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Publicado por Rodrigo R. Gonçalez – 04/12/2007

..:: O Princípio da Indução Finita.

O princípio da indução finita é um método matemático poderoso de demonstração dedutiva que permite ao matemático concluir se uma indução ou proposição matemática é completamente verdadeira ou falsa. Mas, vale ressaltar, não é o único. Esse método é basicamente utilizado quando as proposições estão inseridas no conjunto dos números naturais.

Por exemplo, consideremos a relação 2 *2 1, {0} pparan=+∈=∪ . O grande matemático Pierre de Fermat (1601 – 1665) acreditou que essa fórmula geraria apenas números primos para todo e qualquer n∈ . Mas Euler (1707 – 1783), outro fantástico matemático, provou que essa indução é falsa para 5n=. Vejamos: 2 n p n p n p n p n p número divisível por 641. Portanto, Euler está certo. Fermat, infelizmente, errado.

O método que aplicamos anteriormente é conhecido como indução vulgar, dada sua parcialidade.

Por isso, foi preciso desenvolver um método para que os matemáticos não caíssem em erros como este. E o método foi o Princípio da Indução Finita.

Seja o conjunto dos números naturais ou inteiros positivos. Seja ()Pn uma propriedade ou proposição verdadeira ou falsa aplicável aos números naturais. Se: i) (1)P (para 1n=) é verdadeira e, i) ()(1)PkPk⇒+ k∀∈ também é verdadeira, então: a proposição ()Pn é verdadeira n∀∈ .

Costuma-se generalizar o princípio da indução em i. Se: i) ()Pr (para r∈ ) é verdadeira e, i) ()(1)PkPk⇒+ k∀∈ também é verdadeira, então:

Publicado por Rodrigo R. Gonçalez – 04/12/2007 a proposição ()Pn é verdadeira n∀∈ .

Vejamos alguns exemplos:

( 1)1 2 3 4

1) Consideremos a igualdade: 2

Poderíamos atribuir valores a n de tal maneira a se verificar a proposição:

n n

Parece que essa indução é realmente válida para todo n∈ . Mas, como podemos provar isso de maneira convincente e irrefutável? Ou, como podemos provar que essa indução será realmente válida sempre? Simples, utilizando o princípio da indução. Observe:

+ =. (verdadeiro)

( 1)1 2 3

i) para nk=, temos 2

( 1)( 2)1 2 3( 1) 2

Partindo da hipótese, somaremos 1k+a ambos os membros da igualdade:

( 1)1 2 3( 1) ( 1)

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( 1) 2( 1)1 2 3( 1)
( 1)( 2)1 2 3( 1)

k k k k k k k k k k k

Que constitui (1)Pk+. Logo, a indução é valida n∀∈ .

2) Voltemos agora para 2 *2 1; {0} pn=+∈=∪ , que seriam, por indução, todos números primos - os conhecidos primos de Fermat. Não se sabe ao certo se os primos de Fermat são finitos. Têm-se conhecimento de que os números de ordem 5 até 23 são igualmente compostos. Existe um teorema que diz: “Um primo de Fermat é igual ao produto de todos os anteriores mais 2”. Vamos tentar provar tal afirmativa.

De acordo com o teorema;

0 1 2 2 12n n np p p p p p
i) Para nk=, temos 012212kkkpppppp

+= (hipótese)

0 1 2 2 1 12k k k kp p p p p p p

Sabemos, da hipótese, que: 0 1 2 2 1

2
2

, k k k k k k p p p p p p

Logo p p p p p p

Substituindo na tese, obtemos:

Publicado por Rodrigo R. Gonçalez – 04/12/2007 k k k k k k k p p p p p p p

Logo, o teorema é válido n∀∈ .

( 1)(2 1)1² 2² 3²²

3) Vamos provar que 6

( 1)(2 1)1² 2² 3²²

i) Para nk=, temos que 6

( 1)( 2)(2 3)1² 2² 3²² ( 1)²

Demonstração: Partindo da hipótese, somaremos (1)²k+ a ambos os membros da igualdade:

( 1)(2 1)1² 2² 3²² ( 1)² ( 1)²
( ² )(2 1) 6 ² 12 61² 2² 3²² ( 1)²
2 ³ ² 2 ² 6 ² 12 61² 2² 3²² ( 1)²
2 ³ 9 ² 13 61² 2² 3²² ( 1)²

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k O polinômio k k k pode s

( 1)( 2)(2 3)1² 2² 3²² ( 1)²

er fatorado na forma k k k k k k Logo k k k k

Que constitui (1)Pk+. Assim, a indução é válida n∀∈ .

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1³ 2³ 3³³

4) Seja a desigualdade 4 4

1³ 2³ 3³³

i) Para nk=, temos que 4 4 k++++> (hipótese)

4( 1)1³ 2³ 3³³ ( 1)³

Demonstração:

1³ 2³ 3³³

Através da hipótese, sabemos que 4 4 k++++>.

Somando (1)³k+ a ambos os membros, obtemos: 4

1³ 2³ 3³³ ( 1)³ ( 1)³
4( 1)³1³ 2³ 3³³ ( 1)³
4( 1)( ² 2 1)1³ 2³ 3³³ ( 1)³
4( ³ 2 ² ² 2 1)1³ 2³ 3³³ ( 1)³
4( ³ 3 ² 3 1)1³ 2³ 3³³ ( 1)³

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k

4 4 ³ 12 ² 12 4³ 3³³ ( 1)³

Desenvolvendo 4(1)k+, obtemos:

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k

Podemos, então, fazer:

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4 ³ 12 ² 12 41³ 2³ 3³³ ( 1)³
4 ³ 6 ² 4 1 (6 ² 8 3)1³ 2³ 3³³ ( 1)³
( 1) 6 ² 8 31³ 2³ 3³³ ( 1)³

k k k k k k k k k k k k k k k k

Como 6²830kk++≥ k∀∈ , podemos descartá-lo. Temos a tese:

4( 1)1³ 2³ 3³³ ( 1)³

Assim, a indução é válida n∀∈ .

5) Mostrar que ³2nn+ é divisível por 3. i) Para 1n=, temos que 1³2.13+=, que é divisível por 3 (verdadeiro) i) Para nk=, temos que ³2kk+ é divisível por 3 (hipótese) ()(1)PkPk⇒+; para 1nk=+, devemos ter:

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