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Cálculo II, Notas de estudo de Matemática

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Tipologia: Notas de estudo

Antes de 2010

Compartilhado em 23/01/2008

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Baixe Cálculo II e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! SUMÁRIO UNIDADE I – Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 TEMA 01 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 TEMA 02 – Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 TEMA 03 – Gráficos de funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 TEMA 04 – Limites e continuidade para funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TEMA 05 – Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TEMA 06 – Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 UNIDADE II – Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 TEMA 01 – Vetor gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 TEMA 02 – Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 UNIDADE III – Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 TEMA 01 – Caminhos e curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 TEMA 02 – Comprimento de curvas e caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TEMA 03 – Definição de integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 UNIDADE IV – Integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 TEMA 01 – Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 TEMA 02 – Integrais repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 TEMA 03 – Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 TEMA 04 – Mudança de variáveis nas integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 TEMA 05 – Aplicações da integral dupla e tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 UNIDADE V – Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Agnaldo Souza Pereira Bacharel em Física - UFRJ Mestre em Física - UFRJ Licenciado em Física - FTESM Doutor em Física - UFRJ Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAM Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC Jefferson Pereira de Oliveira Licenciado em Matemática – UCSal Pós-Graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática - UFF PERFIL DOS AUTORES UNIDADE I Funções de várias variáveis 10 UEA – Licenciatura em Matemática tor de um observatório. Hamilton dedicou-se à leitura das obras de Newton e de Laplace, e criou sua própria formulação da mecânica, con- hecida hoje como mecânica hamiltoniana, que é tremendamente importante em todos os cam- pos da física moderna, notadamente na física quântica. Sua vida particular não foi das mais tranqüilas; ele teve sérios problemas com o alcoolismo. Após terrível luta contra o vício, convence-se de que a única solução seria nunca mais ingerir nenhum tipo de bebida alcoólica. Por dois anos, Hamilton manteve-se sóbrio, mas durante uma discussão com o astrônomo George Airy, que debochou de seu hábito de beber apenas água durante festas e solenidades, Hamilton voltou a beber e caiu, afundando-se ainda mais no vício. Apesar da desordem em que estava mergulhada sua vida privada, Hamilton ainda se mantinha firme na competição matemática. Contribuiu para o desenvolvimento do cálculo, sendo de sua autoria o termo gradiente para designar o vetor que aponta na direção de maior variação de uma função escalar. Hamilton também realizou pesquisas em ótica e soluções numéricas de equações diferenciais. O homem que amava os animais e que foi chamado “o novo Newton” morreu em 1865, deixando uma obra inacaba- da, que foi publicada por seu filho no ano seguinte. TEMA 01 INTRODUÇÃO O conceito de função de várias variáveis está intimamente ligado aos fenômenos mais com- plexos no campo da matemática aplicada à fí- sica e à engenharia. Se um meteorologista, por exemplo, tiver de determinar o comportamento futuro da temperatura de uma região, ele preci- sará de um conjunto de dados atmosféricos, como pressão do ar, velocidade dos ventos e umidade do ar. Podemos ver, claramente, que a temperatura do ar depende de várias outras grandezas, de forma que, quando esse conjunto de variáveis se altera, ela também se altera, ou seja, ela é uma função que depende de várias outras var- iáveis. Ainda como exemplo, podemos enxergar o preço de um produto com sendo dependente do preço da matéria-prima, do preço de mão- de-obra e do custo do transporte, pois se esses elementos variam, o preço final do produto va- riará também. Matematicamente, uma função de N variáveis é representada como sendo uma função f = f(x1, x2, x3,..., xN). O domínio dessas funções é o RN, sendo que N pode variar desde N = 1 até N = ∞. Vejamos, a seguir, alguns exemplos de funções de várias variáveis, começando com o caso mais simples, a função de duas variá- veis. Exemplo 1 Volume de um cilindro Figura 1 – O volume de um cilindro é função de duas variáveis, r e h. O volume de um cilindro, de altura h e raio de base r, é expresso por VCIL = πr2h. Como o valor do volume muda se mudarmos um dos valores de r e h, fica clara a dependência do volume com as variáveis r e h. Podemos, então, classificar VCIL como uma função de duas va- riáveis. Em razão disso, podemos simbolizar o volume de um cilindro como: VCIL = VCIL(r,h) Exemplo 2 Área de um retângulo Figura 2 – A área de um retângulo é função de duas variáveis, a e b. Outro exemplo de função de duas variáveis que podemos buscar nos domínios da geo- metria é a área de um retângulo de lados a e b. sabendo que a área da superfície retangular é dada por: S = ab, em que a e b são as varáveis, pois podem assumir valores arbitrários, determinando um único valor de S para cada par de valores (a,b). Podemos escrever s como uma função de duas variáveis: S = S(a,b). Continuando nossa seqüência de exemplos, vamos analisar alguns casos de função de três variáveis. Elas são essenciais em problemas que descrevem fenômenos tridimensionais, como o volume de um paralelepípedo, o es- coamento de um gás ou a distribuição de tem- peraturas em uma sala. Exemplo 3 Volume de um paralelepípedo Figura 3 – O volume de um paralelepípedo é função de três variáveis, x,y e z. O volume do paralelepípedo de largura x, pro- fundidade y e altura z é dado por V = xyz Assim como nos exemplos anteriores, pode- mos ver que a mudança do conjunto de valo- res (x,y,z) tem como conseqüência a mudança do valor do volume do paralelepípedo, uma vez que ele é função das dimensões deste sóli- do. Ou seja: V=V(x,y,z) Exemplo 4: Potencial elétrico de uma carga elétrica pun- tiforme Considere uma carga elétrica puntiforme Q, posicionada na origem de um sistema de três eixos coordenados. A intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto do espaço depen- derá das coordenadas (x, y, z) deste ponto, ou seja, de sua posição. A figura 4 abaixo ilustar essa situação. Figura 4 – Potencial elétrico gerado em todos os pontos do espaço por uma carga elétrica Q. Vemos que cada valor de U(x,y,z) depende de um conjunto de três coordenadas (x,y,z), que localizam o ponto P no espaço. Para resumir as idéias expostas, vamos con- ceituar as funções de duas e três variáveis. Função de duas variáveis Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado (x,y) de um con- junto D um único valor real designado por z = f (x,y). O conjunto D é o domínio da função, e o conjunto imagem é o conjunto dos valores possíveis de f. 11 Cálculo II – Funções de várias variáveis Função de três variáveis Uma função de três variáveis é uma regra que associa a cada tripla ordenada (x,y,z) de um conjunto D um único valor real designado por z = f (x,y,z). O conjunto D é o domínio da fun- ção, e o conjunto imagem é o conjunto dos va- lores possíveis de f. Essas definições são facilmente extensíveis ao caso de várias variáveis: Função de várias variáveis Uma função de várias variáveis é uma regra que associa a cada N–upla ordenada (x1,x2,...,xN), de um conjunto D, um único valor real designado por de f = f (x1,x2,...,xN). O con- junto D é o domínio da função, e o conjunto imagem é o conjunto dos valores possíveis de f. Exemplo 5 O potencial elétrico U no ponto P(x,y,z) é dado por , ache o valor do potencial elétrico no ponto P(1,5,4). Solução: Para achar o valor da função U(x,y,z) em P(1,5,4), basta substituir os valores das coor- denadas do ponto P, na equação da função, e achar U(1,5,4). Exemplo 6 Uma chapa de metal plana está em um plano–xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja dada T em (x,y) seja dada por T = 0,01(x2 + y2)2 em que T é expresso em oC , e x e y em centímetros. Ache o valor da temperatu- ra no pontos A(0,1; ,3), B(2,7) ,C(4,1) e D( , ). Solução: Como no problema anterior, basta substituir os valores das coordenadas de cada ponto na equação da função T(x,y), e achar os valores correspondentes. a) No ponto A(1,3): T(1,3) = 0,01 (12 + 32)2 = 0,01 (1+ 9)2 =1 oC ∴ T(1,3) = 1 oC. b) No ponto B(2,7): T(2,7) = 0,01 (22 + 72)2 = 0,01 (4+49)2 =28,09 oC ∴ T(21,3) = 28,09 oC. c) No ponto C(4,1): T(4,1) = 0,01 (42 + 12)2 = 0,01 (16+1)2 =2,89 oC ∴ T(4,1) = 2,89 oC. d) No ponto D( , ): T( , )= 0,01(( )2+ ( )2)2 = 0,01(3+2)2 = 0,25 oC ∴ T( , )= 0,25oC. 1. A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano –xy, de modo que a profundidade sob o ponto correspondente a (x,y) é dada por f(x,y) = 300 –2x2 – 3y2, em que x, y e f(x,y) são expressos em metros. Se uma bóia está na água no ponto (4,9), determine a distância entre ela e o fundo do lago. 2. Um objeto está em um sistema coordenado re- tangular tal que a temperatura T no ponto P(x,y,z) seja dada por T(x,y,z) = 0,04x2 – 0,01y2 + 0,16 z2, em que T é expressa em oC, e x,y, e z em metros. Determi- ne a diferença de temperatura entre os pontos A(1, 2,5 ,3) e B(5,6,2). R : –7,34 oC . 