notas de aulas do halliday 6ª edição. fluidos

notas de aulas do halliday 6ª edição. fluidos

(Parte 1 de 3)

Versão preliminar 4 de junho de 2004

15. FLUIDOS2
DENSIDADE2
PRESSÃO2
FLUIDO EM REPOUSO3
O PRINCÍPIO DE PASCAL4
O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES4
FLUIDOS IDEAIS EM MOVIMENTO4
LINHAS DE CORRENTE E A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE5
A EQUAÇÃO DE BERNOULLI6
O MEDIDOR DE VENTURI9
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS1
011
051
0712
114
1215
1516
1917
219
2619
2720
2921
312
362
4723
4824
“49”25
4926
5027
5329
5730
6831

Prof. Romero Tavares da Silva

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15. Fluidos

Fluidos compreendem líquidos e gases. Os líquidos escoam sob a ação da gravidade até preencherem as regiões mais baixas possíveis dos vasos que os contém. Os gases se expandem até ocuparem todo o volume do vaso, qualquer que seja a sua forma.

As moléculas em um gás não têm restrição de movimento dentro do recipiente que o contém, e podem se deslocar através de toda essa região do espaço.

Já o líquido está restrito a se mover abaixo da sua superfície. Grande parte de suas moléculas não têm energia suficiente para vencer essa barreira imposta pela superfície, daí a contenção entre a sua superfície e as parede do recipiente.

Na Mecânica dos Fluidos estudamos o movimento do conjunto de partículas e não o de cada partícula, como na Mecânica Newtoniana.

Densidade

Define-se densidade ρ de um material como a relação entre a sua massa e o seu volume. De maneira formal, analisamos apenas uma pequena porção do material de massa ∆m e volume ∆V e definimos a sua densidade como:

e se este material tiver uma distribuição uniforme de massa, a sua densidade será a mesma em todas as suas partes. Nesse caso teremos ρ = m/V .

Pressão

A pressão mede a relação entre a força aplicada a uma superfície e o tamanho da superfície considerada.

Seja ∆F a força que está sendo aplicada em um êm- bolo de superfície ∆A . A pressão p que esta força está exercendo no êmbolo é definida como:

A Fp ∆

À rigor, a pressão é definida para o limite desta razão,

∆F∆A

no limite quando a área tender à zero. Ou seja:

dA dFp= ⇒ dF = p dA

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Fluido em repouso

Para deduzir a relação entre pressão, densidade e profundidade, analisemos um fluido de densidade ρ em repouso num dado recipiente, como mostrado na figura à seguir. Vamos considerar um cilindro imaginário desenhado nesse fluido. Esse cilindro tem superfícies A paralelas à superfície do fluido e uma altura dy ao longo da profundidade do fluido. A força líquida dFR que o fluido exerce neste cilindro é dada por:

p A - (p + dp) A = dFR onde pA é a força que atua na superfície inferior e (p + dp) A é a força que atua na superfície superior do cilindro imaginário. Como o cilindro está em repouso, essa força deve ser igual ao peso do cilindro. Desse modo:

- dp A = dFR = g dm

y+dy (p+dp)A
ypA

Mas dm = ρ dV = ρ A dy dp = - ρ g dy logo dygdp ρ

Quando a densidade puder ser considerada uniforme, ou seja quando a densidade não variar com a altura, a integração terá a forma:

(p+dp)A pA dygdp ρ

Considerando que a pressão aumenta com a profundidade, vamos definir a profundidade como h , a pressão nesta profundidade como p e a pressão superficial como p0 , e desse modo:

p = p0 + ρ g h

Assim encontramos que a pressão varia linearmente com a profundidade h .

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O Princípio de Pascal

A pressão aplicada a um fluido contido em um recipiente é transmitida integralmente a todos os pontos do fluido e às paredes do recipiente que o contém.

Se a pressão atmosférica for chamada de p0 , a pressão em uma profundidade h deste fluido será dada por:

p = p0 + ρ g h

Caso a pressão atmosférica varie, e num certo dia ela passe para o valor p1 onde p1 < p0 , a pressão no interior do lago também irá variar como consequência desta mudança, e teremos:

p = p1 + ρ g h

O Princípio de Arquimedes

Todo corpo total ou parcialmente imerso em um fluido, recebe deste um empuxo vertical dirigido para cima, de módulo igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.

