Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace

(Parte 6 de 8)

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

8.8 – Transformada Inversa de Laplace

Nesta secção vamos desenvolver as técnicas de encontrar o sinal x(t) cuja Transformada de Laplace X(s) é conhecida. Ou seja, vamos calcular a Transformada inversa de Laplace de X(s).

L ିଵ ሾ Xሺsሻሿൌxሺtሻ

As Transformadas de Laplace dos principais sinais de interesse para sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) vêm em forma de uma fracção racional, ou seja, uma fracção do tipo:

୯ሺୱሻ eq. (8.5) onde p(s) e q(s) são polinómios.

Conforme podemos observar na tabela 8.1 da secção anterior, as Transformadas de Laplace de muitos sinais conhecidos vêm todas na forma eq. (8.5) onde p(s) e q(s) são polinómios.

Note que na tabela 8.1 da secção anterior em muitos casos p(s), o polinómio do denominador, tem apenas o termo independente (i.e., uma constante)

p(s) = 1, p(s) = 2, p(s) = 3!, p(s) = n!,ou p(s) = ω.
p(s) = sou p(s) = (s + a).

Em outras situações p(s) é um polinómio do primeiro grau:

Sinais mais complexos, que são combinação linear de sinais que aparecem na tabela 8.1, também apresentam transformadas do tipo eq. (8.5) e devem ser desmembrados em fracções racionais menores para obtermos a transformada inversa.

Esse processo de desmembrar a fracção eq. (8.5) é chamada de expansão em fracções racionais. Vamos apresentar com exemplos os 3 casos de expansão em fracções racionais.

Conforme já vimos no capítulo 7 (secção 7.3) se a fracção racional da eq. (8.5) é a função de transferência de um sistema, então as raízes do polinómio q(s) são chamadas de pólos. Os 3 casos que veremos são: pólos reais e distintos, pólos complexos e pólos múltiplos. Os demais casos serão apenas combinações destes 3 casos.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

Caso 1 – pólos reais e distintos:

No caso de pólos reais e distintos s = a, s = b, q(s) pode ser factorado em qሺsሻൌ ሺs൅aሻ·ሺs൅bሻ … e a expansão em fracções racionais deve ser da seguinte forma:

ሺୱାୠሻ ൅ … eq. (8.6)

Caso 2 – pólos complexos conjugados:

No caso de pólos complexos conjugados, então q(s) pode ser expresso como:

qሺsሻൌ ሺasଶ൅bs൅cሻ… com Δൌሺbଶെ4acሻ൏0 e a expansão em fracções racionais deve ser da seguinte forma:

୯ሺୱሻ ൌ AୱାB ሺୟୱమାୠୱାୡሻ ൅ … eq. (8.7)

Caso 3 – pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.):

No caso de pólos múltiplos (i.e., pólos duplos, triplos, etc.), então q(s) pode ser expresso como:

qሺsሻ ൌ ሺs൅aሻଷ … e a expansão em fracções racionais deve ser da seguinte forma:

ሺୱାୟሻ ൅ … eq. (8.8)

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

Uma vez escrita nas formas eq. (8.6), eq. (8.7) e eq. (8.8), ou combinações destas, torna-se fácil achar a transformada inversa de Laplace com o uso da propriedade da linearidade e da tabela 8.1 fracção a fracção.

Por exemplo, no caso da eq. (8.6):

ሺs൅a ሻ ൨ൌ A·݁ିୟ୲

ሺs൅b ሻ ൨ൌ B·݁ିୟ୲

No caso da eq. (8.7), ela pode ser reescrita como

ሺasଶ ൅b s൅c ሻ ൌ

ሺasଶ ൅b s൅c ሻ ൅

ሺasଶ ൅b s൅c ሻ

ൌ As

ሺs൅αሻଶ൅ωଶ ൅ ቀBωቁ·ω ሺs൅αሻଶ൅ωଶ e o cálculo das transformadas inversas

L ିଵ൤ As

ሺs൅αሻଶ൅ωଶ൨ e L ିଵቈ

Bω⁄ ሺs൅αሻଶ൅ωଶ቉ não é difícil de ser feito dando como resultado sinais do tipo xሺtሻൌA·eିୟ୲·cos ωt·uଵሺtሻ e xሺtሻ ൌ B ω ·eିୟ୲·sen ωt·uଵሺtሻ respectivamente.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

No caso da eq. (8.8): ڭ

ሺs൅a ሻଷ൨ൌ A

2 ·tଶ·eିୟ୲

ሺs൅aሻଶ൨ൌB·t·eିୟ୲

ሺs൅a ሻ ൨ൌC·eିୟ୲

Exemplo 8.13:

Xሺsሻ ൌ s൅3

ሺs൅1 ሻሺs ൅ 2ሻ

Este é um caso de pólos reais e distintos. Para achar a transformada inversa de Laplace de X(s) fazemos a expansão em fracções racionais:

Xሺsሻ ൌ A

ሺs൅1 ሻ ൅

(Parte 6 de 8)

Comentários