12 UEA – Licenciatura em Matemática 1. Determine e faça o esboço do domínio das funções abaixo: a) z(x,y) = ln(9 – x2 – 9y2) b) c) z(x,y) = 4x2 + y d) e) f) g) z(x,y) = xln(y2 – x) h) i) z(x,y) = x2 ln(x – y + z) j) l) m) TEMA 03 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Assim como no caso das funções de uma va- riável, em que um gráfico no plano –xy apre- senta, visualmente, a relação entre os valores do par ordenado, também no caso das fun- ções de duas variáveis podemos expressar graficamente a relação entre o par ordenado (x,y) e a função f(x,y): o gráfico de uma função de duas variáveis será uma superfície em R3. Noutras palavras, podemos dizer que assim como o gráfico de uma função de uma única variável é uma curva de equação f(x), o gráfico de uma função de duas variáveis será uma superfície S com equação z(x,y). Podemos ver a superfície S acima ou abaixo do domínio D da função. É importante notar que a superfície que representa o domínio da função, pode ser vista como uma projeção do gráfico de z(x,y) sobre o plano –xy. Os gráficos fornecem-nos um meio rápido e eficiente para estudar o com- portamento de uma função e avaliar suas ca- racterísticas. Vamos, agora, ver alguns exem- plos de gráficos de funções de duas variáveis, (i) z(x,y) = 100e–(x2 + y2) 15 Cálculo II – Funções de várias variáveis 16 (ii) z(x,y) = x – 3x2 (iii) z(x,y) = y4 – 8y2 – 4x2 (iv) z(x,y) = ln (x2 + y2) (v) z(x,y) = e–x2 + ey2 (vi) (vii) (viii) z(x,y) = (x2 + y2)2 (ix) (x) O aspecto visual desses gráficos não esconde o fato de que é bem difícil traçá-los manual- mente. Esses exemplos foram traçados com o auxílio de um programa de computador. Com os programas computacionais, podemos en- xergar o comportamento do gráfico em qual- quer região do domínio da função, mas nesses exemplos é preferível ver o comportamento em pontos próximos à origem, pois em várias apli- cações torna-se importante saber o compor- tamento da função para valores pequenos das variáveis. Apesar do exposto acima sobre a dificuldade de traçado desses gráficos sem o auxílio com- putacional, já era possível traçá-los manu- almente com o auxílio das curvas de nível, for- madas pelas interseções do gráfico de uma função de duas variáveis com um plano hori- zontal. As curvas de nível são um recurso que foi tomado emprestado da cartografia; por meio delas, um morro ou uma montanha pode ser descritos sobre o plano do papel por meio de um conjunto de curvas, em que cada curva corresponde a um corte do morro ou da mon- tanha a uma dada altura, que fica registrada sobre a curva de nível correspondente. Na car- tografia, então, os pontos de uma curva de nível é a curva formada por todos os pontos que estão a uma mesma altura, ou seja: h = constante. Dessa forma, podemos encarar as curvas de nível como tendo sido obtidas cortando-se o morro ou a montanha em fatias paralelas a um plano horizontal. Veja a figura abaixo: De forma geral, é importante notar que, onde as curvas de nível estiverem mais próximas umas das outras, a superfície será mais incli- nada, e onde as curvas forem mais espaçadas, a superfície será mais plana. Saindo um pouco da cartografia, podemos di- zer que, de forma mais geral, uma curva de nível é obtida pela junção dos pontos corres- pondentes a um valor constante de uma dada grandeza. As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas com equação f(x,y) = k, onde k é uma constante. As figuras seguintes comparam os gráficos e as curvas de nível de algumas funções. 17 Cálculo II – Funções de várias variáveis xo, a função tende ao valor L1> Lo. Se os limites laterais são diferentes, não se pode afirmar que a imagem f(x) de todo x, nas vizinhanças de xo, tende a f(xo) quando x tende a xo. Nessa situ- ação, dizemos que o limite não está definido em x = xo, ou seja, não existe o limite da função em x = xo. Veja a figura 18 abaixo: Figura 18 – Descontinuidade de uma função de uma variável. A figura 18 acima ilustra os conceitos formu- lados sobre a descontinuidade de uma função de uma única variável. Podemos ver, claramente, no gráfico, a diferen- ça de comportamento dos limites da função quando x tende a xo pela direita (por valores maiores que xo) e pela esquerda (por valores menores que xo). A extensão dessas idéias para o campo das funções de duas variáveis é imediata. Conside- remos a figura 19 abaixo: Figura 19 – Continuidade de uma função de duas variáveis. Podemos ver que, se um ponto (P1, ou P2) per- tencente ao domínio da função e contido em uma vizinhança circular centrada em Po aprox- imar-se de Po ao longo de qualquer caminho contido no círculo, também sua imagem, per- correrá pontos da superfície-imagem até alcançar o ponto B, imagem de Po. Noutras palavras, se um ponto P, nas vizinhan- ças de Po, dirigir-se a Po de forma que sua imagem f(P) dirija-se para f(Po), por um cami- nho totalmente contido sobre a superfície do gráfico da função, qualquer que seja o cami- nho seguido para atingir Po, dizemos que f(Po) é o limite da função quando P tende a Po. Isso equivale a dizer que existe o limite da fun- ção em P = Po, pois para qualquer caminho que se use para chegar até Po, alcançaremos o mesmo valor final para f(P). (f(P) = f(Po)). Simbolicamente: Ou ainda, usando as coordenadas de P=P(x,y) e Po=Po(xo,yo): Assim como no caso da função de uma única variável, a existência do limite garante a con- tinuidade de f(x,y) na região considerada. Por outro lado, se o valor do limite de f(x,y) em P= Po depender do caminho seguido para se atin- gir o ponto Po, o limite da função não estará definido em Po e, da mesma forma que para uma única variável, diremos que a f(x,y) é des- contínua no ponto P = Po. Ou seja: se achar- mos pelo menos dois caminhos diferentes, ao longo dos quais f(P) atinge limites diferentes, quando P se aproxima do mesmo ponto Po, então o limite não está definido em P = Po. Dizemos, então, que não existe o limite de f(P) em P = Po, e que Po é um ponto de descon- tinuidade da função. A noção de continuidade é essencial para o cálculo de funções de várias variáveis, pois, assim como no universo das funções de uma única variável, permite definir a existência das derivadas no contexto das funções de várias variáveis. A figura 20, a se- guir, ilustra a idéia de descontinuidade de fun- ção de duas variáveis. 20 UEA – Licenciatura em Matemática Figura 20 - Descontinuidade da função de duas variáveis. 1. Ache o limite a) b) c) d) e) 2. Mostre que o limite não existe. a) b) c) d) e) TEMA 05 DERIVADAS PARCIAIS As definições dadas até aqui não são exclusi- vas das funções de duas variáveis, são co- muns a todas as funções de várias variáveis. O fato de usarmos as funções de duas variáveis deve-se à facilidade de visualização que elas apresentam, pois podemos ver seus gráficos como superfícies em um espaço tridimen- sional. Avalie a dificuldade de se visualizar uma função de 20 variáveis, por exemplo! Um caso simples de função de mais de duas variáveis é o custo de um produto que envolva mais de dois ingredientes em sua fabricação, cada um com seu preço, o que se refletirá no preço de custo do produto. Por exemplo: o custo final kf de um bolo de chocolate, que envolve, em sua fabricação, pó de chocolate, ovos, farinha de trigo, açúcar, leite e fermento, dependerá dos preços desses ingredientes e pode ser escrito na forma fun- cional kf = Ax1 + Bx2 + Cx3 + Dx4+ Ex5+ Fx6 em que A,B,C,D,E e F são constantes que re- presentam as quantidades utilizadas de cada ingrediente, e x1, x2, x3, x4, x5, e x6 representam os preços de cada ingrediente. Assim, fica claro que o custo final é uma função de seis variáveis, kf = kf(x1, x2, x3, x4, x5, x6). Não podemos desenhar um gráfico dessa fun- ção, cujo domínio é hexadimensional, para po- dermos enxergar, de uma única vez, o compor- tamento dessa função. Analisemos o compor- tamento da função custo total quando o preço de apenas um ingrediente, digamos, o açúcar, varia, enquanto os demais preços permane- cem constantes. É razoável supor que o custo total variará com a mesma rapidez com que varia o preço do açú- car. Se, agora, o único preço variável for o do fermento, enquanto todos os demais preços estiverem estacionados, novamente podemos 21 Cálculo II – Funções de várias variáveis dizem que o custo total variará com a mesma taxa de variação do fermento, pois ele estará sendo o único responsável pela variação do custo final do bolo. Se em outra situação, os preços do açúcar e do fermento estiverem variando, e os preços dos demais ingredientes estiverem fixos, a taxa de variação do custo total será a soma da taxa de variação do preço do açúcar com a taxa de variação do preço do fermento, ingredientes responsáveis pela variação do custo final do produto. A taxa de variação de uma função de N variáveis, em relação a uma de suas varáveis xj em particular, é chamada derivada parcial da função em relação a xj, e é definida pela razão incremental: O símbolo chama-se “D-rond” (pronuncia–se derron), que significa D-redondo, em francês. No caso do bolo do exemplo anterior, a deriva- da parcial do custo final (kf) da iguaria em re- lação ao preço do açúcar (x4) e do fermento (x6) são definidas, respectivamente, como: Notemos que a definição de derivada parcial é similar à definição da derivada da função de uma única variável, envolvendo o limite da fun- ção em um dado ponto. Para que a derivada da função de N variáveis possa existir no ponto considerado, é necessário que exista o limite da função naquele ponto, ou seja, é preciso que a função seja contínua no ponto. O incremento diferencial (df) no valor da função de N variá- veis, devido ao incremento no valor de apenas uma de suas variáveis, é dado por . De forma mais geral, o incremento diferencial (df) no valor da função de N variáveis, devido a incre- mentos em todas as suas variáveis, é dado por No exemplo anterior, a variação no custo de nosso bolo de chocolate, devido à variação no preço do açúcar, é dada por ; e a variação no custo do bolo, devido às vari- ações combinadas dos preços do açúcar e do fermento, é dada por . Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais Quando precisamos subir uma elevação, co- mo um pequeno morro, sempre procuramos subir pelo lado menos íngreme, para poupar esforço. O formato geométrico da elevação é tal que o dispêndio de energia depende da encosta que escolhermos para subir. Na encosta mais íngreme, a inclinação é maior, fazendo que cada metro percorrido na hori- zontal resulte numa grande elevação vertical, tornando a subida é mais abrupta. A figura 21 mostra um gráfico da função , representando um morro. Podemos observar que, se subirmos o morro ao longo do eixo y, faremos um esforço maior, pois ao longo desse caminho, a elevação é mais pronunciada, mais íngreme, mas se subirmos ao longo do eixo x, o esforço será menor. Com esse exemplo, vemos que a taxa de va- riação de uma função de duas variáveis pode depender do caminho. Nesse caso, a taxa de variação da altura em relação à distância ho- rizontal depende do caminho escolhido. 22 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 06 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR Analogamente ao que ocorre no caso de uma única variável, também para várias variáveis é possível determinar derivadas de ordem supe- rior à primeira. O cálculo é realizado da mesma forma como é realizado na derivada ordinária: encarando to- das as variáveis como constantes, menos a va- riável em relação à qual se está derivando. O símbolo para a derivada parcial de ordem m é Assim: é a derivada parcial de segunda ordem de f em relação a x; é a derivada parcial de terceira ordem de f em relação a y; é a derivada parcial de quarta ordem de f em relação a w; e da mesma forma para outras ordens. É necessário salientar que, nas aplicações da matemática às ciências naturais, as derivadas mais importantes são as de segunda ordem, que dão origem à maior parte das equações diferenciais da física, da química, e da enge- nharia. Existe também o caso em que a função é deri- vada sucessivamente em relação a variáveis di- ferentes, a chamada derivada cruzada: Como as variáveis são inde- pendentes entre si, podemos ver que: . 1. Verifique que a) f(x,y) = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3y b) c) f(x,y) = x3e–2y + y–2 cos(x) d) e) 2. Uma função de x e y é dita harmônica se em todo o domínio de f. Prove que a função dada é harmônica. a) b) f(x,y) = e–xcos(y) + e–ycos(x) 3. Se w(x,y) = e–c2t sen(cx), mostre que para todo número real c. 4. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda a) ψ(x,t) = sen(akt)sen(kx) b) ψ(x,t) = (x – at)4 + cos( x + at) 5. Quando um poluente, como o óxido nítrico, é emitido por uma chaminé de h metros de altura, a concentração C(x,y) em do po- luente em um ponto a x quilômetros da cha- miné e à altura de y metros pode ser represen- tada por em que a e b são constantes positivas que dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão de poluente. Suponha que 25 Cálculo II – Funções de várias variáveis Calcule e interprete e no ponto (2,5). 5. Mostre que qualquer função dada por satisfaz a equação de Laplace em três dimensões . 6. A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do sexo mas- culino de x anos de idade e y centímetros de altura, V pode ser aproximado pela fórmula V = 27,63y – 0,112xy. Calcule e interprete a) b) 7. A análise de certos circuitos elétricos envolve a fórmula , onde I é a corrente, V é a voltagem, R a resistência, L a indutância e uma constante positiva. Calcule e interprete e . 26 UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE II Derivada direcional 30 UEA – Licenciatura em Matemática O gradiente aponta na direção de maior vari- ação da função. Embora tenhamos apresentado o gradiente em um exemplo bidimensional, ele é tridimen- sional em sua forma mais geral: Devemos também assinalar que o gradiente está definido para uma função f escalar; não existe gradiente de vetor, embora em várias aplicações seja importante saber o gradiente do módulo de um vetor. Duas das aplicações mais importantes do gra- diente na física estão na mecânica e no eletro- magnetismo. Na mecânica, podemos definir a força conservativa, → F como simétrica ao gra- diente da energia potencial mecânica W: → F = –∇ → W No eletromagnetismo, de forma similar, define- se o campo elétrico → E gerado por um potencial elétrico φ: → E = –∇ → φ 1. Ache a derivada direcional de f em P na dire- ção indicada a) f(x,y) = x2 – 5xy + 3y2; b) f(x,y) = x2ln(y); P(5,1), û = – x̂ + 4 ŷ c) f(x,y,z) = z2exy; P(–1,2,3), û = 3̂ x + ŷ – 5 ẑ d) ; 2. Uma chapa de metal está situada no plano xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja in- versamente proporcional à distância da ori- gem, e a temperatura em P(3,4) é 100oF. a) Ache a taxa de variação de T em P na dire- ção de x̂ + ŷ. b) Em que direção T aumente mais rapida- mente em P? c) Em que direção a taxa de variação é zero? 3. O potencial elétrico V em (x,y,z) é dado por V= x2 + 4y2 +9z2 a) Ache a taxa de variação de V em P(2-1,3) na direção de P para a origem. b) Ache a direção que produz a taxa máxima de variação de V em P. c) Qual a taxa máxima de variação em P? 4. A temperatura T(x,y,z) é dada por T = 4x2 – y2 +16z2. a) Ache a taxa de variação de Tem P(4,-2,1) na direção de 2̂x + 6̂ y – 3̂z.. b) Em que direção T aumenta mais rapida- mente em P? c) Qual é esta taxa máxima de variação? d) Em que direção T decresce mais rapidamen- te em P? e) Qual é esta taxa de variação? 31 Cálculo II – Derivada direcional TEMA 02 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Muitas vezes, em problemas de aplicações, devemos achar os extremos de uma função de várias variáveis sujeita a um vínculo. Tomemos, como exemplo, o problema de acharmos o maior volume de uma caixa retangular sem tampa, de lados x, y e z, cuja superfície total seja de 12m2. Podemos ver que a função a ser maximizada é o volume V = xyz, e o vínculo (restrição) é que a área total seja de 12m2, ou seja, 2xz+2yz+xy =12. Do que já vimos até aqui, podemos dizer que a expressão 2xz+2yz+xy =12 representa uma curva de nível para a função superfície da cai- xa, pois representa todos os pontos de coor- denadas (x,y,z) para os quais o valor da função é constante e igual a 12. O método dos multiplicadores de Lagrange fornece-nos uma ferramenta eficiente para resolver problemas dessa natureza, com base no conceito de curva de nível (g(x,y) = k) e de gradiente de uma função. Comecemos com as funções de duas variáveis: em termos gerais, o vínculo aplicado à função, cujos extremos procuramos, restringe os valores das coor- denadas (x,y) àqueles pertencentes à curva de nível correspondente ao vínculo, ou seja, só nos interessaremos pelos valores da função que corresponderem a pontos que estiverem sobre a curva de nível que traduz o vínculo. Vejamos a figura Figura 24 – Curva de nível C, representando g(x,y) =k, e a representação em termos do parâmetro t, mostrando que ∇ → f = λ∇→g O gráfico de g(x,y) = k é uma curva c no plano- xy. A curva C pode ser escrita em termo de componentes x =h(t) e y = m(t), em que t é um parâmetro, como o tempo em problemas de mecânica, mas que, em geral, pode ser um ângulo ou outra grandeza conveniente. Seja → r (t) = x̂x + ŷ y = h(t)̂ x + m(t)̂ y o vetor posição do ponto P(x,y) vem C (veja a figura 24, acima), e suponhamos que o ponto Po(xo,yo), em que f(x,y) tem um extremo, corresponda a t = to, isto é, → r (to) = xô x + yô y = h(to)̂ x + m(to)̂ y. Definindo F de uma variável t por F(t) =f(h(t),m(t)), vemos que, quando t varia, obtemos valores f(x,y) correspondem a (x,y) em C, isto é, f está sujeita ao vínculo g(x,y) = k; dessa forma, esta- mos considerando apenas os valores de f(x,y) que estão sobre pontos da curva C. Como f(xo,yo) é um extremo de f, segue-se que F(to) = f(h(to),m(to)) é um extremo deF(t). Assim, F’(to) = 0. Se encaramos F como uma função com- posta, então, pela regra da cadeia, Fazendo t = to, temos: Isso mostra que o vetor ∇ → f(xo,yo) é perpen- dicular ao vetor → r’(to) tangente a C. Entretanto ∇ → g(xo,yo) também é perpendicular a→ r’(to) porque C é uma curva de nível para g. Como ∇ → f(xo,yo) e ∇ → g(xo,yo) são perpendicula- res ao mesmo vetor, são paralelos entre si, isto é, ∇ → f(xo,yo) = λ∇ → g(xo,yo) para algum λ. O número λ é chamado multiplicador de Lagran- ge. Voltemos, agora, ao problema da caixa com que abrimos esta discussão: sejam x, y e z o comprimento, a largura e a altura, respectiva- mente, da caixa em metros. Exemplo 1 Achar a caixa sem tampa de maior volume com superfície total de 12m2. Solução: Buscamos maximizar o volume V= xyz sujeito à restrição g(x,y,z) = 2xz+2yz+xy =12. 32 UEA – Licenciatura em Matemática Utilizando os multiplicadores de Lagrange, pro- curamos os valores de x, y, z e tais que ∇ → V = λ∇ → g e g(x,y,z) = 12. Partindo dessas condi- ções, geramos as equações: e 2xz+2yz+xy = 12, ou seja: (1) yz = (2z+y) (2) xz = (2z+x) (3) xy = (2x+2y) (4) 2xz+2yz+xy =12 Para resolver esse sistema de equações, va- mos lançar mão de alguns truques: observe que se multiplicarmos (2) por x, (3) por y e (4) por z, os lados esquerdos dessas equações ficam iguais. Assim temos que: (5) xyz = (2xz+xy) (6) xyz = (2yz+xy) (7) xyz = (2xz+2yz) Vê-se que 0 porque = 0 implicaria em ter yz = xz = xy = 0 em (1), (2) e (3), contradizendo a equação (4). De (5) e (6) temos: 2xz+xy = 2yz+xy que nos dá x = y. De (6) e (7) temos: 2yz+xy = 2xz+2yz, que dá 2xz = xy e portan- to y = 2z. Se substituirmos x = y =2z em (4), teremos: 4z2+4z2+4z2 = 12 sabendo que x, y, e z são todos positivos, temos que z =1, x = 2 e y = 2. Exemplo 2 Determine os valores extremos da função f(x,y) = x2 + 2y2 no círculo x2 + y2 = 1. Solução: Devemos achar os valores extremos de f (x,y) sujeita à restrição g(x,y) = x2 + y2 = 1. Utilizando os multiplicadores de Lagrange, re- solvemos as equações ∇ → f = λ∇ → g, g(x,y) = 1, que podem ser escritas como: , , e x2+y2 = 1 Elas resultam em: (8) 2x = 2x (9) 4y = 2y (10) x2+y2 = 1 A equação (8) dá-nos x = 0 ou =1. Se x = 0, então a equação (10) y = ±1. Se = 1, então a equação (9) dá-nos y = 0; assim, a equação (10) fornece x = ±1. Portanto os valores extremos de f(x,y) ocorrem nos pontos (0,1), (0,-1),(1,0), e (-1,0). Calculando f(x,y) nesses quatro pontos, temos: f (0,1) = 2 f(0,–1) = –2 f(1,0) = 1 f(–1,0) = 1 Portanto o valor máximo de f(x,y) no círculo x2+y2 = 1 é f(0,±1) = 2, o valor mínimo é f(±1,0) = 1. 1. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada: a) f(x,y) = x2-y2 ; x2+y2 =1 b) f(x,y,z) = xyz; x+y+z =100 c) f(x,y) = x2y ; x2+ 2y2 = 6 d) f(x,y,z) = x+y+z ; x2+ y2+z2 = 25 e) f(x,y,z) = x2+ y2+z2; x-y+z =1 f) f(x,y,z) = 2x+ 6y+10z; x2+ y2+z2 = 35 2. Deve-se construir uma caixa retangular fechada de 2m3 de volume. Se o custo por metro qua- drado do material para os lados, o fundo e a tampa é R$ 200, R$ 400,00 e R$ 300,00, UNIDADE III Integrais de linha 37 Cálculo II – Integrais de linha INTRODUÇÃO A integral de linha é uma generalização natural da integral definida , em que o intervalo [a, b] é substituído por uma curva, e a função integranda é um campo escalar ou um campo vetorial definido e limitado nessa curva. As integrais de linha são de uma importância fundamental em inúmeras aplicações, nomea- damente, em ligação com energia potencial, fluxo do calor, circulação de fluidos, etc. No que se segue, começaremos por apresen- tar os conceitos de curva e de comprimento de uma curva; em seguida, daremos a definição de integral de linha. Depois de enunciarmos as propriedades fundamentais da integral de linha, veremos a sua aplicação ao cálculo do trabal- ho realizado por uma força. TEMA 01 CAMINHOS E CURVAS Seja g uma função vectorial que toma valores em IRn e cujo domínio é um intervalo I ⊂ IR. À medida que a variável independente t percorre I, os correspondentes valores da função g(t) per- correm um conjunto de pontos de IRn, que con- stitui o contradomínio da função. Se a função tomar valores em IR2 ou em IR3, é possível visu- alizar, geometricamente, esse contradomínio. Exemplo 1 Seja g : IR → IR2 a função definida por: g(t) = (1 – 2t,1 +t) = (1, 1) + t(–2, 1) O contradomínio de g é a reta que passa pelo ponto (1, 1) e tem a direção do vetor (–2, 1). Se a função g é contínua em I, o contradomínio de g chama-se uma curva, mais concreta- mente, a curva descrita por g. Exemplo 2 A função f : IR → IR3 definida por: f (t) = (2t – 2 sent, 2 – 2 cos t, t) é contínua em IR. Temos apresenta a hélice descrita por f , isto é, o seu contradomínio. 40 UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 8 A função g : [0, 8π] → IR3 definida por g(t) = (cost, sen t, t) é um caminho simples que representa um arco de hélice cilíndrica. Exemplo 9 Uma circunferência centrada na origem e de raio 2 tem por equação cartesiana a expressão x2 + y2 = 4. Nesse caso, uma representação paramétrica dessa circunferência pode ser da- da pela função f:[0, 2π] → IR2, com f (t) = (2 cos t, 2 sent). Esse é um exemp- lo de um caminho simples e fechado. Exemplo 10 A curva representada na figura abaixo pode ser definida, parametricamente, pelo caminho α : [0,1] → IR2, com α(t) = (t, t3) . Outras repre- sentações paramétricas da mesma curva são, por exemplo, β : [4, 6] → IR2, com , com λ(t) = (tgt,tg3t). Entre as diferentes representações paramé- tricas de uma curva, interessa identificar aque- las que correspondem apenas a uma mudança de escala do parâmetro. Definição 6 Sejam α : I → IRn e β : J → IRn dois caminhos em IRn. Os caminhos α e β dizem-se equivalentes se existe uma função bijetiva e continuamente diferenciável φ : I → J, tal que φ’ (t) ≠ 0 em todos com exceção dum número finito de pon- tos t∈I e α(t) = β [φ(t)], em todos os pontos de I. Se φ’(t) ≥ 0, diz-se que os caminhos têm o mesmo sentido; se φ’(t) ≤ 0, diz-se que os ca- minhos têm sentidos opostos; no primeiro ca- so, diz–se que a função φ preserva o sentido; no segundo caso, que inverte o sentido. Exemplo 11 Considerem-se os caminhos α : [0,1] → IR2, com α(t) = (t, t3) e β : [4, 6] → IR2, com definidos no exemplo 10 e a função φ : [0, 1] → [4, 6] tal que φ(t) = 2t + 4. Essa função é bijetiva, continuamente diferenciável e tem derivada não nula em todo o seu domínio (φ’(t) = 2, ∀t∈[0, 1]). Por outro lado, Pode-se, então, concluir que α e β são cami- nhos equivalentes com o mesmo sentido. 41 Cálculo II – Integrais de linha 1. Determine as representações paramétricas das seguintes curvas de IR2 e indique quais são sim- ples, fechadas ou seccionalmente de classe C1: a) y = x2, x∈[–1,1] b) y = 1 –|x|, desde (–1,0) até (1,0) c) x2 + y2 = 2 d) 4x2 + y2 = 1 2. Determine as representações paramétricas das seguintes curvas de IR3 : a) O segmento de reta que vai desde (0,0,0) até (1,1,1). b) O arco de parábola que vai desde (0, 0, 0) até (1, 1, 2). c) A curva definida pelas condições x2 + y2 + z2 = 4 e z = 1. TEMA 02 COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS Como aplicação da integral definida em IR, já foi visto que o comprimento do gráfico C de uma função y = f(x), definida no intervalo [a, b], pode obter-se pela fórmula desde que f tenha derivada contínua em [a, b]. O objetivo desta seção é formalizar a noção de comprimento de uma curva. Esse conceito pode ser facilmente introduzido a partir da noção de comprimento de uma linha poligonal, definida como a soma dos comprimentos dos segmentos de reta que a constituem. Como a figura abaixo sugere, um valor aproxi- mado do comprimento da curva aí representa- da pode ser obtido marcando-se na curva um certo número de pontos e calculando-se o com- primento da linha poligonal cujos extremos são precisamente esses pontos. A intuição leva a supor que, se for inscrita na curva uma nova linha poligonal, pela adição de mais vértices, ter-se-á uma melhor aproxima- ção do comprimento da curva. Por outro lado, também é claro que o compri- mento de qualquer linha poligonal inscrita não deverá exceder o da curva, visto que uma linha reta é o caminho mais curto entre dois pontos! É, pois, natural, definir o comprimento de uma curva como o supremo do conjunto dos com- primentos de todas as linhas poligonais inscri- tas na curva. Definição 7 Seja g : [a, b] → IRn um caminho. Chama–se 42 UEA – Licenciatura em Matemática linha poligonal inscrita no caminho g a uma união de segmentos de reta cujos extremos são pontos consecutivos g(t0),g(t1),...,g(tn+1), com t0<t1<...<tn< tn+1. Diz-se que o caminho é reti- ficável se o conjunto dos comprimentos de li- nhas poligonais nele inscritas é majorado e, nesse caso, chama-se comprimento do cami- nho g ao supremo (isto é, ao menor dos majo- rantes) desse conjunto. Diz-se que uma curva é retificável se pode ser representada parametricamente por um cami- nho retificável e, nesse caso, chama-se com- primento da curva ao ínfimo dos comprimentos de todos os caminhos retificáveis que a repre- sentam parametricamente. O teorema seguinte estabelece uma condição suficiente para que um caminho seja retificável e indica a forma de calcular o seu comprimen- to. Deve-se referir, contudo, que a mencionada condição é igualmente necessária para que um caminho seja retificável. Teorema 1 Um caminho g: [a, b] → IRn de classe C1 é reti- ficável se ||g’|| é uma função integrável em [a, b]. Nesse caso, o comprimento de g entre g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por Em particular, o comprimento de g é S = s(b) = ∫ba ||g’(t)||dt. Observação: A função ||g’(t)||representa a norma euclidiana de g’(t)(t∈[a, b]). Ter-se-á, portanto, . Demonstração: Para cada decomposição Δ do intervalo [a, b], a = t0 < t1 < · · · < ti–1 < ti < · · · < tn = b, o comprimento da linha poligonal inscrita na curva definida por g é dado por ||g(ti) – g(ti–1)|| é o comprimento do segmento da linha poligonal entre os pontos g(ti–1) e g(ti). Se o caminho for de classe C1, pode escrever- se, qualquer que seja a decomposição Δ, (1) A segunda igualdade é justificada pela apli- cação da fórmula de Barrow a cada uma das funções componentes de g. A desigualdade que lhe segue justifica-se pela seguinte pro- priedade: se f é um campo vetorial integrável no intervalo [a, b], então Note-se que quer g_(t) quer g_(t) são funções integráveis em no intervalo [a, b]. De (1),sai, então, que é um majorante dos comprimentos das linhas poligonais ins- critas em g, o que implica que o caminho g é retificável. Vejamos, agora, que o comprimento de g entre g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por . 45 Cálculo II – Integrais de linha TEMA 03 DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA Para tornar mais clara a definição de integral de linha, tenha-se em atenção o que segue. Seja C uma curva do plano unindo dois pontos A e B, definida parametricamente por um cami- nho g : [a, b] → IR2 seccionalmente de classe C1. Considerem-se em C os pontos A = P0, P1, . . . , Pi–1, Pi, . . . , Pn = B, correspondentes a uma partição do intervalo [a, b], a = t0 < t1 < .. . < ti–1 < ti < .. . < tn = b, isto é, tais que Pi = g(ti), i = 0, 1, . . . , n. Seja ainda ϕ um campo escalar contínuo definido num domínio D ⊂ IR2, contendo a curva C, e suponhamos que aque- la função é positiva em D, ou seja, ϕ(x,y) ≥ 0, ∀(x, y)∈D. Considere-se, agora, a soma Σni=1ϕ(Qi)Δsi em que ΔSi = s(ti) – s(ti – 1) com (i = 1,2,3,...,n) é o comprimento do arco Pi–1Pi e Qi é um ponto arbitrário escolhido nesse arco. Como a figura a seguir mostra, ϕ(Qi)ΔSi é a área de uma “faixa” com base do arco Pi–1Pi no plano XOY e altura ϕ(Qi). É, então, evidente que Σni=1ϕ(Qi)Δsi constitui uma proximação da área da superfície cilíndrica S de diretriz C e geratriz paralela ao eixo OZ, situada entre o plano XOY e o gráfico de ϕ (ver figura abaixo). Intuitivamente, é fácil aceitar que, no caso de existir e ser finito o li- mite de Σni=1ϕ(Qi)Δsi quando n → ∞ e σ = maxi |ti – ti–1| ? 