Solução lista 2 econometria I

Solução lista 2 econometria I

Universidade de Sao Paulo - Departamento de Economia

EAE 0324 - Econometria I Prof. Dr. Ricardo Avelino 1o Semestre de 2008

Lista de Exercıcios 2 - Solucao

Questao 1 a. Lembre-se que uma das mais importantes caracterısticas de uma funcao densidade de probabilidade eq ue suai ntegral ei gual a1eq ue tambem o valor de uma funcao de densidade f(x)e a probabilidade de que x aconteca, assim a soma de todas as probabilidades (que se torna uma integral se o conjunto sob oq ual integramos e denso) deve ser igual a um. Fique atento, pois voced eve saber o conjunto preciso no qual a variavel aleatoria ed efinido. Na maioria dos casos em IR ou IR+.

Entao em nosso caso usamos a condicao necessaria:R Ω f(x)dx =1

Ω e o suporte da f.d.p., em outras palavras eoc onjutod et odos os possıveis valores da variavel aleatoria associada com f .E m nosso caso e IR. Como podemos ver f e zero em qualquer lugar, menos no intervalo [1,3]. Em consequencia dividimos a integral em duas partes [1,3] e o resto IR/[1,3] (isto ea penasu ma notacao para o complemento de [1,3] em IR). En os obtemos:R

Finalmente, como R Ω f(x)dx =1= c20 obtemos que b. Como jad ito f(x)e a probabilidade de que a v.a. X assumaoe xato valor x. Entao, se queremos a probabilidade de que a v.a. X esteja no conjunto [1,2] temos que apenas somar (integrar neste caso) a probabilidade de que cada valor em [1,2] (neste caso representado por f(x)). Assim,

Agora apenas devemos calcular a integral usando nosso resultado na questaoa, R

Questao 2

Nos temos 30 motoristas selecionados aleatoriamente. Nos queremos a probabilidade de que no maximo um motorista nao esteja devidamente segurado, em outras palavras, devemos ter 29 motoristas devidamente segurados. Seja a v.a.

Xi para o motorista i. Xi = 1 para um agente devidamente segurado e 0, caso contrario. Pela definicao a probabilidade de que Xi =0 e0 .05. Ranqueie arbritariamente os motoristas de i=1 ate 30. Calculemos a prob- abilidade pedida: temos dois subcasos que sao particoes, ou todos os agentes sao devidamente segurados ou somente um agente nao e devidamente segurado. Entao, a probabilidade total e

Como os motoristas sao selecionados aleatoriamente as probabilidades associadas a eles sao independentes e consequentemente:

P(X1 =1 ,...,X30 =1 ) = P(X1 =1 ) ∗ P(X3 =1 ) ∗∗ P(X30 =1 )

Entao,

Para a segunda parte, para varrer todos os casos devemos ter que cada agente pode ser aquele que nao foi coberto. Como o problema es imetrico temos

a mesma probabilidade em cada caso. Por exemplo P(X1 =0 ,X2 =1,X30 =

de que nao mais de que um motorista nao e devidamente segurado e

Questao 3 a. Confirma-se a versao generalizada da propriedade usada na questao 1

c. Quando temos a f.d.p. conjunta para um conjunto de variaveis, para deduzir a distribuicao marginal de uma delas devemos ter que integrar todas as outras.

Temos, neste caso, somente duas variaveis, entao a distribuicao marginal de X tem a seguinte f.d.p.:

d. Podemos entao calcular sua esperanca

e. Sabemos que a relacao fundamental de probabilidades condicional:

Como ja calculamos o numerador na questao b, devemos apenas calcular o denominador. Da questao (c.) temos a distribuicao marginal de X e con- sequentemente podemos deduzir P(x ≤ .5) = R

E encontramos que

e. Esta eu ma questao classica, dada a f.d.p. de uma distribuicao conjunta vocee inquirido a responder se eles sao independentes. Had oism etodos para resolver a questao. O mais geral ev er se

Onde f(,)e a f.d.p. conjunta e fX (resp fY )e a f.d.p. marginal de X que nao depende de y (respectivamente a f.d.p. marginal de Y nao depende de x).

