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dt vda t vLim

Q

e em coordenadas cartesianas:

t vk t jt via ztytxt LimLimLim ∆ dv k dv j dt

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Movimento num plano com aceleração constante

Vamos considerar que a partícula se mova no plano x-y com aceleração constante. Para um movimento nesse plano teremos:

yx ajaia vjviv yjxir e considerando que a aceleração é constante teremos as equações para o movimento segundo o eixo x:

e as equações para o movimento segundo o eixo y :

As equações anteriores podem ser sintetizadas nas formas vetoriais:

Movimento de projéteis

O movimento dos projéteis é uma situação onde uma partícula se move num plano, com movimento de aceleração constante em uma direção e movimento de velocidade constante em outra direção.

Vamos considerar que ax = 0 e que ay = - g , e desse modo, as equações para esse movimento serão para o eixo x:

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 5 e para o eixo y:

Considerando x0 = yo = 0 , na equação (1), temos xv xt 0 usando esse resultado na equação (2), temos: 2 xxy v xgv xvy ou seja gx v v y

A equação anterior é do tipo: y = b x - c x2

Se completarmos os quadrados na equação anterior, teremos:

c bxcc

Essa é a equação de uma parábola com a concavidade voltada para baixo, e tem como coordenadas do ponto de altura máxima:

c by bxMM 4

Considerando que:

v y encontramos que:

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 6 g vy vxMM 2 sen

Como a parábola é uma curva simétrica, a distância percorrida ao longo do eixo x , também conhecida como alcance R tem o valor R = 2 xM , ou seja:

com a mesma velocidade inicial e para ângulos de 300 , 450 e 600 .

Da trigonometria, podemos encontrar que quando dois ângulos diferentes têm o mesmo seno, a soma desses ângulos deve ser igual a 1800 , ou seja:

ou seja, dois lançamentos cujos ângulo somam 900 têm o mesmo alcance, como mostra a figura anterior para os ângulos 300 e 600 . Podemos mostrar, então, que o alcance máximo é obtido quando o ângulo de lançamento vale 450 , como mostra a terceira curva da figura anterior.

Uma análise mais realista do movimento dos projéteis deverá levar em conta o seu atrito com o ar. Essa força de atrito é considerada como uma função da velocidade. Num caso mais simples, se a força de atrito for considerada proporcional à velocidade de deslocamento, nós podemos avaliar os seus efeitos no movimento dos projéteis no gráfico a seguir.

Lançamento em vários ângulos

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 7 para os mesmos ângulos e velocidades iniciais da figura anterior.

Tiro de gran alcance

Al final de la primera guerra mundial (1918), cuando los éxitos de la aviación francesa e inglesa dieron fin a las incursiones aéreas enemigas, la artillería alemana puso en práctica, por primera vez en la historia, el bombardeo de ciudades enemigas situadas a más de cien kilómetros de distancia. El estado mayor alemán decidió emplear este nuevo procedimiento para batir la capital francesa, la cual se encontraba a más de 110 km del frente. Hasta entonces nadie había probado este procedimiento. Los propios artilleros alemanes lo descubrieron casualmente. Ocurrió esto al disparar un cañón de gran calibre con un gran ángulo de elevación. Inesperadamente, sus proyectiles alcanzaron 40 km, en lugar de los 20 calculados. Resultó, que estos proyectiles, al ser disparados hacia arriba con mucha inclinación y gran velocidad inicial, alcanzaron las altas capas de la atmósfera, en las cuales, debido al enrarecimiento, la resistencia del aire es insignificante. En este medio poco resistente es donde el proyectil recorrió la mayor parte de su trayectoria, después de lo cual cayó casi verticalmente a tierra.

La figura muestra claramente la gran variación que experimentan las trayectorias de los proyectiles al cambiar el ángulo de elevación. Esta observación sirvió de base a los alemanes para proyectar un cañón de gran alcance, para bombardear París desde una distancia de 115 km. Este cañón terminó de fabricarse con éxito, y durante el verano de 1918 lanzó sobre París más de trescientos proyectiles. He aquí lo que después se supo de este cañón. Consistía en un enorme tubo de acero de 34 m de largo y un metro de grueso. El espesor de las paredes de la recámara era de 40 cm. Pesa ba en total 750 t. Sus proyectiles tenían un metro de largo y 21 cm de grueso, y pesaban 120 kg. Su carga requería 150 kg de pólvora y desarrollaba una presión de 5 0 atmósferas, la cual disparaba el proyectil con una velocidad inicial de 2 0 m/seg. El fuego se hacía con un ángulo de elevación de 52' y el proyectil describía un enorme arco, cuyo vértice o punto culminante se encontraba a 40 km de altura sobre la tierra, es decir, bien entrado en la estratosfera. Este proyectil tardaba en recorrer los 115 km, que mediaban entre el emplazamiento del cañón y París, 3,5 minutos, de los cuales, 2 minutos volaba por la estratosfera. Estas eran las características del primer cañón de ultralargo alcance, antecesor de la moderna artillería de este género.

Lançamento de projéteis considerando o atrito

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Cuando mayor sea la velocidad inicial de la bala (o del proyectil), tanto mayor será la resistencia del aire. El aumento de esta resistencia no es proporcional al de la velocidad, sino más rápido, es decir, proporcional al cuadrado, al cubo y a potencias aún mayores del aumento de la velocidad, según el valor que ésta alcance.

Física Recreativa - Yakov Perelman

Movimento circular e uniforme

Se um corpo está se movimentando em círculos com velocidade constante em mó- dulo, ele necessariamente estará sob a ação de uma força. Essa força F! pode ter as mais diversas origens: gravitacional, elétrica, magnética, e etc. Mas algumas grandezas ligadas a esse movimento estão relacionadas do seguinte modo:

onde m é a massa do corpo, R é o raio da órbita e v é a sua velocidade. A velocidade pode ser definida como:

onde T é o período, f é a frequência, e w é a frequência angular. A unidade de T é segundo, a unidade de f é 1/segundo = Hertz, e a unidade de w é radiano/segundo. Desse modo, a frequência angular tem como unidade natural o radiano/segundo, mas pode ser expressa em rotações/minuto:

Por exemplo, qual deve ser a velocidade angular, em rotações por minuto, que um corpo deve girar para que a sua aceleração seja 50 vezes a aceleração da gravidade? gR vgmR mas, como vimos anteriormente v = wR, logo:

e finalizando:

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 9 onde g = 9,8 m/s2 e R é o raio da órbita do corpo, ou o raio de centrifugação.

Para deduzir a equação da aceleração usada inicialmente, vamos considerar que num dado instante o corpo está no ponto P com velocidade v! e que um intervalo de tempo ∆t posterior esteja no ponto Q com velocidade seja v! , de modo que essas duas velocidades tenham o mesmo módulo v .

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