Notas de Aulas Calculo Derivadas e Integrais

Notas de Aulas Calculo Derivadas e Integrais

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CAPÍTULO 21

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

FUNÇÕES IMPLÍCITAS E EXPLÍCITAS

Até agora, estudamos funções que envolvem duas variáveis que se apresentam de forma explícita: y = f(x), isto é, uma das variáveis é fornecida de forma direta (explícita) em termos da outra.

y = 4x - 5

Por exemplo : s = -25t² - 18t

u = 9w – 35w²

Nelas dizemos que y, s, e u são funções de x, t e w, EXPLICITAMENTE. Muitas funções, porém, apresentam-se na forma implícta, veja o exemplo abaixo:

● Ache a derivada da função xy = 1.

: Derivada de y em

relação à x.

RESOLUÇÃO: Nesta equação, y esta definida IMPLICITAMENTE como uma função de x. Podemos obter, portanto, a equação em relação à y e daí diferenciá-la.

xy = 1 (Forma implícita)

y = (Escrever a relação y em função de x)

y = x –1(Escrever sob nova forma)

= - x – 2(Derivar em relação a x )

= - (Simplificar)

Este processo só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, oque não ocorre, por exemplo, com y4 + 3xy + 2lny = 0.

Para tanto, podemos utilizar um método chamado DERIVAÇÃO (OU DIFERENCIAÇÃO) IMPLÍCITA, que nos permite derivar uma função sem a necessidade de explicitá-la.

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Esta derivação é feita em relação a x. Resolvendo normalmente as derivadas que envolvam apenas x. Quando derivamos termos que envolvem y, aplicaremos a Regrada Cadeia, uma vez que y é uma função de x.

Exemplos:

  1. 2x + y³

Resolução:

Sendo y uma função de x, devemos aplicara regra da cadeia para diferenciar em relação a x, daí:

  1. x + 3y

Resolução :

Regra da cadeia

  1. xy²

Resolução :

  1. 4x² + 9y² = 36

Resolução:

  1. x4 + y4 + x² + y² + x + y = 1

  1. x²y5 = y + 3

  1. x² + y² = 1

  1. x² + 5y³ - x = 5

  1. x³ - y³ - 4xy = 0

  1. x²y + 3xy³ - 3 = x

  1. x² + 4y² = 4

  1. y³ + y² - 5y – x² = -4

  1. x - = 2

  1. x³y³ - y = x

  1. tgy = xy

  1. ey = x + y

  1. acos²( x + y ) = b

  1. xy – lny = 2

EXTRA :

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CAPÍTULO 22

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA

Função na forma paramétrica

x = x(t)

Sejam ( I ) duas funções da mesma variável t, com t [ a, b ]; a

y = y(t)

cada valor de t, temos x e y definidos.

Caso as funções x = x(t) e y = y(t) sejam contínuas, quando t varia de a, b; o ponto P ( x(t), y(t) ) decreve uma curva no plano, onde t é o parâmetro.

y

E

y(t)

xemplo :

P

a

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