Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace

(Parte 1 de 8)

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

8 – Transformadas de Laplace

8.1 – Introdução às Transformadas de Laplace 3 8.2 – Transformadas de Laplace – definição 5 8.2 – Transformadas de Laplace de sinais conhecidos 6 8.4 – Propriedades da Transformada de Laplace 10

Homogeneidade 10 Aditividade 10 Linearidade 10 Sinal transladado (“time shifting”) 10

Sinal multiplicado por exponencial e-at 10 Derivadas 1 Integral 1 Mudança de escala do tempo (“time scaling”) 12 Sinal multiplicado por t 12 Sinal multiplicado por 1/t 12 Convolução 13 8.5 – Teorema do Valor Inicial (TVI) e o Teorema do Valor Final (TVF) 13

Exemplo 8.1 13 8.6 – Alguns exemplos de Transformadas de Laplace 14

Exemplo 8.2 14 Exemplo 8.3 14 Exemplo 8.4 15 Exemplo 8.5 15

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Exemplo 8.6 16 Exemplo 8.7 17 Exemplo 8.8 17 Exemplo 8.9 17 Exemplo 8.10 19 Exemplo 8.1 19 Exemplo 8.12 21 8.6 – Tabela da Transformada de Laplace de alguns sinais contínuos 2 8.8 – A Transformada Inversa de Laplace 23

Exemplo 8.13 26 Exemplo 8.14 27 Exemplo 8.15 27 Exemplo 8.16 29 8.9 – Solução EDO usando Transformadas de Laplace 30

Exemplo 8.17 30 Exemplo 8.18 32

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Transformadas de Laplace

8.1 – Introdução às Transformadas de Laplace

Neste capítulo estudaremos as Transformadas de Laplace, que de certa forma generaliza as Transformadas de Fourier (capítulo 6).

As Transformadas de Laplace apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em função de “s” que é um complexo, s = σ + jω (em vez de apenas “jω” nas Transformadas de Fourier).

A Transformada de Laplace foi desenvolvida pelo matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-1827).

Fig. 8.1 – Pierre Simon Laplace (1749-1827), francês.

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A Transformada de Laplace possuem algumas vantagens sobre as Transformadas de Fourier:

As Transformadas de Laplace fornecem mais informação sobre aqueles sinais e sistemas que também podem ser analisados pela Transformada de Fourier;

As Transformadas de Laplace podem ser aplicadas em contextos em que a Transformada de Fourier não pode como por exemplo na análise de sistemas instáveis.

Fig. 8.2 – Transformada de Laplace.

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8.2 – Transformadas de Laplace – definição

Considere um sinal contínuo x(t)

x(t) ∈ C {conjunto dos números complexos} ou seja, o sinal x(t) tem valores complexos, com parte real e parte imaginária.

A Transformada de Laplace deste sinal x(t), normalmente simbolizada por: L { x(t) } = X(s) permite expressar o sinal x(t) como:

L ሾxሺtሻሿൌXሺsሻൌ׬eିୱ୲·xሺtሻ dt∞଴ eq. (8.1)

A eq. (8.1) acima é chamada de transformada unilateral pois é definida para sinais x(t) onde x(t) = 0 para t < 0

Fig. 8.3 – Um sinal x(t) com valor nulo [x(t) = 0] para t < 0.

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8.3 – Transformadas de Laplace de alguns sinais conhecidos

Sinal exponencial Como primeiro exemplo vamos utilizar o sinal exponencial xሺtሻൌ݁ିୟ୲·uଵሺtሻ eq. (8.2)

Para um dado valor de a este sinal xሺtሻ da eq. (8.2) está bem definido e assume o valor 0 (“zero”) à esquerda da origem. Entretanto muitas vezes apenas escrevemos xሺtሻൌ݁ିୟ୲ ,t൐0 e já fica subentendido que é 0 para t < 0.

O sinal x(t) dado pela eq. (8.2) assume diferentes formas dependendo do valor de a. Se a > 0, x(t) é um sinal exponencial crescente; se a < 0, x(t) é um sinal exponencial decrescente; se a = 0; x(t) é um sinal degrau unitário.

Os gráficos destes sinais podem ser vistos nas figuras 8.4 e 8.5.

Fig. 8.4 – Os sinais x(t) = e-at⋅u1(t), para a > 0, exponencial decrescente (à esquerda), e para a < 0, exponencial crescente (à direita).

Fig. 8.5 – O sinal x(t) = e-at⋅u1(t), a = 0 (degrau unitário).

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Calculando a transformada de Laplace de x(t), pela definição [eq. (8.1)], temos:

L ሾxሺtሻሿൌXሺsሻൌනeିୱ୲·eିୟ୲ dt ∞

ൌනeି୲ሺୱାୟሻ· dt ஶ

s൅a ou seja, Transformada de Laplace de um sinal exponencial é dada por:

ሺs ൅ aሻ

Sinal impulso unitário x(t) = uo(t)

Para o sinal impulso unitário, usando novamente a definição da Transformada de Laplace [eq. (8.1)], temos:

L ሾxሺtሻሿൌXሺsሻൌ׬݁ିୱ୲·u୭ሺtሻ dt∞଴

Logo, Transformada de Laplace é dada por:

L ሾu଴ሺtሻሿൌ1 que é um resultado análogo ao obtido com as Transformadas de Fourier no capítulo 6.

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