Análise dinâmica de estruturas

Análise dinâmica de estruturas

(Parte 1 de 7)

Lisboa, 2008

Paulo Mendes Sérgio Oliveira

Análise dinâmica de estruturas. Utilização integrada de modelos de identificação modal e modelos de elementos finitos

Resumo

Neste trabalho aborda-se o tema da análise dinâmica de estruturas de engenharia civil, utilizando, em paralelo, modelos numéricos de elementos finitos e modelos de identificação modal no domínio da frequência, para avaliar as grandezas físicas que caracterizam o seu comportamento dinâmico.

Após a introdução dos fundamentos da dinâmica de estruturas, efectua-se a descrição de alguns dos métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, que se têm mostrado adequados para caracterizar o comportamento dinâmico de estruturas, a partir de séries temporais de dados obtidas experimentalmente. Apresenta-se um estudo sobre o comportamento dinâmico de uma parede em consola submetida à acção da água – problema de interacção estrutura-fluido – recorrendo à utilização em paralelo de modelos numéricos de elementos finitos e resultados experimentais obtidos sobre um modelo físico. Com este exemplo pretende-se salientar o interesse da utilização conjunta de resultados experimentais e modelos numéricos na análise dinâmica de estruturas.

Dynamic analysis of structures. Using modal identification models and finite elements models

Abstract

This work is related with the study of the dynamic behaviour of civil engineering structures, using both: numerical models and stochastic modal identification methods on frequency domain, to evaluate the physical parameters which characterize his dynamic behaviour.

After the introduction of some structural dynamic principles, some of the most promissory methods of stochastic modal identification on frequency domain are described. A study of the dynamic behaviour of a simple continuous structure is presented, using this structure the structure-fluid interaction problem is also presented, using both: finite element models and experimental results obtained on a physical model. With this example we intend to show, two fundamental issues: the importance of experimental data on the development of numerical models, and; the utility of preliminary numerical models to prepare vibration tests.

i i

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO1
1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS1
LIBERDADE5
2.1 INTRODUÇÃO5
2.2 EXCITAÇÃO DETERMINÍSTICA7
2.2.1 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO PARA ESTRUTURAS DISCRETIZADAS7
2.2.2 FORMULAÇÃO MODAL9
2.2.2.1 Determinação de frequências e modos de vibração de sistemas sem amortecimento9
2.2.2.2 Determinação de frequências e modos de vibração considerando amortecimento proporcional12
2.2.2.3 Funções de resposta em frequência13
2.3 EXCITAÇÃO ESTOCÁSTICA16
2.3.1 CONCEITOS DE ESTATÍSTICA E DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS17
2.3.2 FUNÇÕES DE DENSIDADE ESPECTRAL DA RESPOSTA20
2.4 CONCLUSÕES23
CAPÍTULO 3 – IDENTIFICAÇÃO MODAL ESTOCÁSTICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA25
3.1 INTRODUÇÃO25
3.2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE A ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA27
3.3 MATRIZ DAS FUNÇÕES DE DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DA RESPOSTA34
3.4 MÉTODO BÁSICO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA43
3.4.1 IDENTIFICAÇÃO DE FREQUÊNCIAS NATURAIS. ESPECTRO NORMALIZADO MÉDIO4
3.4.2 FUNÇÕES DE COERÊNCIA46
3.4.3 IDENTIFICAÇÃO DAS CONFIGURAÇÕES MODAIS48
3.4.4 ESTIMATIVAS DOS COEFICIENTES DE AMORTECIMENTOS MODAIS51
3.5 MÉTODO DE DECOMPOSIÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA54
3.5.1 DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES5
3.5.2 VERSÃO BASE (FDD)5
3.5.3 VERSÃO MELHORADA (EFDD)58
3.6 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ANTERIORES A RESULTADOS EXPERIMENTAIS64
3.6.1 DESCRIÇÃO DO MODELO FÍSICO E DO ENSAIO DE VIBRAÇÃO AMBIENTAL65
3.6.2 EXEMPLO DE APLICAÇÃO EXPERIMENTAL6
3.7 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A PARTIR DAS FUNÇÕES DE DECREMENTO ALEATÓRIO75
3.7.1 CONCLUSÕES87
CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS89
4.1 INTRODUÇÃO89
4.2 SISTEMAS ESTRUTURAIS COM MASSA E RIGIDEZ DISTRIBUÍDAS90
4.2.1 SOLUÇÃO PARA SISTEMAS COM MASSA E RIGIDEZ DISTRIBUÍDA90
4.3 MODELOS NUMÉRICOS PARA ANÁLISE DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS94
4.3.1 UTILIZAÇÃO DE MODELOS NUMÉRICOS NA ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE BARRAGENS DE BETÃO95
4.3.2 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA ESTRUTURAL96
4.3.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS98

