Resumo de Hidráulica - Introdução

Resumo de Hidráulica - Introdução

(Parte 1 de 11)

HIDRÁULICA

AULA 1 – ANÁLISE DIMENSIONAL

  1. CONCEITUAÇÃO

  2. GRANDEZAS: GEOMÉTRICAS, CINEMÁTICAS E DINÂMICAS

  3. DIMENSÕES DAS PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DOS FLUÍDOS

  4. PROPRIEDADES MATEMÁTICAS DAS DIMENSÕES

  5. TEOREMAS DE BRIDGEMANN

  6. TEOREMAS DE BRIDGEMANN APLICADOS NA DETERMINAÇÃO DE FÓRMULAS

  1. CONCEITUAÇÃO

    • Análise Dimensional – É a análise matemática das grandezas que intervêm em um determinado fenômeno físico (ou hidráulico).

    • Grandeza (G) – É o conjunto de características de uma determinada propriedade ou fenômeno físico.

  1. CLASSIFICAÇÃO DAS GRANDEZAS

    • Grandezas Geométricas – Comprimento (L), Diâmetro (D), Rugosidade (ε), Área (A), Volume (V), etc.

    • Grandezas Cinemáticas – Velocidade (v), Aceleração (a), Vazão (Q), etc.

    • Grandezas Dinâmicas – Massa Específica (ρ), Viscosidade (μ), Aceleração da Gravidade (g)1, Pressão (p), Elasticidade (E), Tensão Superficial (σ), Tensão Tangencial (T), etc.

    • Grandezas Fundamentais – Aquelas consideradas padrão. Exemplo: Comprimento (L), Massa (m) e Tempo (T).

    • Grandezas Derivadas – Aquelas expressas em função das grandezas padrão. Exemplo: Área (A = L²), Vazão (Q = L³.T-¹), Força de Inércia (F = m.a = M.L.T-²), Pressão (p = F.A-¹ = M.L.T-².L-² = M.L-¹.T-²).

  1. DIMENSÕES DAS PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DOS FLUÍDOS

    • Representação de uma Dimensão – [ ] “dimensão de”. Exemplo: Dimensão de Pressão – [p] = [F].[A]-¹ = M.L.T-².L-² = M.L-¹.T-²

    • Grandezas Geométricas [L] = [D] = [ε] = L;

    • Grandezas Cinemáticas [v] = L.T-¹; [Q] = L.T-³.

    • Grandezas Dinâmicas [ρ] = M.L-³

[μ] = [T].[dv/dy] -¹ = F.L-².T = M.L.T-².L-².T = M.L-¹.T-¹

[g] = L.T-²

[p] = [E] = [T] = M.L-¹.T-²

[σ] = F.L-¹ = M.L-².T-²

  1. PROPRIEDADES MATEMÁTICAS DAS DIMENSÕES

  • As dimensões das grandezas são números reais e, portanto, as propriedades associativa, comutativa e distributiva da multiplicação e exponenciação de reais também são aplicáveis à Análise Dimensional.

  • Axiomas da exponenciação de números reais também são extensíveis às dimensões de grandezas:

[k] = M0.L0.T0 = 1 (Dimensão de Constante = 1)

[G1x.G2y.G3-z] = [G1]x.[G2]y.[G3]-z

  1. TEOREMAS DE BRIDGEMANN

    • 1º Teorema de Bridgemann – Se uma grandeza física G é derivada de n grandezas fundamentais (G1, G2, ..., Gn), então G pode ser expressa pelo produto de uma constante k por cada uma dessas grandezas fundamentais elevadas a expoentes constantes.

G = f (G1, G2, ..., Gn) G = k . G1x1 . G2x2 . ... . Gnxn

    • 2º Teorema de Bridgemann – Para que uma equação matemática envolvendo grandezas represente uma lei física é necessário que exista nesta equação “homogeneidade dimensional”, isto é, as dimensões resultantes de cada membro da equação devem ser iguais.

[G] = [k] . [G1x1] . [G2x2] . ... . [Gnxn]

  1. TEOREMAS DE BRIDGEMANN APLICADOS NA DETERMINAÇÃO DE FÓRMULAS

    • Sabendo-se que a potência P de uma bomba centrífuga depende do peso específico γ do líquido, da vazão Q e da altura manométrica H, estabeleça uma expressão para a potência P, em HP.

Resolução:

  1. Do 1º Teorema de Bridgemann – P = k . γx . Qy . Hz

  2. Do 2º Teorema de Bridgemann – [P] = [k] . [γ]x . [Q]y . [H]z

  3. Considerando o sistema de unidades {F,L,T}:

F.L.T-1 = 1 . (F.L-3)x . (L3.T-1)y . Lz = Fx . L-3x+3y+z . T-y

  1. Resolvendo, temos: x = 1, y = 1, z = 1

  2. Assim, substituindo na 1ª expressão, temos:

P = k . γ . Q . H

  1. Considerando que HP = 75 kgf.m/s, então k = 1/75, e a expressão de potência hidráulica, em HP, é:

P = γ . Q . H / 75

HIDRÁULICA

QUADRO 1 – TABELA DE EQUAÇÕES DIMENSIONAIS

Grandeza

Sistema Internacional

Sistema Gravitacional

M.L.T.

F.L.T.

