Caldeiraria Matematica

Caldeiraria Matematica

(Parte 1 de 2)

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Departamento Regional do Espírito Santo 3

CPM - Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria Caldeiraria

Matemática Aplicada

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4 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Matemática Aplicada - Caldeiraria

© SENAI - ES, 1997

Trabalho realizado em parceria SENAI / CST (Companhia Siderúrgica de Tubarão)

Coordenação Geral

Supervisão

Elaboração Aprovação

Editoração

Luís Cláudio Magnago Andrade (SENAI) Marcos Drews Morgado Horta (CST)

Alberto Farias Gavini Filho (SENAI) Wenceslau de Oliveira (CST))

Carlos Roberto Sebastião(SENAI)

Silvino Valadares Neto (CST) Nelson de Brito Braga (CST)

Ricardo José da Silva (SENAI)

SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial DAE - Divisão de Assistência às Empresas Departamento Regional do Espírito Santo Av. Nossa Senhora da Penha, 2053 - Vitória - ES. CEP 29045-401 - Caixa Postal 683 Telefone: (027) 325-0255 Telefax: (027) 227-9017

CST - Companhia Siderúrgica de Tubarão AHD - Divisão de Desenvolvimento de Recursos Humanos AV. Brigadeiro Eduardo Gomes, s/n, Jardim Limoeiro - Serra - ES. CEP 29160-972 Telefone: (027) 348-1322 Telefax: (027) 348-1077

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Introdução à Geometria03
Ângulos1
Triângulos29
Congruência de triângulos47
Quadriláteros53
Polígonos Convexos67
Circunferência e Círculo75
Sistema Métrico Decimal - Medidas de Massas89
Medidas não decimais95
Produto Cartesiano101
Função do 1º grau1
Relações Métricas nos Triângulos Retângulos121
Razões trigonométricas137
Relações Métricas num Triângulo qualquer147
Relações métricas na Circunferência155
Polígonos Regulares167
Área de Polígonos177
Medida da circunferência e área do círculo183

Sumário Bibliografia ........................................................................... 193

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Introdução à Geometria

Ponto, Reta e Plano

• Ponto - letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C,
• Reta - letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c,
• Plano - letras gregas minúsculas: α, β, γ,

Representação:

αpontoA reta plano

Considerações importantes: a ) Numa reta há infinitos pontos.

r r b ) Num plano há infinitos pontos.

αα b ) Num plano existem infinitas retas.

r s

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Pontos Colineares

Os pontos pertencentes a uma mesma reta são chamados colineares.

Os pontos A, B e C são colineares Os pontos R, S e T não são colineares

Figura Geométrica

• Toda figura geométrica é um conjunto de pontos.

• Figura geométrica plana é uma figura em que todos os seus pontos estão num mesmo plano.

Exercícios 1) Quais são os elementos fundamentais da Geometria ?

2) Quantos pontos podemos marcar num plano ?

3) Quantas retas podemos traçar num plano ? 4) Por dois pontos distintos quantas retas podemos traçar ?

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5) Observe a figura e responda: M

R PN r s a) Quais dos pontos pertencem à reta r ? b) Quais dos pontos pertencem à reta s ? c) Quais dos pontos pertencem às retas r e s ?

6) Observe a figura e complete:

a) Os pontos A, F e _ são colineares. b) Os pontos E, F e _ são colineares. c) Os pontos C, _ e E são colineares. d) os pontos _, B e C são colineares.

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Posições relativas de duas Retas no Plano

Duas retas distintas contidas em um plano podem ser: a ) retas concorrentes: quando têm um único ponto comum.

A r a ) retas paralelas: quando não têm ponto comum.

Exercícios 1) Quais das afirmações abaixo são verdadeiras ? a) r e s são concorrentes b) r e t são concorrentes c) s e t são paralelas d) s e p são paralelas s t p r

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Semi-reta

Um ponto P qualquer de uma reta r divide esta reta em duas partes denominadas semi-retas de origem P.

P r semi-reta semi-reta

Para distinguir as semi-retas, vamos marcar os pontos A e B pertencentes a cada semi-reta.

BP A r

PA - semi-reta de origem P e que passa pelo ponto A. PB - semi-reta de origem P e que passa pelo ponto B.

