm×n é a matriz transposta de An×m (indicada por AT)s e bij = aji ∀i,j. • Uma matriz quadrada é simétrica quando AT = A

Se A e B são simétricas o produto AB não é, necessariamente, simétrico. Se A é simétrica então o produto BT AT B também é uma matriz simétrica. Traço de uma matriz (quadrada):

Matriz inversa (quadrada): B éa matriz inversa de A (indicada por A−1)s e BA = AB = I onde I éa matriz identidade. • (AB)−1 = B−1A−1

Se a matriz A for simétrica e inversível então A−1 é, também, simétrica.

Determinante de matriz (quadrada): indicado por |A| ou det(A) é um número associado à matriz A.

Uma forma de calcular determinantes será comentada no tópico de solução de sistemas lineares. •| A| = AT¯

|A| =0 quandoam atriz A possuir linhas (ou colunas) linearmente dependentes. Neste caso a matriz é dita singular.

|AB| = |A|| B|A−1 =1 / |A| Multiplicando toda uma linha (ou coluna) de uma matriz A por um escalar α od eterminante dam atriz é, também, multiplicado por α O determinante muda de sinal quando são trocadas duas linhas (ou colunas) de uma matriz O determinante não é alterado se a uma linha (ou coluna) for somado um múltiplo de uma outra linha (ou coluna) Uma matriz só é inversível quando |A|6 =0

Matriz ortogonal (quadrada): é aquela que possui a propriedade A−1 = AT.

• O determinante de uma matriz ortogonal sempre vale ±1. Autovalor e autovetor (matrizes quadradas): um autovalor λ da matriz A é aquele que satisfaz ao sistema onde x−→ é chamado de autovetor da matriz A correspondente ao autovalor λ.E xistem n autovalores (para uma matriz n × n) não necessariamente distintos. Estes autovalores também podem ser determinados pela equação característica da matriz definida por det(A − λI)= 0.(1.24) Os autovalores também podem ser chamados de valores próprios da matriz.

Produto escalar de dois vetores:D

onde θ é o ângulo entre os vetores x−→ e y−→.A norma de vetores |·| utilizada é a Euclidiana.

Forma quadrática: a forma quadrática de uma matriz pode ser definida porD

que é um escalar. A matriz Q é chamada positiva-definida quando

Norma de vetores: um conjunto p de normas de vetores pode ser definido com°°° x−→ °°°p

à nX

=m ax

A norma “mais conhecida” é a Euclidiana (p =2 ). Norma de matrizes (quadradas): Exemplos (de normas subordinadas às normas anteriores de vetores) maior módulo de autovalor de ¡ AT A¢ (1.3)

Equivalência entre normas: sabe-se que todas normas apresentadas aqui são equivalentes, ou seja, α k·ka ≤ k·kb ≤ β k·ka(1.35) para a e b inteiros positivos e escalares (arbitrários porém fixos para cada par a e b) α e β.

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