Cinemática do escoamento de fluidos 87

CAPÍTULO 3 Cinemática do escoamento de fluidos

3.1- Descrição Eulereana e Lagrangeana de um escoamento

Há duas maneiras de analisar/descrever em termos cinemáticos e dinâmicos o escoamento de um fluido. Uma, a chamada Eulereana, descreve todo o campo de escoamento quer em termos de velocidade ()tzyxfv,,,=, quer em termos de pressão

()tzyxfp,,,=. Outra, a chamada Lagrangeana descreve o escoamento de uma partícula de fluido no espaço e no tempo. Comparemos estas duas formas de descrever o escoamento, com duas formas de descrever o tráfego numa auto-estrada. Um certo comprimento de auto-estrada é seleccionado para sistema. Num dado intervalo de tempo muitos carros não identificados entram e saem do sistema. Se o controlador de tráfego ignorar a identidade dos carros e preocupar-se com a velocidade dos carros que passam em determinados locais ao longo do tempo, ele está a descrever o tráfego tomando uma aproximação Eulereana. Ao invés se o controlador estiver interessado na velocidade e posição no sistema ao longo do tempo de um carro identificado, ele está a descrever o tráfego tomando uma aproximação Lagrangeana.

Um outro exemplo elucidativo é o da descrição do campo de temperatura de um rio onde, num certo local, há uma fonte emissora que lança líquido a uma temperatura

Cinemática do escoamento de fluidos 8 elevada. Se forem colocados em vários pontos, ao longo do rio, instrumentos de medida fixos e a temperatura for registada ao longo do tempo em cada um desses pontos, é possível conhecer o campo de temperatura em cada instante. Este é o método de descrição Eulereano. Contudo, com este método, não se sabe qual a temperatura de uma partícula de fluido ao atravessar aquele campo. Para tal, conhecido o campo de temperatura em cada instante, seria necessário conhecer a localização da partícula em função do tempo. Se em vez de instrumentos de medida em vários pontos, for colocado um instrumento de medida “preso” a uma partícula (ou mais partículas), obtém-se a descrição da temperatura da partícula em função do tempo. Este é o método de descrição Lagrangeano. O campo de temperatura não seria conhecido, a menos que se soubesse a localização das partículas ao longo do tempo. A descrição Eulereana é habitualmente usada na maior parte dos estudos em Mecânica de Fluidos. Contudo, há casos em que a Lagrangeana permite um maior conhecimento, por exemplo, quando se injecta no sangue uma partícula colorida cujo trajecto ao longo do corpo pode ser seguido por instrumentação exterior. Neste caso estuda-se o fluxo sanguíneo por um método Lagrangeano.

3.2- Campo de velocidade

Determinar o campo de velocidade ()tzyxfv,,,= é muitas vezes resolver integralmente um problema de escoamento de um fluido, já que o conhecimento de outras propriedades decorre deste, por exemplo, o conhecimento do campo de pressão. A velocidade é como se sabe uma grandeza vectorial.

Outras propriedades cinemáticas são deriváveis matematicamente partindo do conhecimento do campo de velocidade, tais como o vector deslocamento e o vector aceleração

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3.3- Campo de aceleração Por definição o vector aceleração traduz a variação do vector velocidade com o tempo:

tzzvtyyvtxxvtvt v a d ∂ ou

zyx v z v v v v xvtvt v a

As diferentes parcelas do vector aceleração são usualmente designadas por:

- aceleração total ou substancial (derivada total ou substancial)- v ou tv DDd

- aceleração local (derivada local)- ∂ t v

- aceleração convectiva.- ∂ v v v v vzyx

Recorrendo ao operador gradiente:

kkyjxi ∂ e ao produto interno de vectores, o termo da aceleração convectiva toma a seguinte forma:

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v v v v

vzyx(3.5)

O vector aceleração pode assim ser escrito de uma forma mais compacta:

tvt

A mesma simbologia pode ser usada para descrever a variação no espaço e no tempo de outras propriedades contínuas de um fluido (quer escalares, quer vectoriais), por exemplo, a propriedade escalar temperatura - ( )tzyxT ,,,f=

A variação total ou substancial da temperatura em ordem ao tempo é dada por:

