Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.3

Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.3

(Parte 2 de 3)

Problema 3. Um banco afirma que empresta dinheiro a juros de 100% ao ano. Na hora de pagar a sua dıvida, um ano depois, um cliente observa que os juros cobrados sao mais altos. Ele procura o gerente do banco que explica que, na verdade, os juros sao

52 Temas e Problemas a) Qual e a taxa anual efetivamente cobrada pelo banco? b) E se o banco resolve considerar que os juros sao capitalizados a cada dia? c) E se o banco considerar que os juros sao capitalizados continuamente?

Finalmente, admitir que os juros sao capitalizados continuamente corresponde a tomar o valor limite dos processos descritos acima. Se dividirmos o perıodo de 1 ano em n perıodos e capitali- zarmos a quantia em cada um deles a juros de , o o capital inicial

obtida tomando o limite quando n → +∞ desta expressao. O valor deste limite e denotado pela letra e e eu mn umero fundamental na Matematica. Seu valor e aproximadamente igual a 2,718, o que leva a uma taxa anual de 171,8% em nosso problema. Alguns dos usos do numero e serao discutidos mais adiante.

Problema 4. Voltando ao Problema 1, quanto tempo deve transcorrer para que a quantidade de cloro na piscina se reduza a metade?

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Para responder a estas perguntas, precisamos olhar com mais cuidado as propriedades das funcoes exponenciais (para maiores detalhes veja “A Matematica do Ensino Medio”, vol. 1). Lembramos que uma funcao exponencial de base a (onde a>0 e a = 1) e uma funcao f: R → R definida por f(x)= a . Mas sera que a formula a tem sentido para todo numero real?

Certamente, a esta bem definido quando x e natural: a e definido como o produto a · a · a · a··· a (com n fatores). Mais precisamente, o valor de a e definido recursivamente: a = a e a = a ·a, para todo n natural. A partir desta definicao, podem ser demonstradas as propriedades fundamentais das potencias de expoente natural: a = a · a e ( a

naturais m e n;a lem disso, se m<n , entao a <a quando a> 1 e a >a quando 0<a<1 .

As definicoes das potencias de expoente real de a sao feitas de modo que estas propriedades sejam validas para quaisquer expoentes. Assim, a e definido como sendo 1, de modo que a identidade a = a a seja valida para todo n natural. A seguir, a , para n natural, e definido como , para que a identidade

Um pouco mais delicada e a definicao das potencias de expoente racional. Basta, porem, proceder como fizemos ao resolver o Problema 1. Inicialmente, dado um natural q, desejamos defi- nir a de modo que ( a

Agora, podemos definir a para todo x racional: se x = p/q, definimos

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As potencias de expoente racional assim definidas preservam as propriedades fundamentais das potencias de expoente natural:

) = a e, se x< y, entao a <a quando

a>1 e a >a quando 0<a<1 .

Consideremos, finalmente, potencias de expoente irracional.

Por exemplo, qual e o significado de a√ ?A ideia basica e que todo numero irracional pode ser aproximado, com precisao arbitraria, por numeros racionais. Por exemplo, as melhores aproximacoes

Os valores de a para tais aproximacoes conduzem, por sua vez, a aproximacoes cada vez melhores para a√ . Devido a monotonicidade das potencias de expoente racional, estas aproximacoes serao por falta (quando a> 1) ou por excesso (quando 0< a< 1). Em qualquer caso, o valor limite destas aproximacoes (definido como o menor numero real maior que ou igual a todas estas aproximacoes, no caso a>1 , ou o maior numero real menor que ou igual a elas, no caso 0< a < 1) e tomado como definicao de a√ (veja “A Matematica do Ensino Medio”, vol. 1, para maiores detalhes).

Assim, definimos os valores de a para todos os valores reais de x, com o resultado sendo sempre um numero positivo. Com isso, construımos uma funcao f: R → (0,∞) tal que f(x)= a , chamada de funcao exponencial de base a, que tem as seguintes propriedades:

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c) f e contınua; e) f e sobrejetiva (isto e, para todo y>0 existe x tal que a = y).

