Geometria analitica - Produto misto

Geometria analitica - Produto misto

Produto Misto

O produto misto de três vetores u, v e w é o número real u . ( v x w) .

Notação: (u, v, w ) = u . ( v x w)

Exercícios

1. Mostre que se u = x1 i + y1j + z1k , v = x2 i + y2j + z2k e w = x3 i + y3j + z3k , então o produto misto desses vetores é dado pelo determinante:

( u, v, w).=

resolução:

v x w = = ( y2 z3 – z 2y3 ) i - ( x2 z3 – z2 x3 ) j + ( x2 y3 – y2 x3 ) k

u . ( v x w ) = ( x1 i + y1j + z1k ) . [ ( y2 z3 – z 2y3 ) i - ( x2 z3 – z2 x3 ) j + ( x2 y3 – y2 x3 ) k ]

u . ( v x w ) = x1 ( y2 z3 – z 2y3 ) - y1 ( x2 z3 – z2 x3 ) + z1 ( x2 y3 – y2 x3 )

u . ( v x w ) =

2. Calcular o produto misto dos vetores u ( 0,1,3), v ( 2,1,1) e w ( 4,0,3).

Propriedades do produto misto

1. ( u, v, w) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois são colineares, ou se três são coplanares.

Se um dos vetores é nulo ou se dois são colineares, então uma linha do determinante é nula, ou uma linha é múltipla da outra. Em ambos os casos, o determinante é igual a zero.

Se os três vetores são coplanares, então v x w é ortogonal a v e a w, logo v xw é ortogonal a todos os vetores do plano determinado por v e w , e , em particular, a u . Daí temos :

( u, v, w ) = u . ( v x w ) = 0.

v x w

w

u

v

2

u

. O produto misto independe da ordem circular dos vetores:

(

v .

w

u,v,w) = (v,w,u) = (w,u,v)

3. ( u,v,w) = - (v, u ,w)

4. u . (v x w) = ( u x v) . w

5. k (u, v, w ) = ( k u, v, w ) = ( u, v, k w ) , para todo escalar k .

Exercícios

1. Verifique se são coplanares:

a) os vetores u = ( 3, -1, 4), v = (1,0,-1) e w = ( 2, -1, 0).

b) os pontos A ( 1, 2, 4 ), B( -1, 0, -2 ), C( 0, 2, 2 ) e D ( -2, 1, -3 )

Observe : Os pontos A, B, C e D são coplanares os vetores AB, AC e AD são coplanares ( AB, AC, AD ) = 0

Interpretação geométrica do módulo do produto misto

v x w

h =

u

h

w

v

Seja V o volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores u, v e w.

V = área da base x altura = Ab x h =

O volume do paralelepípedo é igual ao módulo do produto misto: V=

Consideremos o tetraedro determinado pelos vetores u, v e w. Ele pode ser dividido em dois prismas triangulares de mesmo tamanho. Cada um dos prismas pode ser dividido em três pirâmides de mesmo volume.

Volume do tetraedro

V = 1/6

No paralelepípedo cabem 6 tetraedros de mesmo volume

u

w

v

Exercícios

  1. Dados os vetores u = ( x, 5, 0 0 , v ( 3, -2, 1 ) e w ( 1, 1, -1 ) , calcule x para que o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores seja igual a 24.

  1. Calcule o volume do tetraedro de vértices A ( 1, 2, 1 ), B ( 7, 4, 3 ) , C ( 4, 6, 2 ) e D ( 3, 3, 3 ).

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