0, esse limite deverá coincidir com a área de S. Ora, caso não dependa da decom- posição de [a, b] nem da escolha dos Qi, esse limite é precisamente a integral de linha de ϕ sobre a curva C relativamente ao comprimento de arco s. Essa integral é designada, habitual- mente, por integral de linha de 1.a espécie e re- presenta-se por , isto é, . Interpretação Geométrica da Integral de linha. Admitindo-se que a integral de linha existe, vejamos como o seu cálculo se pode fazer, recorrendo a uma integral definida no intervalo [a, b]. Uma vez que função comprimento de arco s(t) é contínua e derivável em [a, b], o teorema de Lagrange implica que (6) ΔSi = s(ti) – s(ti–1) = s’(ξi)(ti – ti–1), para algum ξi∈]ti–1 , ti[. Considerando a soma conclui-se de (6) que (7) , sendo de notar que o 2.o membro dessa igual- dade é uma soma de Riemann da função ϕ.s’ no intervalo [a,b] relativamente à decom- posição considerada. Como essa função é contínua, pode-se garan- tir a existência da sua integral de Riemann no intervalo [a, b], tendo-se, portanto, atendendo a (5). Passando ao limite ambos os membros de (7), deduz-se que Como o limite do 1.o membro não pode deixar 46 UEA – Licenciatura em Matemática de ser , conclui-se que para calcular essa última integral bastará calcular a integral definida Vimos atrás que, sendo ϕ uma função positiva definida em IR2 e C uma curva do plano XOY, a integral de linha pode ser interpretada geo- metricamente como a área de uma superfície. Mas, geralmente, supondo que ϕ é um qual- quer campo escalar definido em IRn e C uma qualquer linha do mesmo espaço, a integral de linha de 1.a espécie define-se como segue: Definição 8 Seja ϕ um campo escalar contínuo cujo domí- nio contém uma curva C representada para- metricamente por um caminho g : [a, b] → IRn, seccionalmente de classe C1. A integral, , dado por diz-se a integral de linha de ϕ sobre C relativo ao comprimento de arco s definido pelo cami- nho g. Exemplo 14 Calcular a área da superfície lateral do sólido limitado superiormente pelo plano de equação z = 1–x–y e inferiormente pelo círculo do plano z = 0. Solução: A curva que no plano XOY limita a superfície é a circunferência . Designando essa curva por C e representando- a parametricamente pelas equações , tem-se que a área pe- dida é igual a As integrais de linha relativos ao comprimento de arco surgem, muitas vezes, ligadas a pro- blemas relacionados com a distribuição de uma grandeza escalar (massa, carga elétrica, etc) ao longo de uma curva. Supondo, por exemplo, que um filamento com a configuração de uma curva em IR3 tem den- sidade de massa por unidade de comprimento dada por um campo escalar ϕ (isto é, ϕ(x,y,z), que é a massa por unidade de comprimento no ponto (x,y,z) de C), então a massa total do filamento é definida por O centro de massa do filamento é definido como o ponto (x,y,z), cujas coordenadas são determinadas pelo sistema de equações: Exemplo 15 Calcular o centro de gravidade do arco de semi- circunferência C = {(x,y): x2 + y2 = r2, y ≥ 0} supondo que em todos os pontos de C a den- sidade de massa por unidade de comprimento é constante (ver figura a seguir). Solução: Seja ϕ(x,y) = ρ = const. a densidade de mas- sa por unidade de comprimento em cada pon- to (x,y) do arco de semicircunferência C. Considerando a parametrização de C, g(t) = (r cos t, rsen t), t∈[0,π], tem-se que a massa de C é dada por 47 Cálculo II – Integrais de linha Centro de gravidade de semicircunferência. Então, as coordenadas do centro de gravidade são dadas por: Isto é, . A definição de integral de linha que agora se apresenta é relativa a campos vetoriais e intro- duz a habitualmente designada integral de linha de 2.a espécie. Definição 9 Seja C uma curva representada parametrica- mente por um caminho g : [a, b] → IRn, sec- cionalmente de classe C1, e f um campo veto- rial definido em C, que toma valores em IRn. Chama-se integral de linha de f ao longo do caminho g à integral (8) sempre que a integral da direita exista. (Na igualdade anterior, “.” representa a operação de produto interno.) Observação 5 Se A = g(a) e B = g(b), a integral pode ser expressa por ∫BAf.dg; quando essa notação é usada, há de se ter em conta que a integral depende não só dos seus extremos, mas também do caminho que os liga! Se A = B, isto é, se C é fechado, é cos- tume representar a integral de linha de f ao longo de g pelo símbolo . Quando f e g são expressos pelas suas com- ponentes, isto é, f = (f1, f2,...,fn) e g = (g1, g2,...,gn), a igualdade (8) escreve-se na forma No caso bidimensional, a curva C é habitual- mente descrita por um par de equações para- métricas do tipo , e a integral de linha escreve-se na forma No caso tridimensional, a curva C é habitual- mente descrita por três equações paramétricas do tipo , e a integral de linha escreve-se na forma Exemplo 16 Seja f o campo vetorial definido por para todos os pares (x,y)∈IR2 tais que y ≥ 0. UNIDADE IV Integrais múltiplas 55 Cálculo II – Integrais múltiplas Fig. 6.1 A existência desse limite depende do compor- tamento da função f e das propriedades do do- mínio D. Vamos supor que a fronteira de D seja constituída de um número finito de arcos do tipo: x = x(t), y = y(t) α ≤ t ≤ β, em que x(t) e y(t) são funções contínuas com derivadas contínuas num intervalo fechado [α,β], satisfazendo a condição x’2 + y’–2 ≠ 0. Um tal arco é dito regular e uma fronteira con- stituída de um número finito de arcos regulares é chamada fronteira regular. Quando a função f é contínua num domínio compacto (fechado e limitado), com fronteira regular, a integral dupla e (1) existe. Esse resultado é suficiente para os propósitos do nosso curso. Observe-se que, se um sub-retângulo Rij conti- ver pontos de D e pontos fora de D, ele con- tribuirá ou não à soma (1) conforme Pij seja escolhido em D ou fora, respectivamente. Essa escolha não afeta o valor da integral, que é o limite da soma quando os lados dos sub- retângulos Rij tendem a zero. Esse fato decorre da hipótese que fazemos de que a fronteira regular tem “área nula”, portanto em nada con- tribui à integral. Existem fronteiras não regu- lares e bastante complexas para terem “área positiva” ou “medida positiva”, como se diz. Para interpretar geometricamente o significado da integral dupla, vamos supor, por um mo- mento, que a função f seja positiva. Então, o gráfico de z = f(x, y) é uma superfície que está acima do plano Oxy, como ilustra a Fig. 6.2. Podemos compreender que a soma de Rie- mann em (1) é a soma dos volumes dos para- lelepípedos cujas bases são os sub-retângulos Rij e cujas alturas correspondentes são os va- lores f(ξi,ηj). Quando Δx → 0 e Δy → 0, essa soma vai-se aproximando mais e mais do que podemos chamar o volume do sólido delimita- do pelo domínio D, pelo gráfico de f e pelas retas que passam pela fronteira de D e são paralelas ao eixo Oz. Podemos, pois, definir o volume desse sólido como a integral em (1). Fig. 6.2 Quando f for positiva em alguns pontos e ne- gativa em outros, a integral em (1) consistirá de duas partes: uma parcela positiva, igual ao vo- lume do sólido correspondente ao subconjun- to de D onde f é positiva, e uma parcela nega- tiva, igual, em valor absoluto, ao volume do só- lido correspondente ao subconjunto de D onde f é negativa. A área de uma figura plana D, com fronteira regular, é definida como sendo a integral da função f(x, y) = 1 em D, isto é, A = ∫∫Ddxdy Essa definição é perfeitamente natural, já que as somas de Riemann em (1), com f(x, y) = 1, são áreas de polígonos que vão “aproximando” mais e mais a figura D, à medida que Δx e Δy tendem a zero (Figs. 6.3). 56 UEA – Licenciatura em Matemática Figs 6.3 Como aplicação imediata da definição de área, podemos verificar que a área A da figura deli- mitada pelo gráfico de uma função f(x) ≥ 0, o eixo Ox e as retas x = a e x = b (Fig. 6.4) é dada por A = ∫ b af(x)dx De fato, de acordo com a definição acima e (2) abaixo, A = ∫∫Ddxdy = Fig. 6.4 TEMA 02 INTEGRAIS REPETIDAS Veremos que o cálculo das integrais duplas reduz-se ao cálculo de integrais simples, gra- ças a um teorema que se demonstra nos cur- sos de análise. Vamos considerar uma versão simplificada desse teorema, suficiente para os propósitos de nosso curso. Vamos supor que o domínio d da função f con- sista dos pontos (x, y), com a ≤ x ≤ b e y1(x) ≤ y ≤ y2(x), onde y = y1(x) e y = y2(x) sejam funções contínuas no intervalo [a, b], como ilustra a fig. 6.5. Pode-se demonstrar, então, que a integral dupla de f sobre d é o resultado de duas integrações sucessivas: (2) Fig. 6.5 Podemos escrever a integral repetida do segundo membro de (2) na forma ou ainda Quando f é positiva, a integração em y, que aparece no segundo membro de (2), represen- ta a área A(x) de uma seção do sólido delimita- do pelo domínio D, pela superfície z = f(x, y) e pelas retas paralelas a Oz que passam pela fronteira de D. O produto A(x)dx representa o 57 Cálculo II – Integrais múltiplas volume de uma “fatia” desse sólido, como ilus- tra a Fig. 6.6. Quando integramos x, obtemos o volume total do sólido. Fig. 6.6 O resultado expresso em (2) pode ser formula- do trocando-se os papéis das variáveis x e y. Para isso, devemos supor que D possa ser descrito como o conjunto dos pontos (x, y) com c ≤ y ≤ d e x1(y) ≤ x2(y), onde x = x1(y) e x = x2(y) sejam funções contínuas no intervalo [c, d]. Então, a integral dupla da função f é o resultado de se integrar primeiro em x e depois em y: (3) Observe-se que para a validade, tanto de (2) como de (3), devemos supor que f seja função contínua no domínio D e que este inclui sua fronteira, sendo, então, um conjunto compacto. Exemplo 1 Calcular a integral , onde D é o domínio deli- mitado pelas retas y = 0, x = e pela curva y = (Fig. 6.7a) Fig. 6.7 a Integrando primeiro em y, de y = 0 a y = , obtemos: ∫∫D cos(y )dxdy