(Parte 3 de 11)

ax = a . cosθ ay = a . senθ

Ou de maneira inversa:

xya a =θtan ay θ

axx

Uma maneira de representar vetores é através de suas componentes num dado sistema de coordenadas, como foi antecipado na figura anterior. Desse modo:

onde jei são vetores unitários (ou versores) que apontam nas direções dos eixos x e y respectivamente e têm módulos iguais a um.

A soma de dois vetores será então definida como:

() () yx yx yx bajbaic bjbib e ajaia ondebac +++=⇒ yx bac e bac ondecjcic !

Multiplicação de vetores

As operações com vetores são utilizadas de maneira muito ampla na Física, para expressar as relações que existem entre as diversas grandezas.

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Multiplicação de um vetor por um escalar

Sejam dois vetores a! e b! e um escalar k. Defi- nimos a multiplicação mencionada como:

O vetor ak! tem a mesma direção do vetor a! . Terá mesmo sentido se k for positivo e sentido contrário se k for negativo.

a! ak

Define-se o produto escalar de dois vetores a!

Produto escalar e b! como a operação:

onde ϕ é o ângulo formado pelos dois vetores.

Podemos dizer que o produto escalar de dois vetores é igual ao módulo do primeiro vezes a componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro, ou vice-versa. Isso pode-se resumir na propriedade :

Uma aplicação do produto escalar é a definição de trabalho W executado por uma força constante que atua ao longo de um percurso d:

Usando o conceito de vetor unitário encontramos que:

e de modo equivalente:

ij y
x

Podemos utilizar a decomposição de um vetor segundo as suas componentes cartesianas e definir o produto escalar:

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Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 5 e portanto:

zyx babababa ++=⋅ !!

Fica fácil perceber que:

Como ϕcosbaba=⋅ !! , temos que

.cos=ϕ , e assim poderemos calcular o ângulo entre os dois vetores, em função de suas componentes cartesianas:

zyxzyx zyx ba

Define-se o produto vetorial de dois vetores a!

Produto vetorial e b! como a operação:

e módulo c é definido como: ϕsenbac = onde c! é um vetor perpendicular ao plano defino pe- los vetores a! e b! e ϕ é o ângulo formado por esses dois últimos dois vetores.

Uma aplicação do produto vetorial é a definição da força F! que atua em uma car- ga elétrica q que penetra com velocidade v! numa região que existe um campo magnéti- co B! :

ou ainda: F = q v B senϕ

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Usando a definição de produto vetorial, encon-

Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 6 tramos que:

z
ij y
x

kˆ De modo genérico, podemos definir o produto vetorial como:

e usando os resultados dos produtos vetoriais entre os vetores unitários, encontramos que:

Usando as propriedades de matrizes, encontramos que o produto vetorial pode ser expresso como o determinante da matriz definida a seguir:

zyx zyx b a kji bac

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Solução de alguns problemas

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

02Quais são as propriedades dos vetores a! e b! tais que:

Para que c = a + b é necessário que θ = 0 pois c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2

Portanto ba !!

Da equação acima, temos que:

Como para que c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 devemos ter

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

O vetor a! tem módulo de 3 unidades e está dirigido para Leste. O vetor b! está diri- gido para 350 a Oeste do Norte e tem módulo 4 unidades. Construa os diagramas vetoriais para a! + b! e b! - a! . Estime o módulo e a orientação dos vetores a! + b! e a! - b! a partir desse diagramas.

(Parte 3 de 11)

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