Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace

(Parte 7 de 8)

ሺs൅2 ሻ

ൌ ሺA ൅ Bሻs ൅ ሺ2A ൅ Bሻ

ሺs൅1 ሻሺs൅2 ሻ e igualando o numerador ሺA ൅ Bሻs ൅ ሺ2A ൅ Bሻ com (s + 3), o numerador de X(s), temos que cuja solução é dada por

Aൌ2 Bൌെ1 e portanto,

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace xሺtሻ ൌ L ିଵ൤ 2

ሺݏ ൅ 1ሻ ൨ ൅ L ିଵ൤

Exemplo 8.14:

Xሺsሻ ൌ 2sଶ ൅7 s൅7

ሺs൅1 ሻሺs ൅ 2ሻ

Aqui observamos que grau denominador e do numerador são o mesmo. Então, dividindo-se facilmente obtemos que

ሺs൅1 ሻሺs ൅ 2ሻ mas L ିଵሾ 2ሿൌ2·u଴ሺtሻ

L ିଵቈ ሺs൅3 ሻ

ሺs൅1 ሻሺs൅2 ሻ ቉

Exemplo 8.15:

Xሺsሻ ൌ s൅1 sሺsଶ ൅s൅1 ሻ

Este é um caso de combinação de um pólo real distinto (s = 0) e um par de pólos complexos. Para achar a transformada inversa de Laplace de X(s) fazemos a expansão em fracções racionais:

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

Xሺsሻൌ A s ൅ sଶ ൅s൅1

ൌ ሺA൅B ሻsଶ ൅ሺA൅C ሻs൅A sሺsଶ ൅s൅1 ሻ e igualando o numerador ሺB൅Aሻsଶ൅ሺC൅Aሻs൅A com (s + 1), o numerador de X(s), temos que

A൅Cൌ1 Aൌ1 cuja solução é dada por

e portanto,

Xሺsሻൌ 1 s ൅ sଶ ൅s൅1

ൌ 1

s െ logo xሺtሻ ൌ L ିଵ൤ 1 s ൨ െ L ିଵ

ൌ L ିଵ൤ 1 s ൨ െ L ିଵ e usando a tabela 8.1 facilmente encontramos:

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

2 t൅

Exemplo 8.16:

Xሺsሻ ൌ sଶ ൅2 s൅3

Este é um caso de um pólos múltiplos (s = 1, triplo neste caso). Para achar a transformada inversa de Laplace de X(s) fazemos a expansão em fracções racionais:

Xሺsሻൌ A

ൌ A൅B ሺs൅1 ሻ ൅C ሺs ൅1 ሻଶ

ൌ ሺA൅B൅C ሻ൅ሺ B൅2Cሻs൅C sଶ

e igualando o numerador ሺA൅B൅Cሻ൅ሺB൅2Cሻs൅Csଶ com o numerador de X(s) temos que

cuja solução é dada por

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace e portanto,

Xሺsሻൌ 2

cuja transformada inversa é:

xሺtሻൌL െ1൤ A

8.9 – Solução de equações diferenciais ordinárias (EDO) usando Transformada Laplace

As Transformadas de Laplace são muito úteis na resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) transformando-as em equações algébricas no domínio ‘s’ (também chamado “domínio da frequência”) de fácil solução. O principal problema deixa de ser a equações diferenciais e passa a ser a transformada inversa de Laplace.

Exemplo 8.17:

Considere a equação diferencial ordinária (EDO) com x(t) = u1(t) = degrau unitário e condições iniciais nulas, isto é, y(0)=0 e y’(0)=0:

y’’ + 3y(t) = 2x(t) eq. (8.8) y(0)=0 e y’(0)=0 x(t) = u1(t) = degrau unitário Fazendo-se a Transformada de Laplace dos termos da eq. (8.8) obtém-se:

sଶYሺsሻ൅ 3YሺsሻൌXሺsሻൌ 2· 1

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace e portanto,

ሺsଶ൅3ሻ Yሺsሻൌ 2 que é uma equação algébrica em ‘s’ e cuja solução é:

s ሺsଶ൅3ሻ

Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a transformada inversa de Laplace de Y(s).

yሺtሻൌ L െ1ሾYሺsሻሿ

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