Em seguida integramos em x, de x = 0 a x = : = = = 1 – Outro modo de calcular a integral consiste em integrar primeiro em x e depois em y, como ilustra a Fig. 6.7 b Fig.6.7 b ∫∫D cos(y )dxdy= Esse procedimento não é bom porque esta última integral em x é bem mais complicada de se calcular (integral por partes). Exemplo 2 Calcular a integral da função f(x, y) = x no domínio D formado pelas retas y = 0, x + y = 2 e a parábola x = y2 (Fig.6.8). Nesse caso, é conveniente integrar primeiro em relação a x: = = = 60 UEA – Licenciatura em Matemática se D é o paralelepípedo re- tangular limitado pelos planos x = π, y = , z = e os planos coordenados. Solução: = = = = = = = Agora, discutiremos como definir a integral tri- pla de uma função contínua de três variáveis numa região em R3, diferente de um paralelepí- pedo retangular. Seja D a região tridimensional fechada, limitada pelos planos x= a e x = b, pelos cilindros y = φ1(x) e y = φ2(x) e pelas superfícies z = F1(x,y) e z = F2(x,y), onde as funções φ1, φ2, F1, F2 são curvas (têm derivadas ou derivadas parciais contínuas). Veja Fig. 7.0. Fig.7.0 Construímos planos paralelos aos planos coor- denados, formando um conjunto de paralelepí- pedos retangulares que cobrem completamen- te D. Os paralelepípedos que estão totalmente dentro de D ou na fronteira de D formam uma partição Δ de D. Escolhemos um sistema de numeração de tal forma que sejam numerados de 1 a n. A norma ||Δ|| dessa partição de D é o comprimento da maior diagonal de qualquer paralelepípedo que pertence à partição. Seja ΔiV a medida do volume do i-ésimo paralele- pípedo. Seja f uma função de três variáveis, que é contínua em D e seja (ξi, γi, μi) um ponto arbitrário no i-ésimo paralelepípedo. Formando a soma (2) Se as somas da forma (2) têm um limite quan- do ||Δ|| tende a zero, e se esse limite é inde- pendente da escolha dos planos que formam a partição e as escolhas dos pontos arbitrários (ξi, γi, μi) em cada paralelepípedo, então esse limite é chamado a integral tripla de f em D, e escrevemos: = (3) Em cálculo avançado, podemos demonstrar que uma condição suficiente para que o limite em (3) exista é que f seja contínua em D. Além disso, sob a condição imposta sobre funções φ1, φ2, F1, F2 de que sejam suaves, também po- demos dizer que a integral tripla pode ser cal- culada por meio da integral iterada Assim como a integral dupla pode ser interpre- tada como a medida da área de uma região plana quando f(x, y) =1 em R1, a integral tripla pode ser interpretada como a medida do vo- lume de uma região tridimensional. Se f(x, y, z) = 1 em D , então a Eq. (3) transforma-se em e a integral tripla é a medi- da do volume da região D. Exemplo 2 Encontre o volume do sólido limitado pelo cilin- 61 Cálculo II – Integrais múltiplas dro x2 + y2 = 25, o plano x + y + z = 8 e o plano xy. Solução: Os limites de z para a integral iterada são de 0 a 8 – x – y (o valor de z no plano). Os limites de y são obtidos da fronteira da região no plano xy, que é a circunferência x2 + y2 = 25. Então, os limites de y são de – . Os limites de x são de –5 a 5. Se V unidades cúbicas é o volume procurado, temos: V = = = = = 200π, portanto o volume é 200π unidades cúbicas. Exemplo 3 Encontre a massa do sólido acima do plano xy limitado pelo cone 9x2 + z2 = y2 e o plano y = 9 se a medida da densidade do volume em qualquer ponto(x, y, z) no sólido é proporcional à medida da distância do ponto ao plano xy. Solução: Seja M quilogramas a massa do sólido e seja a distância medida em metros. Então, a densi- dade do volume em qualquer ponto (x, y, z) no sólido é kz kg/m3, em que k é uma constante. Assim, se (ξi, γi, μi) é qualquer ponto no i- ésimo paralelepípedo retangular da partição, temos: , portanto a massa é 1. Calcule a integral iterada: a) b) 2. Calcule a integral tripla de se D é a re- gião limitada pelo tetraedro formado pelo pla- no 12x + 20y + 15z = 60 e os planos coorde- nados. 3. Calcule a integral tripla de se D é a região limitada pelo tetraedro com vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 0) e (1, 0, 1). 4. Calcule a integral tripla de (xz + 3z)dV se D é a região limitada pelo cilindro x2 + z2 = 9 e os planos x + y =3, e z = 0 e y = 0 acima do plano xy. 5. Calcule as integrais repetidas abaixo: a) b) c) Calcule a integral de f sobre o domínio D em cada um dos Exercícios de 6 a 8. Sempre que possível, esboce o domínio D. 62 UEA – Licenciatura em Matemática 6. f (x, y, z) = x.y2z3, D: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 7. f (x , y, z) = x + y + z e D é o tetraedro delimi- tado pelos planos de coordenadas e pelo pla- no x + y + z + 1 = 0. 8. f (x, y, z) = (x + y + z + 2)–3 e D é o tetrae- dro delimitado pelos planos de coordenadas e pelo plano x – y + z = 1. Nos Exercícios 9 e 10, calcule, por integração tripla, o volume do sólido dado. 9. Sólido delimitado pelos planos x = 0, y = 0, z = x e pela superfície cilíndrica z = 1 – y2. 10. Sólido delimitado pelos planos z = 0, z = 5 + x + y e pelas superfícies cilín- dricas y2 = x e y2 = 1. 11. Usando integração tripla, encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado inferiormen- te pelo plano xy, acima pelo plano z = y e la- teralmente pelo cilindro y2 = x e o plano x = 1. 12. Encontre o volume do sólido no primeiro oc- tante limitado pelos cilindros x2 + y2 = 4 e x2+ 2z = 4 e pelos três planos coordenados. 13. Encontre o volume do sólido limitado pelo parabolóide elíptico 3x2 + y2 = z e abaixo do cilindro x2+ z = 4. 14. Encontre o volume do sólido limitado pelo elip- sóide . 15. Determine a massa do sólido limitado pelos cilindros x = z2 e y = x2 , e os planos x = 1, y = 0 e z = 0. A densidade de volume varia com o produto das distâncias aos três planos coordenados e é medida em kg/m2. 16. Calcule a massa do sólido limitado pela su- perfície z = x.y e pelos planos x = 1, y = 1 e z = 0. A densidade de volume em qualquer ponto é ρkg/m3 e . 17. Determine, por integração tripla, o volume do sólido formado pela intersecção da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 6 com o parabolóide z ≥ x2 + y2. TEMA 04 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS DUPLAS Seja f uma função contínua num domínio com- pacto D, com fronteira regular. Vamos supor que D seja dividido em n subdomínios D1, D2,........,Dn. Por meio de um número finito de arcos regulares, como ilustra a Fig. 1. Em cada um dos subdomínios Di, escolhemos um ponto arbitrário Pi e formamos a soma Onde A(Di) representa a área do subdomínio Di. Em seguida, consideramos toda uma se- qüência de divisões do domínio D, a cada uma das quais associamos uma soma Sn da manei- ra descrita acima. Seja dn o maior dos diâme- tros dos subdomínios D1, D2,........,Dn da divi- são que fornece a soma Sn. Vamos supor que à medida que n cresce, tendendo a infinito, o diâmetro máximo dn tende a zero. Então, a so- ma Sn tende à integral de f sobre D. Não nos vamos ocupar da demonstração desse resulta- do: vamos apenas usá-lo em várias aplicações. • Coordenadas Polares Como primeira aplicação do resultado anterior, vamos considerar a integração de uma função f em coordenadas polares r e θ. Vamos supor f já expressa como função de r e θ, num domínio D, dado na forma r1(θ) ≤ r ≤ r2(θ), α ≤ θ ≤ β 65 Analogamente, a medida My de seu momento de massa em relação ao eixo y é dada por (3) O centro de massa da lâmina é denotado pelo ponto (x – , – y) e e . Exemplo 1 Uma lâmina na forma de um triângulo isósce- les tem uma densidade de área que varia com o quadrado da distância do vértice do ângulo reto. Se a massa é medida em kg e a distância em metros, encontre a massa e o centro de massa da lâmina. Solução: Escolhemos os eixos coordenados de tal for- ma que o vértice do ângulo reto na origem e os lados de comprimento a metros do triângulo estejam ao longo dos eixos coordenados (veja Fig. anterior). Seja ρ(x,y) o número de kg/m2 da densidade da lâmina no ponto (x, y). Então, ρ(x,y) = k.(x2 + y2), onde k é uma constante. Portanto, se M kg é a massa da lâmina, da fór- mula (1) temos: = k ∫∫R(x2 + y2)dA = Para encontrar o centro de massa, observemos que, devido à simetria, esse deve estar na reta y = x. Portanto, se encontramos –x, teremos também –y. Usando a fórmula (3), temos = k∫R∫ x . (x2 + y2)dA Como M – x = My, temos M =x ; e como M = obtemos . Portanto o centro de massa está no ponto . O momento de inércia de uma partícula, cuja massa é mkg, em relação a um eixo, define-se como mr2kg – m2, em que r m é a distância perpendicular da partícula ao eixo. Se temos um sistema de n partículas, o mo- mento de inércia do sistema define-se como a soma dos momentos de inércia de todas as partículas. Isto é, se a i-ésima partícula tem uma massa de mikg e está a uma distância de γi m do eixo, então I kg-m2 é o momento de inércia do sistema, onde (4) Estendendo esse conceito de momento de inércia a uma distribuição contínua de massa em um plano, tal como barras ou lâminas, por processos semelhantes aos usados anterior- mente, temos a definição abaixo. Suponhamos uma dada distribuição contínua Cálculo II – Integrais múltiplas 66 UEA – Licenciatura em Matemática de massa que ocupou uma região R no plano xy, e consideremos que a medida da densi- dade de área dessa distribuição no ponto (x, y) seja ρ(x,y)kg–m2 onde ρ é contínua em R. Então, o momento de inércia Ix kg-m2 em rela- ção ao eixo x dessa distribuição de massa é determinado por: (5) Analogamente, a medida Iy do momento de inércia em relação ao eixo y é dada por: (6) E a medida I0 do momento de inércia em rela- ção à origem ou ao eixo z, é dada por: = ∫R∫(x2 + y2)ρ(x,y)dA (7) O número I0 da fórmula (7) é a medida do que denominamos o momento polar de inércia. Exemplo 2 Uma lâmina retangular tem uma densidade de área constante de ρkg/m2. Encontre o momen- to de inércia da lâmina em relação a um canto. Solução: Suponhamos que a lâmina seja limitada pelas