Comprimento

L

L

Força

M.L.T-2

F

Massa

M

F.L-1.T²

Tempo

T

T

Aceleração

L.T-2

L.T-2

Aceleração Angular

T-2

T-2

Ângulo

M0.L0.T0

F0.L0.T0

Área

Calor

M.L².T-2

F.L

Energia

M.L².T-2

F.L

Força

M.L.T-2

F.L-3

Freqüência

T-1

T-1

Gradiente de Velocidade

T-1

T-1

Massa Específica (ρ)

M.L-3

F.L-4.T2

Massa Específica Relativa

M0.L0.T0

F0.L0.T0

Momento de uma Força

M.L².T-2

F.L

Peso Específico (γ)

M.L-2.T-2

F.L-3

Potência

M.L².T-3

F.L.T-1

Pressão

M.L-1.T-2

F.L-2

Superfície

Tensão de Cisalhamento

M.L-1.T-2

F.L-2

Torque

M.L2.T-2

F.L

Trabalho

M.L2.T-2

F.L

Vazão (Q)

L³.T-1

L³.T-1

Velocidade

L.T-1

L.T-1

Velocidade Angular (ω)

T-1

T-1

Viscosidade Cinemática (ν)

L².T-1

L².T-1

Viscosidade Dinâmica (μ)

M.L-1.T-1

F.L-2.T

Volume

HIDRÁULICA

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS (PARTE 1)

  1. Utilizando o Teorema de Bridgemann, estabeleça uma expressão para a potência P de uma bomba centrífuga, sabendo-se que esta potência depende do diâmetro do rotor D (m), da velocidade angular ω (rpm), da vazão Q (m³/s) e do peso específico do líquido γ (kgf/m³). Obs: 1HP = 75 kgf.m/s.

P = k . Dx1 . ωx2 . Qx3 . γx4 (1)

[P] = [k] . [D]x1 . [ω]x2 . [Q]x3 . [γ]x4 (2)

Considerando o sistema de unidades {F,L,T}, temos:

F.L.T-1 = 1 . Lx1 . (T-1)x2 . (L3.T-1)x3 . (F.L-3)x4

F.L.T-1 = Fx4 . Lx1+3x3-3x4 . T-x2-x3

Fazendo x3 = A, temos:

x1 = (4 – 3A); x2 = (1 – A); x3 = A; x4 = 1

Assim, substituindo na equação (1), temos:

P = k . D4-3A . ω1-A . QA . γ

Considerando que 1 HP = 75 kgf.m/s, então k = 1/75 e a expressão para a potência P da bomba centrífuga, em HP, é:

P = D4-3A . ω1-A . QA . γ / 75

  1. Utilizando o Teorema de Bridgemann, estabeleça uma expressão para a força de arraste provocada pelo deslocamento do ar sobre uma torre de antena de TV, sabendo-se que esta força F depende da massa específica ρ do ar (kg/m³), da área A da secção transversal da torre (m²) e da velocidade do vento v (m/s).

F = k . ρx1 . Ax2 . vx3 (1)

[F] = [k] . [ρ]x1 . [A]x2 . [v]x3 (2) M.L.T-2 1 . [M.L-3]x1 . [L2]x2 . [L.T-1]x3

M.L.T-2 Mx1 . L-3x1+2x2+x3 . T-x3

 Resolvendo, temos:

 x1 = 1; x2 = 1; x3 = 2

 Substituindo na Expressão (1), temos:

 F = k . ρ . A . v²

HIDRÁULICA

AULA 2 – ANÁLISE DIMENSIONAL

  1. PARÂMETROS ADIMENSIONAIS

  2. PARÂMETROS ADIMENSIONAIS OBTIDOS DE RELAÇÕES DE FORÇAS

  3. TEOREMA DE BUCKINGHAM

  4. TEOREMA DE BUCKINGHAM APLICADO À DETERMINAÇÃO DE FÓRMULAS

  5. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PELO TEOREMA DE BUCKINGHAM

  1. PARÂMETROS ADIMENSIONAIS

    • Parâmetro ou Número Adimensional – É uma constante obtida através de uma relação de grandezas ou conjunto de grandezas de mesma dimensão. Exemplos:

Comprimento Característico de uma Canalização: L / D

Rugosidade Relativa: ε / D

Número de Reynolds: Re = ρ . v. D / μ

  1. PARÂMETROS ADIMENSIONAIS OBTIDOS DE RELAÇÕES DE FORÇAS

    • Força de Pressão / Força de Inércia

p.A / m.a = p.L²/(p.L³).(L.T-²) = p / p.L².T-² = p / p.v² = Eu-² (Número de Euler)-²

    • Força de Viscosidade / Força de Inércia

T.A / m.a = μ.v.L-¹.L² / (p.L³).(L.T-²) = μ / p.v.L = Re-¹ (Número de Reynolds)-¹

    • Força de Gravidade / Força de Inércia

m.g / m.a = g / L.T-² = g.L / L².T-² = g.L / v² = Fr-² (Número de Froude) -²

    • Força de Elasticidade / Força de Inércia

E.A / m.a = E.L² / (p.L³).(L.T-²) = E / p.v² = Ma-² (Número de Mach)-²

    • Força de Tensão Tangencial / Força de Inércia

T.A / m.a = T.L² / (p.L³).(L.T-²) = T / p.v² = Pr-² (Número de Prandtl)-²

(Parte 1 de 11)

Comentários