Esse Princípio resume uma infinidade aspectos da influência de um líquido sobre um corpo sólido que nele está imerso (ou parcialmente imerso).

Porque um pedaço de madeira flutua e uma pedra afunda? Porque um navio flutua, mesmo sendo feito de ferro? Porque um submarino consegue ter controle sobre a escolha da profundidade em que se encontra? Questões deste tipo são respondidas com a aplicação do princípio de Arquimedes.

Fluidos ideais em movimento

O movimento de fluidos reais é complexo e ainda não é inteiramente compreendido. Por exemplo, não existe uma compreensão clara sobre o fenômeno das turbulências.

Vamos restringir a nossa análise aos fluidos ideais. São aqueles que apresentam um comportamento bem mais simples, e principalmente, sabemos analisar os seu movimento. Um fluido ideal tem pelo menos as seguintes características:

Escoamento estacionário

A velocidade do fluido em qualquer ponto fixo não muda com o tempo. Neste tipo de escoamento a velocidade de um elemento de volume do fluido pode variar enquanto ele muda de posição, mas a velocidade do fluido em cada ponto do espaço permanece constante ao longo do tempo.

Escoamento incompressível

A sua densidade é constante, independente das circunstâncias, como o aumento de pressão ou temperatura.

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Escoamento não viscoso

Grosseiramente, a viscosidade de um fluido é uma medida da sua resistência ao escoamento.

Escoamento irrotacional

Em um escoamento não - rotacional, um corpo não girará em torno d um eixo que passe por seu centro de massa.

Vamos estudar o escoamento estacionário, incompressível, irrotacional e não - viscoso.

Linhas de corrente e a Equação da Continuidade

Uma linha de corrente é a trajetória de um elemento de volume do fluido. Enquanto esse elemento de volume se move, ele pode variar a sua velocidade em módulo direção e sentido. O vetor velocidade será sempre tangente á linha de corrente. Uma consequência desta definição é que as linhas de corrente nunca se cruzam, pois caso o fizessem o elemento de volume poderia ter uma das duas velocidades com diferentes direções, simultaneamente.

Em um escoamento podemos isolar tubos de corrente, cujos limites são definidos por linhas de corrente. Tal tubo funciona como um cano, porque nenhuma partícula escapa através de suas paredes - pois justamente essas paredes definem as linhas de corrente.

Consideremos o tubo de corrente na figura ao lado, onde o fluido se move da esquerda para a direita. O tubo tem seção transversal A1

A2 , v2 A1 , v1 e A2 nas posições indicadas e velocidades respectivas v1 e v2 .

Observemos durante um intervalo de tempo ∆t o fluido que cruza a área A1 . A massa de fluido que atravessa essa superfície neste intervalo é dado por

Como não existe fonte ou sorvedouro de massa entre A1 e A2 , essa mesma massa de fluido atravessará a superfície A2 e será dado, nesse caso, por:

ρ A v = constante ao longo de um tubo de corrente. Algumas vezes a equação anterior é chamada de equação de continuidade para escoamento de fluidos.

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Como as linhas de corrente não se cruzam, elas se aproximam uma das outras à medida que o tubo de corrente diminui a sua seção transversal. Desse modo o adensamento de linhas de corrente significa o aumento da velocidade de escoamento.

A equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli relaciona variação de pressão, variação de altura e variação de velocidade em um fluido incompressível num escoamento estacionário. Ela é obtida como uma consequência da conservação da energia.

Considere um tubo de largura variável por onde entra um fluido à esquerda e sai à direita, como mostra a figura à seguir. À esquerda, o tubo tem seção transversal de área

A1 e à direita ele tem uma seção transversal de área A2 . À esquerda, parte inferior do tubo está a uma certa altura y1 de um certo referencial e a parte superior do tubo à direita está a uma altura y2 desse mesmo referencial.

Vamos considerar o movimento deste fluido que num dado instante ocupa o volume entre os planos 1 e 2 na figura à seguir, e depois de um intervalo de tempo ∆t ele passa a ocupar o volume entre os planos 1 e 2 .

