Circuitos Corrente alternada

Circuitos Corrente alternada

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Filme de helicoidal de carbono depositado

Tampa metálica d

R ls

Figura 6.2. Resistor de filme de carbono. O circuito equivalente para alta frequência é um resistor ideal em série com um indutor.

Alguns resistores de alta potência (> 5 W) são feitos de arame metálico enrolado sobre uma cerâmica; estes são altamente indutivos e não devem ser utilizados em frequências acima de 1 kHz. Se precisar de um resistor de baixo valor de R, baixa indutância e alta potência, você mesmo pode fazer um a partir de arame. O truque para diminuir a indutância é dobrar o arame na metade do comprimento e enrolar o fio duplo sobre a cerâmica (tomando cuidado para que o arame “não se toque”). Deste modo, o campo magnético devido à corrente nas espiras tem um sentido até a metade do arame e sentido oposto na segunda metade.

6.1.1 Efeito pelicular

Para frequências acima de algumas dezenas de kHz se observa que a resistência dos fios metálicos aumenta com a frequência devido a que quase toda a corrente passa apenas por uma camada fina perto da superfície. Este fenômeno se conhece como efeito pelicular. 1,12 A amplitude da densidade de corrente no interior dos condutores reais (resistividade não nula) cai exponencialmente a partir da superfície. A distância dentro do condutor para a qual densidade de corrente vale 1/e do valor na superfície é dada por onde µ é a permeabilidade magnética (para metais não magnéticos µ = µ0 = 4pi×10−7 H/m) e ρ a resistividade do metal a baixa frequência.

1 Veja por exemplo, The Feynman Lectures on Physics, op. cit., vol. 2, sect. 32-1. 12 S. Ramo and J.R. Whinnery, Fields and Waves in Modern Radio, 2nd Ed., Wiley, New York, 1960.

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Resistores, capacitores e indutores reais31

Figura 6.3. Efeito pelicular. A baixas frequências (esquerda) a corrente passa por toda a seção transversal de um fio condutor, e a altas frequências (direita) passa apenas por uma camada de espessura δ.

A resistência de um fio de comprimento l e raio a pode ser estimada como

Rl S=ρ /, onde S (a área efetiva da seção por onde efetivamente passa a corrente) é

S = pia2 a baixa frequência (fa<<µpiρ/2) e

S = 2piaδ a alta frequência (fa>>µpiρ/2).

O efeito pelicular é importante se δ << a, o que acontece para frequências acima de um certo valor fa≈µpiρ/2, que depende da condutividade do metal e do diâmetro do fio. Por exemplo, para o cobre (ρ = 1.8×10-8 Ω-m) temos, de [6.2], e a resistência por unidade de comprimento de um fio de 1 m de diâmetro aumenta de 0.03 Ω/m a baixa frequência (< 500 kHz) até 1 Ω/m a 100 MHz.

Exercício 6.2: A partir de qual frequência o efeito pelicular deve ser levado em consideração para um fio de grafite (condutividade 0.12 S/m) de 1 m de diâmetro?

Exercício 6.3: Para diminuir as perdas ôhmicas em instalações de alta potência e redes de transmissão de energia elétrica, se utilizam cabos de cobre grossos. Se a frequência é de 60 Hz, a partir de que valor, aproximadamente, não adianta aumentar o diâmetro do cabo?

6.2 Indutores

Os indutores são confeccionados enrolando um fio de cobre envernizado sobre um objeto de seção cilíndrica ou retangular. A resistência do enrolamento representa uma resistência série que é relativamente mais importante a baixas frequências (Figura 6.1a). Esta resistência série depende essencialmente do comprimento total (ltot) e diâmetro (D) do fio.

Consideremos o seguinte exemplo: Um indutor com núcleo de ar, na forma de um solenóide de comprimento d = 3 cm, área média A = pir2 = 12 cm2 e com N = 1000 voltas, tem uma indutância

L = µ0 N 2 A/d = 50 mH.