retas x= a, y = b, o eixo x e o eixo y. Veja a Fig. acima. Se I0 kg-m2 é o momento de inér- cia em relação à origem, então, = ∫R∫ρ(x2 + y2)dA = = O momento de inércia, é, então, kg–m2 Consideremos que a massa total M kg de uma lâmina esteja concentrada em um ponto; isto é, suponhamos que uma partícula nesse ponto tenha a mesma massa M kg que a lâmina. Então, se essa partícula está a uma distância r m do eixo dado L, o momento de inércia em relação a L dessa partícula é Mr2kg-m2. O número r é a medida do raio de giração da lâ- mina dada em relação a L. Temos a definição: Se I é o momento de inércia em relação a um eixo L de uma distribuição de massa em um plano, e M é a medida da massa total da dis- tribuição, então o raio de giração da distribui- ção em relação a L tem medida r, onde Exemplo 3 Suponhamos que uma lâmina tenha a forma de uma região limitada por uma semicircunfe- rência, e a medida da densidade de área da lâmina em um ponto qualquer seja propor- cional à medida da distância do ponto ao diâmetro. Se a massa é medida em kg e a dis- tância em m, encontre o raio de giração da lâmina em relação ao eixo x. = ∫R∫kydA = 67 = Se Ixkg–m2 é o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo x, então = ∫R∫ky3dy dx = Portanto, se r m é o raio de giração e assim . O raio de giração, então é m. Nos Exercícios de 1 a 5, encontre a massa e o centro de massa da lâmina dada, conforme a densidade da área for indicada. A massa é medida em kg; a distância, em m. 1. Uma lâmina na forma da região retangular li- mitada pelas retas x = 3 e y = 2 e os eixos coordenados. A densidade de área em um ponto qualquer é xy2kg-m2. 2. Uma lâmina na forma da região limitada pela parábola x2 = 8y, a reta y = 2 e o eixo y. A densidade de área varia com a distância à reta y = –1. 3. Uma lâmina na forma da região no primeiro quadrante limitada pela circunferência x2 + y2 = a2 e os eixos coordenados. A densi- dade de área varia com a soma das distâncias aos dois lados retos. 4. Uma lâmina na forma da região limitada pela curva y = sen x e o eixo x de x = 0 a x = π. A densidade de área varia com a distância ao eixo x. 5. Uma lâmina na forma da região no primeiro qua- drante limitada pela circunferência x2 + y2 = 4, e a reta x+y = 2. A densidade de área em um ponto qualquer é xy kg/m2. Nos Exercícios de 6 a 7, encontre o momento de inércia da lâmina homogênea dada em relação ao eixo indicado se a densidade da área é ρkg/m2 e a distância é medida em metros. 6. Uma lâmina na forma da região limitada por 4y = 3x, x = 4 e o eixo x; em relação ao eixo y. 7. Uma lâmina na forma da região limitada por uma circunferência de raio a unidades; em re- lação a seu centro. 8. Uma lâmina homogênea de área de densidade ρkg-m2 tem a forma da região limitada por um triângulo isósceles, que tem uma base de com- primento b m e uma altura de comprimento h m. Encontre o raio de giração da lâmina em relação à sua reta de simetria. Cálculo II – Integrais múltiplas 70 UEA – Licenciatura em Matemática Agora, precisamos obter uma fórmula para cal- cular o limite da Eq.(1). Para isso, encontramos uma fórmula para calcular Δiσ como a medida da área de um paralelogramo. Para simplificar o cálculo, tomamos o ponto (ξi,γi) no i-ésimo retângulo, no vértice (xi–1,yi–1). Sejam A e B ve- tores que têm como representantes os seg- mentos de reta orientados com pontos iniciais em Q e que formam os dois lados adjacentes do paralelogramo, cuja área tem Δiσ de medida (veja Fig.2). Fig.2 Então, Δiσ = |AXB|. Como A = Δixi + fx(ξi,γi)Δixk e B = Δiyj + fy(ξi,γi)Δiyk Segue que = –Δix Δiy fx(ξi,γi) i – Δix Δiy fy(ξi,γi)j + Δix Δiyk Portanto veja em (2) abaixo Δiσ = |A x B| = Substituindo a Eq. (2) em (1), temos Esse limite é uma integral dupla que existe em R devido à continuidade de fx e fy que está sobre R, (3) Exemplo 1 Encontre a área da superfície do cilindro x2 + z2 = 16. Limitada pelos planos x = 0, x = 2, y = 0 e y = 3. Solução: A superfície é mostrada acima. A região R é o retângulo no primeiro quadrante do plano xy, limitado pelas retas x = 2 e y = 3 tem equação x2 + z = 16. Resolvendo para z, temos z = . Portanto, f(x, y) = . Assim, se σ é a medida da área da superfície, temos da equação (3) = 2πunidades quadradas. Exemplo 2 Encontre a área do parabolóide z = x2 + y2 limitado superiormente pelo plano z = 4. 71 Solução: A figura acima mostra a superfície dada. Da equação do parabolóide, vemos que f(x, y) = x2 + y2. A região fechada no plano xy limitada pela circunferência x2 + y2 = 4 é a região R. Se σ unidades quadradas é a área desejada, da equação (3), temos: Como o integrando contém os termos 4(x2 + y2), o cálculo da integral dupla é simpli- ficado se usarmos coordenadas polares. Então, x2 + y2 = r2 e dxdy = dA = r dr dθ. Além disso, r varia de 0 a 2 e θ de 0 a 2π. Temos, então, , portanto esta é a área em uni- dades quadradas. Exemplo 3 Encontre a área da metade superior da esfera x2 + y2 + z2 = a2. Solução: O hemisfério é mostrado acima. Resolvendo a equação da esfera para z e colocando esse igual a f(x, y), obtemos: F(x, y) = Como fx(x,y) = –x/ , e fy(x,y) = –y/ , notamos que fx e fy não são definidos na circunferência x2 + y2 = a2, que é a fronteira da região R no plano xy. Além disso, a integral dupla obtida na Eq. (3) é , que é imprópria, pois o integrando tem uma descontinuidade infinita em cada ponto da fronteira de R. Podemos resolver essa situação considerando a região R’ como a limitada pela circunferência x2 + y2 = b2,onde b< a, toman- do depois o limite, b → a–. Além disso, o cálcu- lo é simplificado se a integral dupla for calcula- da por uma integral iterada e se usarmos coor- denadas polares. Então, temos = 2πa2, que é a área do hemisfério em unida- des quadradas. Cálculo II – Integrais múltiplas 1. Encontre a área da superfície formada pela in- tersecção dos planos, x = 0, x = 1, y = 0, y =1, com o plano 2x + y + z = 4. 2. Encontre a área da superfície no primeiro oc- tante delimitada pelo cilindro x + y = 9 e o plano x = z. 3. Determine a área da porção da superfície da esfera x2 + y2 + z2 = 4x recortada por uma folha do cone y2 + z2 = x2. 4. Determine a área da porção de superfície da esfera x2 + y2 + z2 = 4z, interior ao parabolóide x2 + y2 = 3z. 5. O segmento de reta da origem ao ponto (a, b) gira em torno do eixo x. Encontre a área da superfície do cone gerado. 6. Encontre a área da porção do plano x = z que está compreendida entre os planos y = 0 e y = 6 e interior ao hiperbolóide 9x2 – 4y2 + 16z2 = 144. 72 UEA – Licenciatura em Matemática 75 Cálculo II – Teorema de Green TEOREMA DE GREEN George Green, matemático e físico inglês, com pouca formação básica, foi quem desenvolveu o Teorema de Green. Em 1828, Green publicou seu trabalho An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (um ensaio sobre a aplicação da análise matemática e as teorias de eletricidade e magnetismo). Nesse trabalho, o teorema foi utilizado, mas passou desperce- bido pela pequena tiragem do trabalho. Pos- teriormente, Green procurou a formação supe- rior e, após anos de estudos autodidáticos, en- trou na Universidade de Caius, em Cambridge. Formou-se em quatro anos, com desempenho desapontador, possivelmente por estar engaja- do em sua pesquisa. Publicou trabalhos sobre luz e som, e morreu em 1844. Quatro anos depois, seus trabalhos iniciais fo- ram novamente publicados, sendo, então, con- siderados de imensa importância para teorias modernas de eletricidade e magnetismo. Seja U um aberto de R2 e r → : [a,b] → U um cam- inho seccionalmente C1, fechado e simples, isto é r → , não se auto-intersecta, exceto nas extremi- dades. Seja A a região interior a Γ = r→([a,b]) – parte da dificuldade na formalização da versão mais geral do Teorema de Green deve-se ao fato de ser difícil definir com rigor o “interior” de uma curva fechada. Outra dificuldade reside na definição de “orientação” de um caminho. Vamos resignar-nos à seguinte definição: dize- mos que o caminho fechado simples r → está ori- entado no sentido positivo, se r → percorre a cur- va Γ = r→([a,b]), deixando à esquerda os pon- tos do interior de Γ. Teorema 1 (Teorema de Green). Seja U um aberto de R2 e F → = (F1, F2) um cam- po vetorial de classe C1 sobre U. Suponha-se que r → : [a,b] → U é um caminho fechado sim- ples, seccionalmente C1, orientado no sentido positivo. Seja A o interior de Γ = r→([a,b]). Temos então: (1) Pelas razões acima referidas, a prova desse teorema para o caso geral está longe de ser realizável no âmbito deste curso. Assim, vamos restringir-nos a uma classe particular de regi- ões do plano: Definição 1 Seja U ⊂ IR2 um aberto limitado. Diz-se que U é uma região regular se for, simultaneamente, x-regular e y-regular, isto é, U = {(x,y)∈ 2: f1(x) < y < f2(x) e a < x < b} e U = {(x,y)∈ 2: h1(y) < x < h2(x) e c < y < d}, Com f1,f2,h1,h2 funções de classe C1. Região x-regular. Exemplo 1 Um intervalo I = ]a,b[X]c,d[ é uma região re- gular de R2. 76 UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 2 Um círculo D ⊂ IR2, de raio R e centro em P0 = (x0,y0) é uma região regular. Com efeito, e Vamos provar o Teorema de Green no caso em que A é uma região regular. Nesse caso, a fronteira de A é a curva Γ = Γ1∪Γ2∪Γ3∪Γ4, com Γ1 = {(x,y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b e y = f1(x)}, Γ2 = {(x,y) ∈ IR2 : x = b e f1(b) ≤ y ≤ f2(b)}, Γ3 = {(x,y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b e y = f2(x)}, Γ4 = {(x,y) ∈ IR2 : x = a e f1(a) ≤ y ≤ f2(a)}, Para obtermos um caminho r → para Γ orientado positivamente, podemos considerar: r → 1(t) = (t,f1(t)) t∈[a,b]; r → 2(t) = (b,t) t∈[f1(b), f2(b)]; r → 3(t) = (a + b – t, f2(a + b – t)) t∈[a,b]; r → 4(t) = (a, f1(a) + f2(a) – t) t∈[f1(a), f2(a)]. Assim, por outro lado, Do mesmo modo, uma vez que a região A tam- bém pode ser descrita por A = {(x,y)∈ : h1(y) < x < h2(y) e c < y < d}, Temos: e Assim, Exemplo 3 Seja Γ o quadrado de vértices em (0, 0), (2, 0), (2, 2) e (0, 2). Seja F → o campo vetorial dado por F → = (y2, x): Aplicando o Teorema de Green, obtemos: Exemplo 4 Seja A a região limitada pelas parábolas y = x2 e y = x2 + 2 para x > 0. 