Notas de Aula - Eletromagnetismo II - Atualização 20/04/2008

Notas de Aula - Eletromagnetismo II - Atualização 20/04/2008

(Parte 1 de 9)

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Eletromagnetismo I - Notas de Aula

Curitiba, Pr 2008

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Capítulo 1 O Campo Magnético Estacionário

Em 1823, Ampère sugeriu que o magnetismo natural era devido a pequenas correntes fechadas no interior da matéria. Atualmente, identificamos essas pequenas correntes com o movimento dos elétrons no interior dos átomos. Um elétron que gira ao redor do núcleo equivale a uma corrente que produz os mesmos efeitos magnéticos que um pequeno imã. Por outro lado, os elétrons giram sobre si mesmos produzindo efeitos magnéticos adicionais.

Resumindo: a corrente que passa por um condutor produz um campo magnético a sua volta.

Estudaremos aqui, a lei de relação entre a corrente que passa por um condutor (causa) e o campo magnético criado (efeito). O campo magnético ~H pode ser originado de duas maneiras:

a. Por corrente elétrica; b. Por imã permanente (polo magnético). Podemos imaginar que em qualquer material existem muitos imãs de tamanho atômico. Na maioria dos casos, nestes pequenos imãs os dipolos magnéticos estão orientados ao acaso e seus efeitos se cancelam. Entretanto, em certas substâncias, estes dipolos magnéticos estão orientados no mesmo sentido. Neste caso, os efeitos de cada dipolo magnético se somam, formando um imã natural.

Lei de Biot Savart

Até aqui nos preocupamos em tentar descrever as forças sobre as cargas e correntes que são postas em campos magnéticos produzidos externamente. Ao fazer isto, não consideramos que tipo de campo magnético é produzido por correntes ou pelas próprias cargas em movimento e assim, ainda não abordamos o problema de descrever e explicar os resultados das experiências de Oersted, o qual será discutido a seguir.

Vamos ver, então, como se origina campo magnético através da corrente elétrica. O campo magnético ~H é um vetor, isto é, possui módulo, direção e sentido.

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Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Figura 1.1:

Durante o século XVIII muitos cientistas tentaram encontrar uma conexão entre a eletricidade e o magnetismo. Observaram que cargas elétricas estacionárias e imãs não provocavam qualquer influência um no outro. Mas em 1820, Hans Christian Oersted (1777-1851) mostrou que uma bússola sofria deflexão quando era colocada perto de um fio percorrido por uma corrente. Por outro lado era conhecido que campos magnéticos produzem deflexão em bússola, o que levou Oersted a concluir que correntes elétricas induzem campos magnéticos. Com isto ele havia encontrado, então, uma conexão entre eletricidade e o magnetismo. Ele observou também, que os campos magnéticos produzidos por correntes elétricas, em um fio retilíneo, tinham a forma de círculos concêntricos como mostra a figura 1.1(a). O sentido destas linhas é indicado pelo norte da bússola. Uma outra forma de se determinar o sentido das linhas de B é usar a regra da mão direita, a qual é mostrada esquematicamente na figura 1.1(b). No estudo da eletrostática, observamos que a lei de Coulomb, descrevendo o campo elétrico de cargas puntiformes foi simplesmente o modo pelo qual as observações experimentais relativas à forças eletrostáticas em corpos carregados poderiam ser melhor resumidas. A situação é a mesma em relação a campos magnéticos produzidos por correntes estacionárias. Não há meio de se deduzir uma expressão para estes campos; tudo o que podemos fazer é observar as forças magnéticas criadas por correntes reais experimentalmente e então tentar achar uma expressão matemática para o campo magnético que esteja de acordo com os resultados de todas as observações. Foi justamente desta maneira que a lei de Biot-Savart, a qual dá o campo magnético criado pelo fluxo de corrente em um condutor, foi descoberta. A lei de Biot-Savart diz-nos que o elemento de indução magnética d~H associado a uma corrente I em um segmento de um fio condutor descrito por d~L é:

dirigido em uma direção perpendicular ao d~L e ao vetor posição ~R do segmento do condutor ao ponto P, no qual o campo está sendo medido; diretamente proporcional ao comprimento d~L do segmento e à corrente I que ele carrega; inversamente proporcional em módulo ao quadrado da distância R entre o elemento de corrente e o ponto P.

proporcional ao seno do ângulo θ entre os vetores d~L e R. A lei de Biot-Savart pode, então, ser expressa pela equação:

A figura 1.2 revela a geometria do problema clássico geral: a intensidade de campo magnético no ponto 2, d~H2, produzida por um elemento diferencial de corente localizada no ponto 1, I1d~L1. A direção de d ~H2 é para dentro desta página.