O perímetro médio de cada espira é 2pir = 10.3 cm, o que dá um comprimento total ltot = 123 metros. Se o fio é de cobre (resistividade ρ = 1.8×10-6 Ωcm), de diâmetro D = 0.25 m (área da seção transversal S =

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32Circuitos de Corrente Alternada piD2/4), então a resistência série desse indutor é rs = ρ ltot /S = 45 Ω. Para uma frequência de 100 Hz, a reatância é XL = 2pifL = 31.4 Ω , que é menor que a sua resistência interna. Por outro lado, para uma frequência de 10 MHz, XL = 188 MΩ >> rs (mesmo considerando o efeito pelicular, que daria rs = 130 Ω).

Apesar disto, em certos casos, principalmente em circuitos ressonantes, rs não poderá ser ignorada, mesmo que a frequência seja alta. A frequências mais altas é necessário considerar a capacitância parasita entre as espiras da bobina, cp, em paralelo com o indutor (Figura 6.1b).

A relação entre a reatância a uma dada frequência de trabalho e a resistência série chama-se fator de mérito ou Q da bobina:

Note que a fase da impedância complexa de um indutor ideal é φ = pi/2, enquanto que para um indutor real é φ = tan-1QB.

Indutores com núcleo de ferro possuem uma resistência parasita em paralelo que representa as perdas por correntes de Foucault13 e por histerese. O efeito das correntes de Foucault depende pouco da frequência mas depende muito do material, sendo mínima em materiais de grãos sinterizados ou laminados. Já o efeito de histerese diminui com a frequência mas depende da corrente (e é portanto um efeito não linear).

6.2.1 Indutância interna de fios e indutâncias parasitas em circuitos

Para frequências acima de 1 MHz é frequentemente necessário levar em consideração a indutância parasita dos circuitos. Todo fio de seção circular possui uma indutância interna, L0 que a baixa frequência vale 50 nH/m vezes o comprimento do fio, independentemente do seu diâmetro, e diminui com a frequência devido ao efeito pelicular. A indutância interna de um objeto condutor é obtida utilizando a igualdade para a energia do campo magnético onde a integral é sobre o volume interno do objeto e H é o campo magnético produzido pela corrente i. No caso de um fio de seção circular, com a corrente uniformemente distribuída no seu volume e comprimento l, o resultado é

Se o fio for de metal magnético (ferro, aço, etc…) então a indutância interna poderá ser grande a baixas frequências, devido ao alto valor de µ.

A malha de todo circuito é em si mesma uma espira e portanto possui uma autoindutância. Esta indutância pode ser estimada assumindo uma espira circular14:

válida se o quociente entre o raio da espira e o raio do fio é r/a >> 1. Assim, por exemplo, uma espira sem núcleo (µ = µ0), de diâmetro 2r = 10 cm e feita de um fio de diâmetro 2a = 0.5 m tem uma indutância de uns 0.35 µH.

13 Na literatura inglesa as correntes de Foucault são denominadas eddy currents. 14 Veja por exemplo a seção. 6-18 do livro de Ramo e Whinnery (ref. 12).

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Resistores, capacitores e indutores reais33

6.3 Capacitores

Os capacitores são confeccionados geralmente com filmes de alumínio separados por filmes dielétricos (isolantes), e enrolados para fazer um pacote compacto. A resistividade do Al e a resistências das soldas (entre os filmes de Al e os fios de cobre que fazem os contatos externos) contribuem à resistência série, rs (Figura 6.1d). Quanto mais finas são as lâminas de Al, maior é a resistência série.

Valores típicos de rs estão entre 0.1 e 1 Ω. A resistência série é mais importante a altas frequências, já que a reatância XC = 1/ωC pode ser muito pequena.

Para baixas frequências a resistência série tem pouca ou nenhuma importância, mas agora a resistência paralelo, rp, entra no jogo (Figura 6.1c). O filme dielétrico é geralmente um plástico, mas pode ser um papel impregnado em óleo (capacitores para alta tensão) ou em solução de eletrólitos (capacitores de alto valor C, mas com polaridade). Os capacitores reais apresentam fugas de corrente pela superfície do isolante (no caso de isolantes plásticos) ou pelo volume (no caso de papel impregnado). A fuga total pode ser caracterizada por uma condutância g = 1/rp ou pela assim chamada tangente de perdas a uma dada frequência (geralmente 60 Hz):

tanδ = gXC = 1/ωrpC.[6.4]

Note que a fase da impedância complexa de um capacitor ideal é φ = -pi/2, enquanto que para um capacitor real é φ = - tan-1(1/tanδ) = -pi/2 + δ. Valores típicos são rp > 100 MΩ e δ < 10-3 rad @ 60 Hz.

