Exercícios de Álgebra Linear

Exercícios de Álgebra Linear

(Parte 1 de 8)

Álgebra Linear - Exercícios (Espaços Vectoriais)

Índice

1.1 Dependência e Independência Linear3
1.2 Sistemas de Geradores e Bases10
1.3 Subespaços Vectoriais17
1.4 Miscelânea29

1 Espaços Vectoriais

1 Espaços Vectoriais

1.1 Dependência e Independência Linear

Exercício 1 Sejam u e v dois vectores linearmente independentes de um espaço vectorial real E. Determine o escalar α ∈ R paraoq ualo sv ectores αu +2 v e u − v são linearmente dependentes.

Solução Os vectores serão linearmente independentes se a única combinação linear nula destes se obtiver com os escalares nulos:

Dado que u e v são linearmente independentes da expressão anterior resulta que:

Temos portanto um sistema homogéneo de duas equações a duas incógnitas,

β1 e β2,c ujam atrizd os istema éd adap or A =

¸ .S e o sistema for determinado, a única solução será β1 = β2 =0 , pelo que os vectores dados serão linearmente independentes. Pretende-se portanto que o sistema seja

Construímos a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca:

Tem-se claramente rA = rA|B,o que significa que o sistema é possível (como já sabíamos por ser um sistema homogéneo). Se α 6= −2 tem-se rA =2 oq ue implica um sistema possível e determinado; se α = −2,t em-se rA =1 < 2 pelo que teremos um sistema possível e indeterminado. O escalar escolhido deverá portanto ser α = −2.

1 Espaços Vectoriais

Exercício 2 Sejam u, v e w três vectores linearmente independentes de um espaço vectorial real E. Determine o escalar α ∈ R paraoq ualo s vectores αu +2 v +2 w e u + αv − w são linearmente dependentes.

Solução Os vectores serão linearmente independentes se a única combinação linear nula destes se obtiver com os escalares nulos:

Dado que u, v e w são linearmente independentes, da expressão anterior resulta que:

Temos portanto um sistema homogéneo de três equações a duas incógnitas, β1, β2 e β3,c ujam atrizd os istema éd adap or A =

.S e o sistema

for determinado, a única solução será β1 = β2 =0 , pelo que os vectores dados serão linearmente independentes. Pretende-se portanto que o sistema seja

Construímos a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca:

Se α = −1 ou α = −2 tem-se claramente rA = rA|B =2 ,o que significa que o sistema é possível (como já sabíamos por ser um sistema homogéneo) e determinando. No entanto, se α 6= −1 ∧ α 6= −2 também se obterá um sistema possível e determinado. Concluimos assim que os vectores dados serão sempre linearmente independentes, qualquer que seja α ∈ R.

1 Espaços Vectoriais

Exercício 3 Sejam u e v dois vectores linearmente independentes de um espaço vectorial real E. Mostre que os vectores u e u + v são linearmente independentes.

Solução Construamosac ombinação linearn ulad estesd oisv ectoresev erifiquemos que só é satisfeita com os escalares nulos:

Sabendo que u e v são linearmente independentes, teremos:

A solução deste sistema é claramente β1 = β2 =0 pelo ques ep odec oncluir que os vectores u e u + v são linearmente independentes.

Exercício 4 Considerem-se 3 vectores de um espaço vectorial: u, v e w.P rove que u − v, v − w e w − u são sempre linearmente dependentes.

Solução Construamosac ombinação linearn ulad estest rêsv ectoresev erifiquemos que não é só satisfeita com os escalares nulos:

Sabendo que u,v e w são linearmente independentes, teremos:

Construímos agora a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca:

1 Espaços Vectoriais

Dado que rA = rA|B =2 < 3, o sistema é possível e indeterminado, tendo outras soluções que não a solução β1 = β2 = β3 =0 , pelo que os vectores dados serão linearmente dependentes.

Exercício 5 Sendo x, y e z vectores linearmente independentes de um espaço vectorial E, mostre que os três vectores x+y, x+z e y +z também são linearmente independentes

Solução Construamosac ombinação linearn ulad estest rêsv ectoresev erifiquemos que não é só satisfeita com os escalares nulos:

Sabendo que x,y e z são linearmente independentes, teremos:

Construímos agora a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca:

1 Espaços Vectoriais

Dado que rA = rA|B =2=3 , o sistema é possível e determinado, tendo apenas a solução β1 = β2 = β3 =0 , pelo que os vectores dados serão linearmente independentes.

Exercício 6 Sejam v e w dois vectores linearmente independentes de um espaço vectorial E. Mostre que o sistema de vectores {v, w,v + w} él inearmente dependente.

Solução Construamosac ombinação linearn ulad estest rêsv ectoresev erifiquemos que não é só satisfeita com os escalares nulos:

Sabendo que v e w são linearmente independentes, teremos:

Construímos agora a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca:

Dado que rA = rA|B =2 < 3, o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação d = n − rA =3 − 2= 1. Existem portanto outras soluções paraos istema quen ãoas olução β1 = β2 = β3 =0 . Logo, os vectores {v, w,v + w} são linearmente dependentes.

Exercício 7 Identifique as condições sobre a e b de modo a que os vectores, (a,2,b), (a +1 ,2,1) e (3,b,1) sejam linearmente independentes.

Solução Os vectores serão linearmente independentes se a única combinação linear nula destes se obtiver com os escalares nulos:

1 Espaços Vectoriais

Da expressão anterior resulta que:

Temos portanto um sistema homogéneo de três equações a três incógnitas,

o sistema for determinado (possível é sempre, por ser homogéneo), a única solução será β1 = β2 = β3 =0 , pelo que os vectores dados serão linearmente independentes. Pretende-se portanto que o sistema seja determinado, isto é rA =3 . Tal depende no entanto dos valores dos parâmetros a e b.

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