Segmento

Um segmento de reta de extremidades A e B é o conjunto dos pontos que estão entre elas, incluindo as extremidades.

Indica-se o segmento AB por AB

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Segmentos Consecutivos

Dois segmentos de reta que têm uma extremidade comum são chamados consecutivos.

Exemplo: B

CA PQ R AB e BC são consecutivos PQ e QR são consecutivos

Segmentos Colineares

Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.

Exemplo:

ABCDPQR AB e CD são colineares PQ e QR são colineares (e consecutivos)

Segmentos Congruentes

Dois segmentos de reta são congruentes quando possuem medidas iguais.

Indicação: AB ≅ CD

Significa: AB é congruente a CD

AB4 cm CD4 cm

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Ponto médio de um segmento

Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento AB se M está entre A e B e AB ≅ CD.

Exercícios

1) Observe a figura abaixo e escreva se os segmentos são consecutivos, colineares ou adjacentes (consecutivos e colineares):

a) AB e BC= b) AB e DE= c) BC e CD= d) CD e DE= e) AB e EF= f) DE e EF= g) EF e FG= h) AB e FG=

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2) Observe a figura e responda: A a) Qual a medida do segmento EG ? b) Qual a medida do segmento AB ? c) Qual a medida do segmento CD ?

2) Na figura abaixo, M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC. Se AB mede 6cm e BC mede 4cm.

a) Qual é a medida de AM ? b) Qual é a medida de BN ? c) Qual é a medida de MN ? d) Qual é a medida de AN ?

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Ângulos

Definição

Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não-colineares.

Na figura:

• O é o vértice.

• OA e OB são os lados AB

Ovértice lado lado

Indicação do ângulo: AÔB, ou BÔA ou simplesmente Ô.

Pontos internos e Pontos externos a um Ângulo Seja o ângulo AÔB

• Os pontos C, D e E são alguns dos pontos internos ao ângulo AÔB.

• Os pontos F, G, H e I são alguns dos pontos externos ao ângulo AÔB.

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Medida de uma ângulo

Um ângulo pode ser medido de um instrumento chamado transferidor e que tem do grau como unidade. O ângulo AÔB da figura mede 40 graus.

Indicação: m (AÔB) = 40º

A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segunda.

1 grau tem 60 minutos (indicação: 1º = 60’) 1 minuto tem 60 segundos (indicação: 1’ = 60”)

Simbolicamente: • Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40’

• Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é indicado por 12º 20’ 45”.

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Exercícios

1) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo transferidor:

a) m (AÔB) = b) m (AÔB) = c) m (AÔB) = d) m (AÔB) = a) m (AÔB) = b) m (AÔB) = c) m (AÔB) = d) m (AÔB) =

Operações com medidas de ângulos

Adição 1) Observe os exemplos:

17º 15’ 10”
47º 35’ 50”

17º 15’ 10” + 30º 20’ 40” + 30º 20’ 40” 2)

13º 40’
43º 85’
+1º 25’

13º 40’ + 30º 45’ + 30º 45’ 44º 25’

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Exercícios 1) Calcule as somas:

a) 49º + 65º = b) 12º 25’ + 40º 13’ = c) 28º 12’ + 52º 40’ = d) 25º 40’ + 16º 50’ = e) 23º 35’ + 12º 45’ = f) 35º 10’ 50” + 10º 25’ 20” = g) 31º 45’ 50” + 13º 20’ 40” = h) 3º 24’ 9” + 37º 20’ 40” =

58º 40’ - 17º 10’
58º 40’
41º 30’

Subtração Observe os exemplos: 1) - 17º 10’

80º - 42º 30’
79º 60’
37º 30’

2) - 42º 30’

Exercícios 1) Calcule as diferenças:

a) 42º - 17º = b) 48º 50’ = 27º 10’ = c) 12º 35’ - 13º 15’ = d) 30º - 18º 10’ = a) 90º - 54º 20’ = b) 120º - 50º 20’ = c) 52º 30’ = 20º 50’ = d) 39º 1’ - 10º 15’ =

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17º 15’ x 2
17º 15’
x2
34º 30’

Multiplicação de um ângulo por um número Observe os exemplos: 1)

24º 20’ x 3
24º 20’
x 3
72º 60’
73º
Nota: “Não há multiplicação entre ângulos.”90º x 90º = ?