(3.7)

Para perceber o significado físico destas derivadas, retome-se o exemplo do rio com uma fonte emissora de água quente num dado ponto bem localizado. Comece-se por supor que a fonte emissora lança água sempre à mesma temperatura, que as condições exteriores não se alteram ao longo do tempo, e que a velocidade do rio em cada ponto é constante ao longo do tempo. Pretende-se saber a variação total de temperatura. Se for seguida uma aproximação Eulereana, mergulha-se o medidor de temperatura num ponto, ou vários medidores em vários pontos, e mede-se a temperatura ao longo do tempo. Conclui-se que ao longo do tempo a temperatura não varia num ponto, mas que é diferente de ponto para ponto. Em termos físicos, o campo de temperatura é estacionário, mas não uniforme. Em termos matemáticos, a derivada local da temperatura é nula, mas a derivada total não:

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T mas 0D

E como conhecer a derivada convectiva? Seguindo uma aproximação Lagrangeana, colocam-se dois medidores, um de temperatura e outro de velocidade (direcção, sentido e intensidade), “presos” a uma partícula (ou mais), e regista-se a temperatura e a velocidade durante o tempo que a partícula demora a atravessar o campo estacionário mas não uniforme. Destas medições obtém-se informação que permite calcular a derivada convectiva da temperatura da partícula nos pontos por onde passou:

T.v z

T v

T v

Percebe-se agora que se chama derivada convectiva por estar associada ao escoamento do fluido. Resta abordar o caso de a fonte emissora lançar líquido a uma temperatura que varia ao longo do tempo. Neste caso, a temperatura no campo além de não ser uniforme, varia em cada ponto com o tempo, i.e, em cada instante há um campo de temperatura diferente. A variação da temperatura de uma partícula ao atravessar o campo tem de ser calculada pela soma da variação local com a variação convectiva:

T v

T v

T v tTtT zyx ∂

3.4- Visualização do campo de escoamento

3.4.1- Linhas de corrente, trajectórias, linhas de rasto e linhas do tempo

Embora o campo de velocidade (e de pressão) descreva de uma forma precisa um escoamento, foi necessário encontrar formas simples de o visualizar. A forma mais simples é seguir uma partícula de fluido ao longo (espaço e tempo) do seu escoamento, i.e., conhecer a sua trajectória.

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Outra, a mais usada, é através das chamadas linhas de corrente. Estas linhas são obtidas/desenhadas de forma a serem sempre tangentes aos vectores velocidade das partículas de fluido em escoamento num dado instante.

Linhas de corrente

Num escoamento estacionário a orientação das linhas de corrente é fixa no tempo e as trajectórias das partículas coincidem com as linhas de corrente. Num escoamento não estacionário as linhas de corrente são somente uma representação instantânea do campo de escoamento, não havendo correspondência entre as linhas de corrente e a trajectória das partículas.

As linhas de corrente em torno de uma área infinitesimal formam um tubo, designado por tubo de corrente. Por definição de linha de corrente, não há saída de partículas de fluido através das paredes laterais de um tubo de corrente.

Tubo de corrente

Outra forma de visualizar um escoamento, além das linhas de corrente e das trajectórias das partículas de fluido, é através das chamadas linhas de rasto e das linhas de tempo.

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A linha de rasto é o lugar geométrico das partículas que passaram (em instantes anteriores) por um dado ponto de coordenadas ()00y,x.

A linha de tempo é "desenhada" unindo, num dado instante, um conjunto de partículas do fluido. O escoamento é visualizado seguindo em instantes sucessivos a evolução desta linha no espaço.

Em escoamentos estacionários as linhas de corrente, as trajectórias e as linhas de rasto coincidem.