2
1
p1A1v2∆t
y2 y
v1∆ty1

O volume entre os planos 1 e 1 é ∆V1 e o volume entre os planos 2 e 2 é ∆V2 , onde temos que:

Considere um intervalo de tempo ∆t pequeno, tal que através da superfície A1 passe uma massa ∆m1 e através da superfície A2 passa uma massa ∆m2 . Essas massas podem ser escritas como:

∆m1 = ρ1 ∆V1 = ρ1 [ (v1 ∆t ) A1 ] e de modo semelhante:

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Como a massa que entra pela esquerda deve ser igual à massa que sai à direita, temos que e como o fluido é considerado incompressível, a densidade à esquerda ρ1 é igual à densidade ρ2 à direita, logo ρ = ρ1 = ρ2 ou seja:

Uma das forças externas a esse elemento de massa é a gravidade e a outra força é

O trabalho W realizado pelas forças externas sobre o elemento de massa ∆m é igual à variação da energia cinética dessa massa quando vai da esquerda para a direita. uma consequência da diferença de pressão externa aplicada nas superfícies A1 e A2 .

WG = trabalho realizado pela força da gravidade. WP = trabalho ralizado como uma consequência da diferença de pressão externa.

1 ldFW G

1 ldFW P

Num intervalo de tempo ∆t , uma elemento de massa ∆m deixou a parte inferior do tubo e passou para a parte superior. Logo, o sistema armazenou energia potencial gravitacional

WG = - ∆m g ( y2 - y1 ) Por outro lado:

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Mas logo

A variação da energia cinética é dada por:

Podemos então dizer que:

ρ ou ainda:

de onde podemos concluir que:

que é a equação de Bernoulli.

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O medidor de Venturi

O medidor de Venturi é um aparelho usado para medir a velocidade de escoa- mento de um fluido de densidade ρF em um cano. O medidor é conectado entre duas seções do cano como mostrado na figura à seguir.

A área A da seção transversal da entrada e da saída são iguais a área da seção transversal do cano. Entre a entrada e a saída, o fluido passa por uma região estreita de

área aUm manômetro que contém um líquido de densidade ρL conecta a parte mais

larga à parte mais estreita, onde a velocidade do fluido tem um valor V , que é maior que a velocidade v na entrada do medidor.

; A11v!
CanoCano
1y2
y1 h

Vamos usar a equação de Bernoulli para analisar a variação das grandezas envolvidas.

Aplicando essa equação para esse cano, nas regiões 1 e 2 , encontramos que:

1 ρρρρ onde estamos tomando como referencial da energia potencial gravitacional o ponto mais alto do líquido dentro do manômetro, e desse modo podemos usar a Equação de bernoulli apenas para o fluido do cano. Esta equação pode tomar a forma:

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No interior do manômetro, as pressões se equacionam do seguinte modo:

Cap 15 w.fisica.ufpb.br/~romero 10 hgpp hygpp ygpp

Usando as duas primeiras equações na última, encontramos que:

Identificando esta equação com a aplicação da equação de Bernoulli, encontramos que:

FL hg v

À partir da equação da continuidade, encontramos que:

A v = e desse modo

() F FL hgA

A v e finalmente: () hgA v e portanto podemos medir a velocidade v1 do fluido ao entrar no cano.

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Solução de alguns problemas

Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

01Encontre o aumento de pressão de um fluido em uma seringa quando uma enfermeira aplica uma força de 42N ao êmbolo da seringa, de raio 1,1cm .

F = 42N r = 1,1cm = 0,011m

2rFA Fp π

1N/m2 = 1 Pascal

1atm = 1,013x105 Pa logo

∆p = 1,08atm

Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

05Um peixe controla a sua profundidade na água através do ajuste do conteúdo de ar de um osso poroso ou em um saco de ar para que a sua densidade fique igual à da água. Suponha que, com as bolsas de ar vazias, um peixe tenha a densidade de 1,08g/cm3 . Se ele quiser reduzir a sua densidade à da água, que fração do volume do seu corpo deverá ser ocupada por ar dentro dos sacos? (Estes sacos são chamados bexigas natatórias.

ρI = 1,08g/cm3 ρF = 1g/cm3 A densidade do peixe varia de ρI até ρF :

Na definição de ρF levamos em consideração que a massa de ar é muito

menor que a massa do peixe.