Exercícios 1) Calcule os produtos:

a) 25º 10’ x 3 = b) 44º 20’ x 2 = c) 35º 10’ x 4 = d) 16º 20’ x 3 = a) 28º 30’ x 2 = b) 12º 40’ x 3 = c) 15º 30’ x 3 = d) 14º 20’ x 5 =

Divisão de um ângulo por um número Observe os exemplos:

36º 30’ ÷ 3
36º 30’ 3
0 0 12º 10’
39º 20’ 4
3º 180’ 9º 50’
200’
0

39º 20’ ÷ 4 Nota: “Não há divisão entre ângulos.” 90º ÷ 20º = ?

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Exercícios 1) Calcule os quocientes:

a) 48º 20’ ÷ 4 = b) 45º 30’ ÷ 3 = c) 75º 50’ ÷ 5 = a) 55º ÷ 2 = b) 90º ÷ 4 = c) 22º 40’ ÷ 5 = a) 23 de 45º = b) 57 de 84º = a) 34 de 48º 20’ = b) 32 de 15º 20’ =

Ângulos Congruentes Dois ângulos são Congruentes se as suas medidas são iguais.

Indicação: AÔB ≅ (significa: AÔB é congruente a CÔD)

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Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

Se AÔM ≅ MÔB, então OM é bissetriz de AÔB.

Exercícios

1) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OM é bissetriz do ângulo dado.

M4X + 5º 37º b)

M 3X X + 20º

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2) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OC é bissetriz do ângulo dado.

M3X 5X - 20º b)

Ângulos Reto, Agudo e Obtuso

Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas medidas:

• Ângulo reto é aquele cuja medida é 90º.

• Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90º.

• Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90º.

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Retas Perpendiculares

Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares.

Indicação: r ⊥ s Significa: r perpendicular a s.

Ângulos Complementares

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC) A

CO Exemplos:

• 65º e 25º são ângulos complementares, porque 65º + 25º = 90º

• 40º e 50º são ângulos complementares, porque 40º + 50º = 90º

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24 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Exercícios:

1) Resolva as equações abaixo, onde a incógnita x é um ângulo (medido em graus):

a) 2x = 90º b) 4x + 10º = 90º c) 5x - 20º = 1º + 2x d) x = 2 (90º - x) e) 4 (x + 3º) = 20º f) (3x - 20º) + 50º = 90º g) 3 (x + 1º) = 2 (x + 7º) h) 2x + 2 (x + 1º) = 4º + 3 (x + 2º)

2) Observe o exemplo abaixo e resolva as seguintes questões:

• Calcular a medida de um ângulo cuja medida é igual ao dobro do seu complemento.

Solução: Medida do ângulo = x Medida do complemento do ângulo = 90º - x x = 2 ( 90º - x )

Resolvendo a equação: x x x + 2x 3x x

= 2 (90º - x) = 180º - 2x

= 180º

= 180º

= 60º

Resposta: 60º a) A medida de um ângulo é igual à medida de seu complemento. Quanto mede esse ângulo ? b) A medida de um é a metade da medida do seu complemento. Calcule a medida desse ângulo.

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Departamento Regional do Espírito Santo 25 c) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento.

d) A diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu complemento é 45º. Calcule a medida desse ângulo.

e) A terça partes do complemento de um ângulo mede 20º. Qual a medida do ângulo ? f) Dois ângulos complementares têm suas medidas expressas em graus por 3x + 25º e 4x - 5º. Quanto medem esses ângulos ?

Ângulos Suplementares

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

m (AÔB) + m (BÔC) = 180º

Exemplos: • 50º e 130º são ângulos suplementares, porque 50º + 130º = 180º

• 125º e 55º são ângulos suplementares, porque 125º + 55º = 180º

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26 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Exercícios:

1) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares: a)

2x - 40º 3x - 10º

2) Calcule x: a)

2x 5x - 4º3x

2x - 2º

3) A quarta parte da medida de um ângulo mede 30º. Calcule a medida do seu suplemento.

4) A medida de um ângulo é igual à medida de seu suplemento. Calcule esse ângulo.

5) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento.

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6) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.

7) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do suplemento desse ângulo é 250º

8) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a 23 do seu suplemento.

9) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é 110º. Quanto mede o ângulo ?

Ângulos opostos pelo vértice

Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois, opostos pelo vértice.

Na figura: • â e ∃c são opostos pelo vértice.

• ∃m e ∃n são opostos pelo vértice.

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28 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Teorema Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Prova: Sejam os ângulos a e b opostos pelo vértice.

( 1 ) m (∃a) + m (∃c) = 180º

( 2 ) m (∃b) + m (∃c) = 180º

Comparando ( 1 ) e ( 2 ) :

m (∃a)= m (∃b)

Se ∃a e ∃b têm a mesma medida, eles são congruentes.

Exercícios: 1) Se x = 50º, determine y, m e n:

n yx

2) Calcule os ângulos x, y, z e w da figura:

yx w 18º

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Departamento Regional do Espírito Santo 29

3) Calcule os ângulos x, y e z das figuras: y x 80º 60º 130ºy z x

4) Observe o exemplo abaixo e determine o valor de x nas seguintes questões:

5x - 70º2x + 20º

Solução: 5x - 70º 5x - 2x 3x x

= 2x + 20º = 20º + 70º

= 90º

= 30º b)

3x + 10º x + 50º

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30 Companhia Siderúrgica de Tubarão c)

+ 1º+ 6º d)

Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal

Duas retas r e s, interceptadas pela transversal t, formam oito ângulos.

t r

Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B são assim denominados:

• Colaterais internos: ∃∃,∃∃4536ee

• Colaterais externos: ∃∃,∃∃1827ee

• Alternos internos: ∃∃,∃∃4635ee

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Departamento Regional do Espírito Santo 31

Propriedades Considere duas retas paralelas e uma transversal.

Medindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir que são válidas as seguintes propriedades:

• Os ângulos correspondentes são congruentes.

• Os ângulos alternos externos são congruentes.

• Os ângulos alternos internos são congruentes.

• Os ângulos colaterais externos são suplementares.

• Os ângulos colaterais internos são suplementares.

Exercícios a)

2x 3x - 20º

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32 Companhia Siderúrgica de Tubarão b) t

3x - 15º x - 55º c) r t 2x

3x - 50º

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Departamento Regional do Espírito Santo 3

Triângulos

Conceito Triângulo é um polígono de três lados.

Na figura acima: • Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.

• Os segmentos AB, BC e CA são os lados do triângulo.

• Os ângulos ∃A, ∃B e ∃C são ângulos internos do triângulos.

Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por ∆ ABC.

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34 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Ângulo Externo Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno.

C B m

Na figura acima ∃m é um ângulo externo.

Perímetro

O perímetro de um triângulo é igual à soma das medidas dos seus lados.

Perímetro ∆ ABC = AB + AC + BC

Classificação dos Triângulos Quanto aos lados os triângulos se classificam em:

• Equilátero quando tem os três lados congruentes.

• Isósceles quando tem dois lados congruentes.

• Escaleno quando não tem lados congruentes.

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Departamento Regional do Espírito Santo 35

Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em: • Acutângulo quando tem três ângulos agudos

• Retângulo quando tem um ângulo reto.

• Obtusângulo quando tem um ângulo obtuso.

ACUTÂNGULO RETÂNGULO OBTUSÂNGULO

Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa.

B C HipotenusaCateto

Cateto

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36 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Exercícios:

1) Determine o comprimento do lado BC, sabendo-se que o perímetro do ∆ ABC é 48cm.

CBx2 x 15

2) O perímetro do triângulo é 34 cm. Determine o comprimento do menor lado.

x + 3

3) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos ângulos:

80º 60º 40º 35º45º

100º A

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Departamento Regional do Espírito Santo 37

4) Observe a figura e responda: A a) Que nome recebe o lado BC ? b) Que nome recebem os lados AB e AC ?

5) Que nome recebe o maior lado de um triângulo retângulo ?

Condição de existência de um Triângulo

Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados.

Exemplo: Seja o triângulo: A

2 cm 4 cm

3 cm

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38 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das medidas dos outros dois.

Assim: 2 < 3 + 4 ou 2 < 7 2 < 3 + 4 ou 2 < 7 2 < 3 + 4 ou 2 < 7

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