Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace

(Parte 5 de 8)

L ሾyሺtሻሿ ൌ Yሺsሻൌ s sଶ൅ωଶ

Entretanto, como ୢୢ୲ ሺsenωtሻ = ω·cosωt , então

dt e portanto, usando a propriedade da derivada, como y(0) = sen (ω⋅0) = 0, obtemos novamente o mesmo X(s) obtido acima:

L ሾxሺtሻሿൌ Xሺsሻ ൌL ቈ 1 dyሺtሻ

dt senωt൨

sଶ൅ωଶെyሺ0ሻቃ

sଶ൅ωଶ

Exemplo 8.1:

As transformadas da eq. (8.4) abaixo podem ser vistos como sinais singulares

(u1(t) = 1, u2(t)/2 = t, u3(t)/6 = t2, … , u3(t)/n! = tn) multiplicados por exponencial ou como o sinal exponencial multiplicado por t, por t2, t3, …

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

L ሾeିୟ୲ሿൌ 1

ሺs൅a ሻ

L ሾt·eିୟ୲ሿൌ 1

ሺs൅aሻଶ

L ሾtଶ·eିୟ୲ሿൌ 2

ሺs൅aሻଷ eq. (8.4)

L ሾtଷ·eିୟ୲ሿൌ 6

ሺs൅aሻସ

L ሾt୬·eିୟ୲ሿൌ n!

ሺs൅aሻ୬ାଵ

As relações da eq. (8.4) podem ser demonstradas de duas formas diferentes:

i) aplicando-se a propriedade da multiplicação por exponencial para os sinais singulares un(t) (degrau, rampa, etc.) divididos por n! pois,

ou, alternativamente, i) aplicando-se recursivamente a propriedade do sinal multiplicado por t para o sinal exponencial.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

Exemplo 8.12:

Sinais oscilatórios amortecidos do tipo seno ou co-seno multiplicados por exponenciais decrescentes são comuns em sistemas estáveis.

Considere o caso do seno amortecido:

xሺtሻൌeିୟ୲·sen ωt·uଵሺtሻ

Fig. 8.15 – O sinal oscilatório amortecido xሺtሻൌ݁ିୟ୲·senሺωtሻ·uଵሺtሻ.

Aplicando-se a propriedade do sinal multiplicado por exponencial facilmente obtêmse:

Xሺsሻ ൌ ω

ሺs൅aሻଶ൅ωଶ

Considere agora o caso do co-seno amortecido:

xሺtሻൌeିୟ୲·cos ωt ·uଵሺtሻ

Aplicando-se novamente a propriedade do sinal multiplicado por exponencial facilmente obtêm-se:

Xሺsሻ ൌ ሺs ൅ aሻ

ሺs൅aሻଶ൅ωଶ

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

8.6 – Tabela da Transformada de Laplace de alguns sinais contínuos conhecidos

Tab. 8.1 – Resumo das principais Transformadas de Laplace das últimas duas secções x(t) X(s) = L { x(t) } x(t) = uo(t) Xሺsሻൌ1 x(t) = u1(t) Xሺsሻൌ 1s

sଶ x(t) = u2(t) Xሺsሻൌ 1 sଷ x(t) = un(t) Xሺsሻൌ 1

x(t) = e –at ⋅ u1(t) Xሺsሻൌ 1

ሺs ൅ aሻ

ሺs൅aሻଶ

ሺs൅aሻଷ

ሺs൅aሻସ x(t) = tn⋅e –at ⋅ u1(t) Xሺsሻൌ n!

ሺs൅aሻ୬ାଵ x(t) = sen ωt ⋅ u1(t) Xሺsሻൌ ω sଶ൅ωଶ x(t) = cos ωt ⋅ u1(t) Xሺsሻൌ s sଶ൅ωଶ x(t) = e -at⋅sen ωt ⋅ u1(t) Xሺsሻൌ ω

ሺs൅aሻଶ൅ωଶ x(t) = e -at⋅cos⋅ωt ⋅ u1(t) Xሺsሻൌ s൅a

ሺs൅aሻଶ൅ωଶ

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