A razão entre os volumes tem a forma:

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Mas

VF = VI + VAR logo:

Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

07Em 1654, Otto von Guericke, burgomestre de Magdeburg e inventor da bomba de ar, deu uma demonstração diante da Dieta Imperial em que dois grupos de oito cavalos não foram capazes de separar dois hemisférios de latão unidos, dentro dos quais se fez vácuo.

a)Pressupondo que os dois hemisférios tenham paredes finas, de forma que R , na figura à seguir, possa ser considerado o raio interno e externo, mostre que a for- ça F necessária para separar os hemisférios é F = πR2 ∆p onde ∆p é a diferença entre as pressões interna e externa na esfera.

A atmosfera exerce uma pressão (e consequentemente um força) em todos os pontos dos dois hemisférios, mas apenas a componente z dessa força "empurra" um hemisfério contra o outro. As componentes x e y dessa força são nulas.

Isso pode ser percebido se observarmos que para cada elemento de força

Fd ! existe atuando um outro elemento

Fd ′! simétrico em relação ao eixo z .

As componentes x e y de Fd′! anu- larão as componentes equivalentes de

Fd ! . No entanto, somar-se-ão as com- ponentes z dessas forças elementares θ dFz simétricas.

Fd ! é um vetor radial, ou seja:

As suas componentes cartesianas são: dFX = - dF senθ cosϕ θ z

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Cap 15 w.fisica.ufpb.br/~romero 13 dFY = - dF senθ senϕ dFZ = - dF cosθ Considerando que:

dF = p0 dA = p0 (R2 senθ dθ dϕ) teremos que:

dFX = - p0 R2 (sen2θ dθ) (cosϕ dϕ) dFY = - p0 R2 (sen2θ dθ) (senϕ dϕ) dFZ = - p0 R2 (senθ cosθ dθ) (dϕ) Integrando, teremos:

ϕϕθθ ddRpdFF X ϕϕθθ ddRpdFF Y

20 cossen ϕθθθ ddRpdFF Z

Mas por outro lado:

d d d logo:

FX = FY = 0 e

02 cossen2 π θθθπ dpRFZ

Fazendo a substituição u = senθ , encontramos que

Como FZ é a força resultante externa, vamos chamá-la de F0 , ou seja: F0 = π R2 p0

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Cap 15 w.fisica.ufpb.br/~romero 14

A força líquida F é a diferença entre as forças internas e externas:

b)Fazendo R = 30cm e a pressão interna igual a 0,10atm , encontre a força que os cavalos teriam de exercer para separar os hemisférios.

R = 30cm = 0,30m p0 = 1atm = 1,013x105Pascal p1 = 0,1atm = 1,013x104Pascal

∆p= p0 - p1 = 0,9atm = 91.170Pa

F = 25.7,7 Newtons

Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição 11Uma piscina tem as dimensões 24m x 9m x 2,5m .

a)Quando ela está cheia de água, qual é força (devido somente à água) sobre o fundo, nas extremidades e nos lados?

H = 2,5m L = 9m C = 24m

A pressão no fundo da piscina é dada por:

P = ρ g H

Logo, a força total no fundo será:

F = P A = (ρ g H) (L C)

H C

F = ρ g V h = 0 h dh h = H

L A pressão a uma profundidade genérica h é dada por:

P = ρ g h

A força lateral em uma superfície dA ao longo desta profundidade e associada a essa pressão tem a forma:

dFL = P dA = P (L dh) = ρ g L h dh

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 15 w.fisica.ufpb.br/~romero 15 e portanto, a força lateral é dada por:

FL = 2,8 x 105 N Como temos duas superfícies laterais iguais:

2 FL = 5,6 x 105 N A força ao longo do comprimento é dada por:

FC = 7,4 x 105 N Como temos duas superfícies laterais iguais:

2 FC = 1,4 x 106 N b)Se você estiver preocupado com o fato das paredes e pisos de concreto se quebrarem, seria apropriado levar em conta a pressão atmosférica? Porque?

Sim, por causa do princípio de Pascal. A pressão que a atmosfera exerce na superfície se transmite para todos os pontos da água, inclusive os lados e o fundo.

Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

12a)Encontre o peso total da água em cima de um submarino nuclear, a uma profundidade de 200m , supondo que o seu casco (corte da seção transversal) tenha a área de 3000m2 .

(Parte 1 de 3)

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