CAPÍTULO 2 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DE MODELOS ESTRUTURAIS COM VÁRIOS GRAUS DE 4.4 INTERACÇÃO ESTRUTURA-FLUIDO. PAREDE EM CONSOLA............................................................................................ 101

4.4.1 SOLUÇÃO OBTIDA COM BASE NA FORMULAÇÃO DOS OSCILADORES CONTÍNUOS102
4.4.2 MODELOS PLANOS DE ELEMENTOS FINITOS104
4.4.3 IDENTIFICAÇÃO MODAL ESTOCÁSTICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS108
4.4.4 CASO DE ESTUDO120
4.5 CONCLUSÕES133
CAPÍTULO 5135
5.1 SÍNTESE DO TRABALHO135
ANEXO A139
A.1 INTRODUÇÃO139
A.2 SÉRIES TEMPORAIS DE DADOS. AMOSTRAGEM140
A.3 ANÁLISE ESPECTRAL. FUNDAMENTOS141
A.3.1 DA SERIE DE FOURIER A TRANSFORMADA DE FOURIER142
A.3.2 APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER A SÉRIES TEMPORAIS144
A.3.3 ERROS145
A.4 FILTRAGEM DE SINAIS151
A.4.1.1 Tipos básicos de filtros152
A.5 DECIMAÇÃO154
A.6 ZOOM155
A.7 CONCLUSÕES155
ANEXO B157
B.1 INTRODUÇÃO157
B.1.1 FUNÇÕES DE DECREMENTO ALEATÓRIO158

iv B.1.2 CONDIÇÕES INICIAIS............................................................................................................................... ....................... 158

1 INTRODUÇÃO

SUMÁRIO: As crescentes preocupações da sociedade com as questões de segurança têm-se reflectido, ao nível da engenharia de estruturas, na revisão da regulamentação de segurança, nomeadamente no que concerne ao comportamento das estruturas sob acções dinâmicas, e em particular, sob acções sísmicas. Os novos avanços ao nível da regulamentação têm sido conseguidos com base num maior conhecimento do comportamento estrutural, resultante dos recentes desenvolvimentos ao nível das tecnologias que permitem a observação do comportamento dinâmico de estruturas reais (e de modelos físicos), ao nível das metodologias de identificação modal e ao nível dos modelos computacionais para simulação e interpretação do comportamento dinâmico.

Neste sentido, a observação do comportamento dinâmico de estruturas e o desenvolvimento de modelos numéricos para análise e interpretação do seu comportamento, são objecto de abordagem neste trabalho. Assim, neste capítulo introdutório refere-se a motivação e os principais objectivos do trabalho.

1.1 Considerações gerais

A análise do comportamento dinâmico de estruturas de engenharia civil deve ser efectuada recorrendo a resultados experimentais obtidos em ensaios de vibrações e a modelos numéricos computacionais. Normalmente, a utilização de modelos numéricos está associada à concepção e projecto de novas estruturas ou então a actividades relacionadas com o acompanhamento e/ou a avaliação de segurança de estruturas existentes que apresentem um risco potencial significativo, como é o caso das pontes e das grandes barragens (ver Figura 1.1). O recurso à realização de ensaios de vibrações está usualmente associado aos designados ensaios de recepção, realizados após a construção das estruturas e antes da sua entrada em serviço, para avaliar as condições de segurança iniciais, bem como a ensaios periódicos ao longo da vida útil das estruturas, enquadrados nas actividades de observação do seu comportamento dinâmico.

Recentemente, têm-se verificado importantes desenvolvimentos, quer ao nível da modelação numérica, quer ao nível da tecnologia utilizada para a realização de ensaios de vibrações, os quais estão alicerçados nas crescentes capacidades computacionais e nos mais recentes desenvolvimentos tecnológicos verificados ao nível dos equipamentos utilizados para medir a resposta dinâmica das estruturas (sistemas de aquisição de dados, condicionadores de sinal, sensores, etc.).

O recurso a modelos numéricos na concepção, projecto e controlo de segurança de estruturas é essencial, nomeadamente sempre que se recorre à utilização de novos materiais, novas formas estruturais e/ou novas metodologias de observação.

Figura 1.1 Barragem da Aguieira.