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Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Figura 1.2: Na forma integral, a lei de Biot-Savart é dada por:

nesta, deve-se levar em conta que a corrente total que atravessa qualquer superfície fechada é nula; esta corrente fluindo em torno de um caminho fechado é a fonte de campo magnético que deve ser considerada. Relembrando: este resultado é consequência direta da equação da continuidade:

(não varia no tempo).

Esta lei é ferramenta básica para cálculo de campo magnético criado num ponto, devido a uma distribuição de corrente. Mas é válida somente em meios uniformes (com mesma permeabilidade magnética). A intensidade do campo magnético ~H tem, no SI, unidades de ampères por metro (A/m)

Exemplo 1: Campo magnético devido a um condutor longo retilíneo. Determine o campo magnético ~H num ponto P distante r metros de um condutor infinitamente longo, percorrido por uma corrente de I ampères. A seguir, calcule o campo a uma distância de 10 cm do condutor quando ele for percorrido por uma corrente de 0,1 A.

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Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Dois condutores paralelos

Como já foi visto, correntes geram campos magnéticos e, veremos que fluxos magnéticos exercem forças sobre cargas em movimento. Então dois condutores paralelos, com corrente experimentam uma dada forca de atração ou repulsão, segundo os sentidos das correntes.

Dois condutores paralelos conduzindo correntes no mesmo sentido. Pela regra da mão direita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se subtraem no espaço situado entre os condutores, e se soma fora dos condutores.

Dois condutores paralelos conduzindo correntes em sentidos opostos. Pela regra da mão direita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se somam no espaço situado entre os condutores, e se subtrai fora dos condutores.

Considerando que não existam materiais ferromagnéticos nas proximidades, pode-se calcular o campo somando vetorialmente os campos criados por cada corrente.

Exemplo 2: Dois fios retilíneos paralelos estão afastados de d = 40 cm, e são percorridos por correntes I1 = 100 A e I2 = 60 A, em sentidos opostos. Encontrar a distância x de um ponto P ao primeiro condutor, onde o campo magnético total seja nulo.

Exemplo 3: Uma espira circular, de raio r, é percorrida pela corrente I. Obter a equação do campo magnético no centro da mesma.

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Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Exemplo 4: Campo magnético de uma espira circular. Neste exemplo, calcularemos o valor do campo magnético em um ponto genérico P, situado no eixo de uma espira circular percorrida por uma corrente constante I, conforme esquema da figura abaixo.

Exemplo 5: As bobinas de Helmholtz são duas bobinas circulares coaxiais, onde seus raios R são iguais à distância d entre elas, isto é: R = d. Elas são muito conhecidas pelo fato de que o campo magnético é uniforme ao longo do seu eixo. Calcule a amplitude do campo ao longo do eixo das bobinas.

Sugestão de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 8, Seção 8.1. Resolver os exercícios E8.1 e E8.2, página 136.

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Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Lei circuital de Ampère

A lei de Ampère, que é uma das leis mais importantes do eletromagnetismo, é a conhecida regra da mão direita, expressa de uma forma matemática vetorial: a lei circuital de Ampère. Oersted descobriu que uma corrente elétrica produz um campo magnético, e que para o caso de um fio retilíneo, as linhas de campo são círculos em planos perpendiculares ao fio. O sentido do campo é dado pela regra da mão direita: com o polegar no sentido da corrente, os outros dedos dobrados apontam no sentido de ~H. A intensidade é dada pela distribuição de campo e fluxo magnético no sistema. Assim, a circulação do vetor ~H, em um percurso fechado, é igual à soma algébrica das correntes nela dadas pelo percurso:

Com esta expressão matemática, a relação campo ~H e corrente é dada por uma integral de linha, que é calculada através de uma curva fechada chamada curva amperiana. A corrente I é a corrente líquida englobada pela curva e onde d~L é o caminho de integração, que escolhemos ao redor do fio.

Cabe salientar que fora das leis de Biot-Savart ou Ampère não há nenhum meio analítico de determinar o campo ~H em função de ~J. Somente os métodos numéricos, relativamente modernos, podem determinar ~H em um bom número de casos, sem que tenhamos ainda meios de solucionar todos os problemas existentes.

Exemplo 6: Campo magnético de um solenóide. Forma-se um campo magnético ao redor de uma bobina de fio de cobre, chamada solenóide, cujo comprimento é muito maior do que o seu raio, e consideraremos o solenóide infinito. Usando argumentos de simetria, mostre que os campos entre os fios e na parte externa do solenóide são nulos e que, no interior do solenóide o campo tem o sentido indicado pela regra da mão direita.

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Eletromagnetismo I - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Exemplo 7: Campo de um toróide. No interior do toróide da figura abaixo, aplique a lei de Ampère, resolva a integral na linha amperiana circular de raio r e Calcule H.

Exemplo 8: Campo magnético dentro de um fio. Consideremos o fio condutor como um cilindro infinito, de raio R, transportando uma corrente I0, com densidade uniforme. Calcule o campo no interior do fio.

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