Podemos entao calcular:

Ei mpossıvel eliminar a variavel x da formula e em consequencia as variaveis nao podem ser independentes

Oo utro metodo e menos geral, mas em aisp roximo do espırito da questao.

oq ue nao eoc aso e ntao, as duas variaveis nao sao independentes.

Questao 4 a. Esta questao eutil para os casos onde vocet em quem udar as unidadesd e medida ou reescalar algumas variaveis na regressao, evitando refazer a regressao novamente.

Por definicao, regredindo y em x produz uma inclinacao β1 eu m intercepto β0 tal que:

Suponha que ao inves de regredir c1yi em c2xi, apenaso s coloquemosn as formulas acima, entao teremos os seguintes intercepto e inclinacao:

j c2xj))X

que e xatamente c1 b. Aqui supomos que estamos fazendo uma translacao das variaveis, pode ocorrer no caso ao regredir y em x haja um erro sistematico em y, c1, e m x, c2.N ao ha necessidade de rodar novamente a regressao se usamos o seguinte resultado.

Seguindo os mesmos passos, temos que mudar as variaveis na definicao da inclinacao e do intercepto, o que produz:

Nota: na questao a. usamos o fato de que a media de (c1y1,c1y2,...c1yn)e

Note tambem que todos P sao de 1 aten .

Questao 5

Nesta questao e omitida as hipoteses basicas em uma regressao. Sejam elas entao:

i. O modelo verdadeiro e yi = β0 + β1xi + i i. ( i)i∈[1,n] e id e E[ i]=0 i. Ou xi e fixo, ou E[ i | xj]=0 , ∀(i,j) ∈ [1,n]2 Neste exercıcio iremos comecar com o caso mais simples: onde xi sao fixos.

Entao, como xi sao fixos podemos retira-los da esperanca.

Para o estimador do intercepto o raciocınio em aiss imples, E[β0]= E[y] −

Entao, E[β0]= β0 que significa que β0 et ambem um estimador nao viciado.

Nota: Para resolver este tipo de questao veja se voces abe a diferenca entre um estimador (p.ex.:β1)q ue eu ma v.a. em funcao de (xi, i)eq ue o valor verdadeiro e β1 que e uma constante derivada do modelo verdadeiro.

Questao 6 a. Estamos dando a distribuicao conjunta de (X,Y). Se queremos a media de cada uma das variaveis, entao temos que achar a distribuicao conjunta de cada uma. Para fazer isso temos que integra sobre a variavel nao requerida. Por exemplo, queremos a distribuicao marginal de X sobre f(x,y) temos apenas que integrar f(x,y) sobre y...e o contrario se queremos a distribuicao marginal de Y. Assim,

distribuicao uniforme sobre [0,1].

Podemos inferir a media:

Nos temos que aplicar a definicao: (Lembre-se E[h(X)] = R h(x)fX(x)dx para qualquer funcao contınua h)

c. Lembre-se da definicao: cov(X,Y )= E[XY ] − E[X]E[Y ] cov(X,Y )= R

As variaveis sao nao correlacionados! d. Dadaad efinicao,

Note que nossa variavel x ed efinido em [0,1], o que significa que sua f.d.p.

Questao7 O estimador en ao viciado se sua esperanca e igual ao valor verdadeiro.

por linearidade do operador E (.). Como X1 e X2 seguem ambos a mesma distribuicao N¡ m,s2¢

Para resolver este tipo de problema voce precisa lembrar-se de como calcular av ariancia de uma combinacao linear de v.a.. Suponha que X e Y sao v.a. com variancias conhecidas V(X) and V (Y ). Qual eav ariancia de V(aX + bY )? (Ondeaebs ao fixos).

Aplicandoe star egra a V¡ nos obtemos:

Questao 8 a) Os primeiros dois momentos de X sao dados por

Assim,

Calculando agora o terceiro momento central de X, temos que

Mas

Em consequencia,

¶ dx

Finalmente,

b) Neste caso, a funcao de densidade es imetrica em torno de 0, entao e direto mostrar que o coeficiente da assimetria e0 . A esperanca e

e o terceiro momento central et ambem 0

Questao 9 a) Definaaf uncao

0 caso contrario

Tirando a esperanca de ambos os lados da inequacao acima, segue-se queE h

Assim,

ou, de maneira alternativa,

Assim,

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