Capítulo 1: Introdução 2

Estas evoluções têm impulsionado o desenvolvimento de modelos numéricos (elementos finitos, elementos discretos, etc.), tornando-os cada vez mais adequados para a análise do comportamento dinâmico de estruturas, bem como o desenvolvimento das metodologias de identificação modal, utilizadas para avaliar as características dinâmicas das estruturas a partir de séries temporais de dados obtidas experimentalmente.

Por outro lado, é de salientar que, muitos dos progressos verificados ao nível da modelação do comportamento dinâmico de estruturas se deve à cada vez maior quantidade de informação experimental disponível, a qual tem permitido uma melhor compreensão dos fenómenos físicos envolvidos, tendo como consequência lógica a adopção de hipóteses mais adequadas para simular o comportamento dinâmico das estruturas.

Densidade Espectral de Potência Média

Modelo numérico Resultados experimentais

Figura 1.2 Esquema representativo da utilização integrada de modelos de identificação modal e modelos numéricos de elementos finitos.

Globalmente, a análise do comportamento dinâmico de estruturas deverá ser efectuada, recorrendo à utilização integrada da modelação numérica e da identificação experimental de parâmetros modais (frequências naturais, modos de vibração e amortecimentos modais), tal como se mostra no esquema da Figura 1.2. No presente trabalho apresentam-se os fundamentos da análise dinâmica de estruturas numa perspectiva que potencia a utilização integrada de resultados experimentais da observação do comportamento dinâmico de estruturas e de modelos numéricos de elementos finitos. Assim o presente trabalho tem como principais objectivos:

• Apresentar alguns dos fundamentos da dinâmica de estruturas, necessários para a implementação de métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, nomeadamente relacionados com a formulação modal no domínio da frequência, para osciladores com vários graus de liberdade;

• Descrever os principais métodos de identificação modal no domínio da frequência, salientando algumas das potencialidades da sua aplicação;

• Apresentar os fundamentos das metodologias de processamento e análise de sinais digitais;

• Abordar o problema do comportamento dinâmico de estruturas contínuas, utilizando e comparando resultados analíticos, numéricos e experimentais;

• Debater o problema da interacção estrutura-fluido, com base na apresentação de resultados numéricos e experimentais, obtidos para o exemplo de um modelo físico, de uma parede em consola submetida à acção da água.

Este trabalho é igualmente desenvolvido com o objectivo de constituir um elemento introdutório à identificação modal de estruturas, sendo por vezes exaustivo na apresentação de alguns dos conceitos fundamentais. Por outro lado, também tem como objectivo, apresentar alguns exemplos de aplicação nesta área.

Finalmente, importa salientar que a introdução do problema da interacção estruturafluido, utilizando para o efeito um modelo físico simples, visa abordar de uma forma simplificada, o problema da interacção barragem-albufeira. Neste contexto os resultados analíticos, numéricos e experimentais apresentados, têm por objectivo compilar um conjunto de elementos a partir dos quais poderá ser possível extrapolar algumas conclusões para o caso concreto de barragens de betão.

Capítulo 1: Introdução 4 Capítulo 1: Introdução 4

SUMÁRIO: O estudo do comportamento dinâmico de modelos estruturais com um ou vários graus de liberdade, é essencial para a introdução de alguns dos fundamentos da dinâmica de estruturas, essenciais para o desenvolvimento de estudos mais avançados. Pelo que, a introdução deste capítulo visa introduzir alguns desses fundamentos, essenciais para os conceitos que são apresentados nos capítulos seguintes, os quais estão associados ao estudo da resposta de modelos estruturais com vários graus de liberdade, no domínio da frequência, a partir de excitações conhecidas, designadas por determinísticas, bem como, a partir de excitações desconhecidas, designadas por estocásticas.

A análise e caracterização do comportamento dinâmico de estruturas baseia-se num conjunto de fundamentos, que usualmente são descritos em aplicações a modelos estruturais com um e/ou vários graus de liberdade [Clough e Penzien, 1993; Chopra, 2000]. Neste capítulo apresentam-se estes fundamentos, realçando em particular, alguns conceitos essenciais para o desenvolvimento de métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência (capítulo 3). Os métodos de identificação modal estocástica têm por objectivo a identificação das principais características dinâmicas das estruturas, a partir de dados sobre a sua resposta (em geral obtidos experimentalmente), sob as acções dinâmicas que normalmente as solicitam, as quais apresentam em geral uma variação temporal de natureza aleatória, podendo ser caracterizadas através de conceitos probabilísticos, como mais à frente se verá. Todavia, em primeiro lugar apresentam-se os conceitos clássicos, associados ao estudo da resposta das estruturas a partir de excitações conhecidas, designadas por determinísticas.