77 Cálculo II – Teorema de Green Seja F → o campo vetorial dado por F → = (xy,x): Aplicando o Teorema de Green, obtemos: Caso A1 e A2 sejam duas regiões do plano, tal como ilustra a figura seguinte, onde se possa aplicar o Teorema de Green, vamos ver que a fórmula (1) do Teorema de Green vale ainda para a união A = A1 ∪ A2. Repare-se que A é interior à curva Γ = Γ1∪Γ2. Para um dado campo vectorial F → = (F1,F2), te- mos: Somando as duas equações, obtemos a fórmu- la do Teorema de Green para a região A: Essa discussão elucida-nos como tratar regi- ões que têm “buracos”. Exemplo 5 Considere a coroa circular A = A1∪A2 da figura seguinte. Essa região não é o interior de uma curva sim- ples, mas sim a região limitida por duas curvas simples, a saber, Γe = Γ1∪Γ4 e Γi = Γ2∪Γ3 Repare-se que a fronteira de A é Γ = Γe∪Γi Dado um campo vectorial F → = (F1,F2), podemos aplicar o Teorema de Green para A1 e para A2 : Somando, obtemos, mais uma vez, a fórmula do Teorema de Green: Note-se que as orientações indicadas para Γe e Γi “deixam à esquerda os pontos de A". Ainda em relação à figura anterior, suponha-se que as circunferências têm raios R1 = 1 e R2 = 2. Consideremos o campo vectorial F → = (y3, – x3). Aplicando o Teorema de Green, obtemos: 80 UEA – Licenciatura em Matemática Para usar o Teorema de Green, precisamos descrever o campo de direções definido pelo instrumento. Para tal, comecemos definindo coordenadas x e y. Como podemos fazer qual- quer escolha, coloquemos a origem na ponta do planímetro que é fixada e, a partir dela, dois eixos perpendiculares x e y. Como a rodinha gira perpendicularmente ao braço no qual está fixada, o campo F(x,y) definido pelo planímetro é perpendicular ao braço móvel, e podemos supor que tenha módulo 1. Equação do Campo F(x,y) Vamos considerar aqui que o planímetro tem os dois braços com comprimento igual a r. O primeiro está centrado na origem escolhida (0,0); o segundo, em um ponto móvel (a,b). Chamemos de v → o vetor que define o braço móvel do planímetro. Temos v → = (x – a, y – b) e um vetor perpendi- cular é → w = (–(y – b), x – a). Como o braço tem comprimento r, temos: . Assim, temos que nosso campo é: Precisamos, agora, determinar a e b. Para isso, consideraremos a equação dos círculos que podem ser descritos por cada um dos braços do planímetro: Da segunda linha, temos que: e logo Substituindo na equação do círculo centrado em (0,0), e desenvolvendo, teremos: 4y2a2 + (x2 + y2)2 + 4x2a2 – 4xa(x2 + y2) = 4y2r2 4(x2 + y2)a2 – 4x(x2 + y2)a +(x2 + y2)2 – 4y2r2 = 0 Colocando (x2 + y2) = R2 temos: e logo ou seja, A escolha do valor positivo de a implica sim- plesmente que o caminho a ser percorrido pelo braço do planímetro é o sentido anti-horário (sentido padrão de funcionamento). Com esse valor, o valor de b aparece, consequentemen- te, como sendo: ou seja, Agora, que calculamos os valores de a e de b 81 Cálculo II – Teorema de Green temos que o campo para o planímetro é: Derivando ambas as equações, obtemos: logo, e Assim, pelo Teorema de Green aplicado ao planímetro, a constante que multiplica a área só depende do comprimento dos braços, ou seja área cercada de C. O QUE MEDE A INTEGRAL DE LINHA? Tendo especificado que, para o campo gerado pelo planímetro, e de acordo com o Teorema de Green, a integral de linha ∫Cf(x,y)dx + g(x,y)dy é igual a um múltiplo da área da região delimitada pela curva C, torna-se neces- sário definir agora o que exatamente calcula a integral de linha, e a relação desta com a medi- ção realizada pelo planímetro. Para entender essa relação, analisaremos al- guns casos de interesse que possibilitarão es- sas definições. Quando o campo é um campo de forças Quando o campo é um campo de forças, temos que a integral de linha ∫Cf(x,y)dx + g(x,y)dy re- presenta o trabalho realizado pelo campo veto- rial F = (f, g) em uma partícula que se move ao longo da curva C. Para ver isso, faremos uma breve introdução ao cálculo do trabalho, desde situações mais simples, em que a força aplicada a uma partí- cula é constante e na direção e no sentido do movimento, até situações com mudanças cons- tantes na direção do movimento, na direção e na intensidade da força sobre a partícula. Na situação mais simples, em que a força apli- cada a uma partícula é constante e na direção e no sentido do movimento, que se dá em linha reta, o trabalho é dado por W = F.(b – a), em que b – a é a distância percorrida pelo objeto durante a atuação da força, e F é o módulo da força. No caso em que a força não tem módulo cons- tante, podemos subdividir a distância percorri- da em intervalos de tamanhos Δx e supor que a força é constante em cada um dos pedaci- nhos. Assim, W = FiΔx e, tomando o limite quando Δx tende a zero, teremos . Podemos, então, mudar a direção da força atu- ante sobre o objeto. Se seu módulo e direção forem constantes, podemos determinar sua componente na direção do movimento (|F|cosθ) e, assim, determinar o trabalho co- mo W = |F|cosθ(b – a). No caso em que o módulo da força não é cons- tante, novamente torna-se necessária a inte- gração dessa força ao longo de toda a tra- jetória e . Também é possível fazer que a direção de atu- ação da força sobre a partícula varie durante a trajetória, além da variação já incluída do módulo da força. 82 UEA – Licenciatura em Matemática Nesse caso, torna-se necessário definir um ve- tor v → unitário, que representa a direção do movimento do objeto. O produto escalar do vetor força F pelo vetor direção v → dá-nos o módulo da componente da força na direção do movimento (|F|cosθ = F.v→) uma vez que v → é unitário. Integrando esse pro- duto escalar por toda a trajetória, obtemos o trabalho . Lembramos que, nesse ca- so apenas o vetor F é variável, o vetor v → é cons- tante. Finalmente, temos o caso em que, além do módulo e da direção da força sobre o obje- to serem variáveis, a direção do movimento também varia. Para determinar o trabalho nessa situação, é necessário realizar uma parametrização da curva por comprimento de arco. Também é preciso determinar um vetor unitário v → que re- presente a direção do movimento do objeto. O produto escalar dos vetores variáveis Força F e direção v → terá como resultado o módulo da componente da força na direção do movimen- to em cada ponto da trajetória. Integrando esse produto escalar durante todo o comprimento da curva, obtemos o trabalho . Seja F = (f(x, y), g(x, y)). Como v → é um vetor tangente a uma trajetória curvilínea parame- trizada por comprimento de arco s, então e Assim, no caso em que o campo é um campo de forças, a integral de linha calcula o trabalho realizado para se mover sobre a curva C sob a ação do campo. O planímetro, em princípio, não determina um campo de forças, e a inte- gral de linha, então, não calcula trabalho. QUANDO O CAMPO É UM CAMPO QUALQUER Se o campo é qualquer, a integral de linha não calcula o trabalho realizado ao se mover um ponto sobre a curva C, mas o exemplo anterior mostra que a integral de linha de um campo qualquer F, ao longo de um curva C, mede a concordância da circulação do campo F com a orientação da curva C, pois, se em um ponto F não tiver componente na direção de C, o valor acrescido por esse ponto na integral de linha será nulo, e se tiver componente nessa dire- ção, haverá um acréscimo na integral de linha de valor igual ao módulo dessa componente do campo. Ela mede também a soma das pro- jeções da força na direção da curva. Ora, dado um campo de vetores F = (f(x, y), g(x, y)), podemos procurar suas curvas inte- grais, isto é, as curvas que são sempre tan- gentes ao campo. Procuramos curvas (x(s), y(s)) tais que o vetor tangente ou, na prática, procuramos soluções do sis- tema de equações diferenciais e . Se |F| = 1 então a curva sai para- metrizada por comprimento de arco e F.v → = 1. Assim, a integral de linha de um campo unitário em cima de uma curva integral mede o compri- mento desta curva, pois Relação entre a integral de linha e a medição realizada pelo Planímetro As figuras a seguir, realizadas usando o soft- ware Maple, mostram o campo gerado pelo Planímetro, no primeiro quadrante, e algumas curvas integrais e ortogonais desse campo. Respostas dos Exercícios 87 Cálculo II – Respostas dos exercícios UNIDADE I Funções de várias variáveis TEMA 01 INTRODUÇÃO Pág. 12 1. 25m 2. –7,34oC . TEMA 02 DOMÍNIO E IMAGEM Pág. 15 a) b) c) Todos reais (todo plano xy) d) y ≥ x y > –x e) f) UNIDADE III Integrais de linha TEMA 01 CAMINHOS E CURVAS pág. 41 Demonstrações TEMA 02 COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS pág. 44 1. a) b) c) 8a d) e) 14 TEMA 03 DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA Pág. 48 1. a) b) 2. a) b) c) 3. 4. 5. 56 6. 2π 90 UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE IV Integrais múltiplas TEMA 02 INTEGRAIS REPETIDAS Pág. 58 1. a) 1. ; b) 2. ; c) 3.0; d) 4.0; e) 5. 0; f) ; g) 2. –24 3. 21,5 4. 8 / 3 5. 42 6. 7. un. Cúbicas TEMA 03 INTEGRAIS TRIPLAS Pág. 61 1. a) b) 2. 3. 4. 5. a) – b) c) 6. 7. 8. 9. 10. 11. unid.cúbicas 12. unid.cúbicas 13. 4πunid. Cúbicas 14. unid. cúbicas 15. 16. 17. TEMA 04 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS DUPLAS Pág. 64 1 πR2 2. π(1 – e–R2) 91 Cálculo II – Respostas dos exercícios 3. 4. (b4 – a4)/8 5. 0 TEMA 05 A PLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA E TRIPLA Pág. 67 1. 12kg, (2, ) 2. 3. ) 4. 5. 6. 9ρkg–m2 7. 8. Pág. 72 1. unid. quadradas 2. 9 unid. quadradas 3. 8π unid. quadradas 4. 12πunid. quadradas. 5. unid. quadradas 6. unid. quadradas UNIDADE V Teorema de Greenn Pág. 79 1. a) b) c) π d) – 3 e) –3π 2. a) b) c) 92 UEA – Licenciatura em Matemática
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