Podemos voltar agora a pergunta que abriu esta discussao (“existe um valor real de x para o qual 0,9 = 0,5?”) e responde-la afirmativamente. Como as funcoes exponenciais (em particular, a de base 0,9)s ao injetivas e tem por imagem o conjunto dos reais positivos, existe exatamente um numero real x tal que 0,9 = 0,5 (veja a Figura 26).

De modo geral, dado um numero y>0 ,o unico real x tal que a = y (onde y>0 ) e chamado de logaritmo de y na base a e re- presentado por log y. A funcao logarıtmica de base a, que associa

56 Temas e Problemas x Figura 26 a cada numero real positivo o seu logaritmo na base a, e, portanto, a inversa da funcao exponencial de base a e suas propriedades decorrem das propriedades da exponencial.

des (veja os graficos da Figura 27):

d) log e crescente quando a>1 e decrescente quando f) log e sobrejetiva.

Assim, para resolver o Problema 4 devemos obter log 0,5. Co- mo obter este valor? Ha algumas decadas, a resposta seria consultar uma tabela de logaritmos, que eram usadas nao so para

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obter a resposta a problemas como estes, mas tambem para facilitar calculos, explorando o fato de que logaritmos transformam produtos em somas. Hoje em dia, e mais provavel que a resposta seja obtida com uma calculadora cientıfica. Em ambos os casos, o usuario de primeira viagem depara-se com uma dificuldade: nao ha tabelas de logaritmos na base 0,9, nem teclas na calculadora para calcular tais logaritmos. As bases em que valores de logaritmos estao usualmente tabeladas ou disponıveis em calculadoras sao as bases 10 e e (a base dos logaritmos naturais ou neperianos). Mas, na verdade, qualquer base de logaritmos pode ser usada para calcular um logaritmo em qualquer outra base.

De fato, como vimos, log 0,5 e a solucao da equacao

0,9 = 0,5. Aplicando as propriedades dos logaritmos em uma base qualquer a, temos, sucessivamente

Logo, obtemos

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A resposta, naturalmente, e a mesma: sao necessarias 6,57881 horas (aproximadamente 6 horas e 35 minutos) para que a quantidade de cloro se reduza a metade.

Problema 5. Uma pessoa deposita uma quantia em um banco, que a remunera a taxa de 1% ao mes. Em quantos meses a quantia depositada dobra?

Com auxılio de uma tabela ou de uma calculadora, obtemos log1,01 = 0,00432 e log2 = 0,30103 ed aı

Assim, seria necessario esperar 70 meses para que a quantia dobre.

No final da resolucao do Problema 4, concluımos que log 0,5 =

De modo geral log x = log x/log b,

Esta ultima identidade e bem conhecida como a “formula de mudanca de base” dos logaritmos. O que nao e muito destacado e que ela mostra que duas funcoes logarıtmicas quaisquer sao

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Y log a x log b x sempre multiplas uma da outra. De fato, a formula nos diz que log x = klog x, onde a constante k e igual a 1/log b. A Figura 28 ilustra este fato.

Uma consequencia da discussao acima e que as funcoes exponenciais tambem estao todas relacionadas entre si. De fato, se a e b sao numeros positivos e diferentes de 1, temos

Logo, existe uma constante k = log a tal que

Portanto, a exemplo do que ocorre com os logaritmos, quando trabalhamos com funcoes exponenciais podemos sempre expressalas usando nossas bases favoritas. Na maior parte dos casos, preferimos trabalhar com a base e, pelas razoes explicadas a seguir. Assim, ao inve s de caracterizarmos as funcoes do tipo exponencial como sendo aquelas da forma f(x)= ba , poderıamos, equivalentemente, caracteriza-las como sendo da forma f(x)= be .

A preferencia pela base e se deve ao fato de que o coeficiente k na expressao be tem uma importante interpretacao. Como vimos, funcoes do tipo exponencial tem a propriedade fundamental de que sua variacao relativa em intervalos de comprimento

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para todo x. Ou seja, k e a razao constante entre o valor da taxa de variacao instantanea de uma funcao do tipo exponencial e o seu valor no ponto considerado.

a) Escreva esta funcao na forma c(t)= be .

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