Para além de uma adequada idealização das acções actuantes é igualmente importante a consideração de um modelo matemático capaz de descrever de uma forma suficientemente aproximada o funcionamento estrutural, o qual deverá permitir a obtenção de relações matemáticas entre as características essenciais da excitação e da resposta estrutural resultante. Estes modelos matemáticos, utilizados para caracterizar o comportamento dinâmico das estruturas, podem recorrer a diferentes formulações, nomeadamente, formulações no domínio do tempo e no domínio da frequência, em coordenadas estruturais ou coordenadas modais.

Genericamente, e independentemente do tipo de excitação, o processo relativo à caracterização do comportamento dinâmico de estruturas (ver Figura 2.1), baseia-se no estabelecimento de um modelo matemático e de relações excitação-resposta, bem

Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade 6 como a adopção de um modelo espacial discreto ou contínuo que represente aproximadamente as propriedades geométricas e físicas das estruturas, usualmente expressas através das matrizes de massa, rigidez e amortecimento, bem como a aplicação das leis da Mecânica, resultando daí um sistema de equações diferenciais caracterizador do movimento estrutural, a partir do qual é possível obter relações excitação-resposta, quer numa óptica determinística, quer numa óptica estocástica.

Propriedades estruturais: massa - m rigidez - k amortecimento - c

Acção harmónica

(conhecida / desconhecida)0 p (t) p (t) p (t) p

Acção sísmica (desconhecida)

Acção do tipo ruído ambiente

(desconhecida) Acção do vento

Acção impulsiva (conhecida / desconhecida)

Resposta estrutural u (t)

Caracteríticas modais: frequências naturais - f configurações modais - φ amortecimentos modais - ξ

m.u(t)+c.u(t)+k.u(t)=p(t)

p (t) = - m.u (t).. u (t) - aceleração da base de fundação..

Figura 2.1 Esquema representativo da caracterização do comportamento dinâmico de estruturas.

Neste capítulo, o estudo do comportamento dinâmico de estruturas é efectuado, assumindo simplificadamente a hipótese de comportamento elástico linear e que as características estruturais são invariantes no tempo.

Nos modelos matemáticos utilizados para estudar o comportamento dinâmico de estruturas com vários graus de liberdade, as propriedades estruturais são usualmente representadas por intermédio de matrizes, que resultam de uma prévia discretização, normalmente efectuada recorrendo a elementos finitos, como se verá no capítulo 4. As propriedades estruturais são relacionadas com as forças externas, através do estabelecimento de equações diferenciais de equilíbrio.

Tendo em conta o tipo de excitação, é efectuada a apresentação dos diversos conceitos, recorrendo a um exemplo de aplicação que também será utilizado no capítulo 3, o qual se refere ao modelo plano da estrutura de um modelo físico de um edifício de 3 pisos (ver Figura 2.2).

Figura 2.2 Exemplo de um oscilador com 3 graus de liberdade. Modelo plano da estrutura de um modelo físico um edifício de 3 pisos.

2.2 Excitação determinística 7

2.2 Excitação determinística

A caracterização do comportamento dinâmico de estruturas, com base numa excitação do tipo determinística é usualmente designada como o processo clássico da análise dinâmica de estruturas.

Na perspectiva da utilização de modelos analíticos, este processo, baseia-se na determinação da resposta dinâmica das estruturas, a partir de excitações conhecidas, adoptando um modelo matemático adequado, que contemple as já mencionadas propriedades físicas e geométricas, bem como a aplicação das leis da Mecânica, utilizando, o já mencionado sistema de equações diferenciais caracterizador do movimento estrutural.

Por outro lado, este processo também é utilizado para caracterizar a resposta dinâmica de estruturas a partir de dados experimentais. Neste tipo de caracterização são utilizados modelos experimentais que se baseiam nas relações excitação-resposta, a partir das quais é possível avaliar as características dinâmicas das estruturas.

Nesta secção apresentam-se os conceitos utilizadas neste tipo de abordagem, designadamente para o caso da análise no domínio da frequência de estruturas discretizadas em vários graus de liberdade.

No âmbito da dinâmica de estruturas, as acções ou excitações (dinâmicas), são muitas vezes designadas também por vibrações.

2.2.1 Equação do movimento para estruturas discretizadas

O estudo do comportamento dinâmico de estruturas, discretizadas em n graus de liberdade e sujeitas à acção de forças externas p(t), pode ser efectuado através da seguinte equação matricial, que representa um sistema de n equações diferenciais de 2ª ordem:

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