(Parte 1 de 3)

Resolucao numerica de equacoes diferenciais

6.1 Introducao

As equacoes diferenciais surgiram na sequencia do desenvolvimento do calculo diferencial, introduzido por Newton e Leibniz. Com o desenvolvimento dos meios computacionais, a investigacao actual neste domınio, concentra-se essencialmente, na obtencao de metodos de resolucao numerica de equacoes diferenciais. As equacoes diferenciais utilizam-se, geralmente para descrever um modelo, como acontece frequentemente em Engenharia, Fısica, Quımica, etc. Por exemplo, o movimento oscilatorio de um pendulo, pode ser descrito por uma equacao diferencial de 2a ordem:

onde L e o comprimento do pendulo, g a constante de gravidade e θ o angulo que o pendulo faz com a vertical. Se se indicar a posicao inicial do pendulo e a sua velocidade nesse ponto obtemos uma equacao diferencial com condicoes iniciais. A solucao numerica de uma equacao diferencial, consiste usualmente num conjunto de valores que sao aproximacoes da solucao exacta, em determinados valores da variavel independente. Antes de tentar resolver uma equacao diferencial com condicao inicial, precisamos saber se a solucao existe, e se existir se e unica. Alem disso, e util saber se, a pequenas variacoes nos dados correspondem tambem pequenas variacoes da solucao.

Definicao 6.1 Uma funcao f(t,y) satisfaz a condicao de Lipschitz na variavel y, num conjunto D ⊆ R2, se existir uma constante L > 0 tal que

Geometricamente, num conjunto convexo, se dois pontos pertencem ao conjunto, entao o segmento que os une tambem pertence. Os conjuntos que vamos considerar neste capıtulo sao geralmente da forma

Teorema 6.1 Seja f uma funcao definda e continua num convexo D ⊆ R2, ∂f ∂y continua em D e tal que

Entao, f satisfaz a condicao de Lipschitz em D, relativamente a variavel y, com a constante de Lipschitz igual a L.

Relativamente a existencia e unicidade da solucao da equacao diferencial demonstra-se o seguinte teorema.

Teorema 6.2 Seja D = {(t,y) : a ≤ t ≤ b, −∞ < y < +∞} e f uma funcao contınua em D. Se f satisfaz a condicao de Lipschitz em D relativamente a variavel y, entao a equacao diferencial com

tem uma unica solucao, y(t), para a ≤ t ≤ b.

Dem. A demonstracao deste teorema encontra-se em qualquer livro que trate da teoria de equacoes diferenciais ordinarias, por exemplo pode consultar [1] ou [3]. ¤

Este teorema da-nos uma condicao suficiente para a existencia e unicidade da solucao, mas nao nos elucida quanto a questao de ”a pequenas variacoes nos dados corresponderem pequenas variacao nos resultados”.

traduz um problema bem posto se: 1. tem uma unica solucao;

traduz um problema bem posto se a funcao f e uma funcao contınua e satisfaz a condicao de Lipschitz relativamente a variavel y, em D.

Uma vez que f e contınua, estamos nas condicoes do teorema anterior, isto e, a equacao traduz um problema bem posto.

3 6.2 Metodos de passo simples

que admitimos traduzir um problema bem posto. Consideremos no intervalo [a,b] os pontos igualmente espacados de h:

com a+Nh = b. Aos pontos ti chamamos nodos e a h chamamos passo.

Definicao 6.4 Designa-se por metodo de passo simples um metodo em que o valor aproximado da solucao no nodo ti+1, wi+1, depende do valor aproximado obtido no nodo ti, , wi, ou seja,

6.2.1 Metodo de Taylor de ordem n

Os metodos que se vao apresentar de seguida baseiam-se no desenvolvimento de Taylor.

Consideremos a equacao diferencial (6.5), e admitamos que y, a solucao unica da equacao, admite derivada de ordem n + 1 contınua em [a,b]. Sejam

Pela formula de Taylor

y′′(ti) ++

ou seja,

f′(ti, y(ti)) ++

onde dtk = df

Como normalmente nao se consegue calcular a ultima parcela, consideramos como valor aproximado da solucao em ti+1, o valor que se obtem desprezando aquela parcela do desenvolvimento anterior.

Obtemos assim o Metodo de Taylor de ordem n, cuja equacao as diferencas e dada por{ w0 = α onde

f′(ti, wi) ++

w0 designa-se valor inicial do metodo.

Determine a equacao as diferencas do metodo de Taylor de ordem 2 , com passo h.

Assim,

A equacao as diferencas vem:

O metodo de Taylor de ordem 1 designamos por metodo de Euler cuja equacao as diferencas se

A equacao as diferencas para o metodo de Euler vem:

Sabendo que a solucao exacta e y(t) = t + e−t podemos analisar o comportamento do erro nalguns nodos

Tabela 1 Aproximacoes de y(t) obidas pelo metodo de Euler

Note-se que o modulo do erro cresce lentamente a medida que o valor de ti aumenta.

O crescimento controlado do erro no metodo de Euler e uma das suas principais caracterısticas.

Solucao exacta da equacao (6.6) e aproximacoes obtidas pelo metodo de Euler

e um valor aproximado em ti+1 obtido por um metodo de passo simples (w0 = α), o respectivo erro de truncatura local e

supondo que wi+1 e calculado pelo metodo a partir dos valores exactos em ti. Se |τi+1| ≤ O(hk) dizemo que o metodo e de ordem k.

O erro de truncatura local no metodo de Taylor de ordem n e:

Podemos assim concluir que o metodo de Taylor considerado e de ordem n.

6.2.2 Metodos de Runge-Kutta

Os metodos de Taylor de ordem elevada tem a desvantagem de exigirem o calculo de varias derivadas de f(t,y). Podem por isso torna-se complicados e demorados em alguns problemas.

Os metodos de Runge-Kutta podem ter o grau de precisao dos metodos de Taylor sem terem o inconveniente do calculo das derivadas.

O metodo de Runge-Kutta mais utilizado e o de ordem 4. A solucao da equacao diferencial deve ter derivadas contınuas ate a 5a ordem. A equacao as diferencas do metodo de Runge-Kutta de ordem 4 traduz-se no seguinte:

onde

A deducao do metodo de Runge-Kutta pode ser consultada em [2].

Exemplo 6.4 Consideremos novamente a equacao diferencial (6.6). Utilizando o metodo de Runge- Kutta de ordem 4, com h = 0.1, obtem-se:

(Parte 1 de 3)

Comentários