Outro tipo de capacitor muito utilizado pelo seu baixo custo é o capacitor cerâmico, feitos de uma cerâmica de alta constante dielétrica na forma de disco. Estes capacitores são pouco indutivos mas a alta constante dielétrica é devida a que o material está perto de uma transição fase, pelo que a capacitância varia muito com a temperatura. São utilizados em alta frequência e alta tensão, mas não em circuitos de precisão. A constante dielétrica elevada implica também em alta condutividade, que resulta em tangentes de perdas altas a baixas frequências.

Finalmente, os capacitores apresentam sempre uma indutância parasita. Esta é preocupante apenas nos circuitos de alta frequência ou nos circuitos de pulsos de curta duração. A indutância de um capacitor de placas paralelas pode ser estimada como ls ≅ µ0ld/w,[6.5] onde d é a espessura do isolante e l e w são, respectivamente, o comprimento e a largura das placas.

Exercício 6.4: Estime a capacitância, C, a indutância, ls, e resistências série, rs, e paralelo, rp, de um capacitor de lâminas de alumínio (ρ = 2.8×10-6 Ωcm) de w = 2 cm de largura, t = 5 µm de espessura, l = 2 m de comprimento separadas por um filme plástico (ε = 30 pF/m, ρ = 1.2×1018 Ωcm) de espessura d = 10 µm. Note que a indutância parasita depende de se os contatos forem soldados às lâminas de Al pelos extremos ou pelos lados (após enrolado); calcule ls nos dois casos.

6.4 Ressonâncias espúrias

A indutância parasita não faz muito mal em circuitos ressonantes que já possuem uma indutância grande, mas pode ser terrível em circuitos que supostamente não deveriam ser ressonantes, como os filtros RC. Para ilustrar este fato, suponha um circuito cujos elementos são conectados por um fio de 0.5 m de diâmetro formando uma malha aproximadamente circular com 10 cm de diâmetro. Como comentamos na seção 6.2.1, esta “espira” tem uma indutância parasita de uns 0.35 µH. Suponha que o circuito é um filtro RC passa baixo com C = 1 µF, então haverá uma ressonância espúria em cerca de

12/()piLC≈270 kHz ou ainda menor se consideramos a indutância parasita interna ao capacitor.

Para diminuir a indutância parasita, deve-se diminuir a área da “espira”, utilizando fios curtos e grossos, e colocando eles bem perto um de outro, ou trançando-os. No exemplo da “espira” de 10 cm de

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34Circuitos de Corrente Alternada diâmetro, o comprimento total do fio (de 31.4 cm) pode ser disposto como um par de fios paralelos de comprimento l = 15.7 cm separados por, digamos, b = 3 m. Neste caso a indutância parasita será15

e a ressonância espúria ocorrerá em 390 kHz. Vemos que “esmagando” a espira diminuímos a indutância parasita e levamos o problema para frequências mais altas. Mas não ganhamos muito: as coisas continuam da mesma ordem de grandeza. Mesmo utilizando um cabo coaxial do mesmo comprimento, a indutância do cabo16 será da ordem de 250 nH/m×15.7cm = 40 nH, levando a ressonância espúria para uns 800 kHz.

Por mais cuidados que tenhamos, ressonâncias espúrias são inevitáveis. Afortunadamente, na maioria dos casos de interesse neste curso elas não são um grande problema porque geralmente temos um resistor em série que faz o Q da ressonância espúria ser << 1. Para ilustrar isto suponhamos que a resistência do circuito é R = 50 Ω, então no caso da espira com L = 0.35 µH e f0 = 270 kHz, temos QfLR=≈20pi/0.012, e no caso L = 40 nH e f0 = 800 kHz, temos Q = 0.004.

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