As linhas de corrente podem ser calculadas analiticamente partindo do conhecimento do campo de velocidade. Considere-se um vector velocidade → v tangente ao arco de comprimento infinitesimal rδ desenhado ao longo da linha de corrente.

y δy δzδr δx vx vy

Por condições de proporcionalidade:

vrvzvyvx zyx

Cinemática do escoamento de fluidos 94 ou

yxvvy zxvvz zyvvz

A expressão analítica das linhas de corrente obtém-se integrando as equações anteriores, por simples separação de variáveis, tomando t constante. Para tal é necessário conhecer, quer o campo de velocidade, quer as coordenadas de um ponto da linha de corrente,

()000z,y,x. Como exemplo, pretende-se calcular e desenhar as linhas de corrente de um campo de velocidade que é expresso analiticamente por:

t x

O escoamento é bidimensional ()0=zv, pelo que as linhas de corrente são paralelas ao plano xy. É igualmente um escoamento dependente do tempo, i.e., não estacionário.

y t x xtyy t x y y

t xxvvy yyx xy

→=

ou n

0com

t n

Esta é a equação das linhas de corrente que passam por ()00y,x ao longo de t . Na figura seguinte podem observar-se as partículas de fluido a deslocarem-se no tempo para a direita.

Cinemática do escoamento de fluidos 95 t = 0 t crescente

A trajectória da partícula que no instante t = 0 passou no ponto de coordenadas ()00y,x não coincide no estado não-estacionário com a linha de corrente para t = 0. A equação desta trajectória pode ser calculada:

x v

tx x + y v

Integrando obtém-se:

No instante t = 0 a partícula de fluido passa pelo ponto de coordenadas ()00y,x pelo que, 0021CeCyx== . Eliminando t das equações anteriores resulta:

Esta é a equação da trajectória da partícula que passa no ponto ( )0 y,x no instante

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A equação da linha de rasto das partículas que passaram no ponto ()00y,x em instantes anteriores a 0t pode ser igualmente calculada.

Designem-se os instantes anteriores a 0t por ζ, pelo que a condição inicial é dada por

x v

tx x + y v

Integrando entre ζ e 0t:

= ζt y

Estas são as equações da linha de rasto das partículas de fluido que passaram no ponto

()00y,x em instantes 0t<ζ . A linha de rasto pode ser traçada fixando 0t e dando valores a ζ. Alternativamente, pode-se eliminar ζ resultando:

x t

A figura seguinte mostra a linha de corrente que passa no ponto ()00y,x no instante

0=t, a trajectória da partícula de fluido que passou no instante 0=t no ponto ()00y,x e a linha de rasto das partículas que em instantes anteriores a 0=t passaram no ponto

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Linha de corrente Trajectória

Linha de rasto

3.3- Vectores velocidade e aceleração ao longo de uma linha de corrente

Num escoamento estacionário, o vector velocidade é tangente à linha de corrente e a sua intensidade pode ser expressa em termos do comprimento da linha de corrente,sδ, percorrido pelo elemento de fluido no intervalo de tempo tδ.

t s vs d

=(3.10)

em que sv representa a velocidade na direcção da linha de corrente. A componente numa outra qualquer direcção é obtida projectando sv segundo essa direcção.

Por definição, a aceleração de uma partícula de fluido na direcção tangencial à linha de corrente é dada por:

t va s s d

Além da componente tangencial, há a componente normal do vector aceleração. A componente tangencial expressa a variação da intensidade do vector velocidade, enquanto que a componente normal traduz a mudança de direcção deste vector.

Cinemática do escoamento de fluidos 98 a as

Para exprimir as componentes do vector aceleração, considerem-se as linhas de corrente representadas na figura seguinte, as quais não são nem rectas nem estão equidistantes. No intervalo de tempo tδ uma partícula de fluido percorre uma distância sδ ao longo da linha de corrente central e a sua velocidade varia tanto em intensidade como em direcção. A variação de intensidade é traduzida pelo aproximar das linhas de corrente.

A variação da intensidade ao longo de sδ é dada por:

s v s δ=δ d

Mas tvssδ=δ logo:

v a v v t v s dd21ddd

=→=(3.13)

d 2 Esta equação exprime a componente tangencial da aceleração.

δs R v + vsδ vs δvs δvn δv v + vsδ

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Aplicando o mesmo raciocínio para a componente normal da velocidade resulta:

v v v s s v ns n d

=→δ=δ(3.14)

d Recorrendo à figura anterior:

snsn s n vsvvv v

tantanββ(3.15)

Substituindo na equação anterior obtém-se:

a=(3.16)

sn v em que R representa o raio de curvatura da linha de corrente. O vector aceleração nas coordenadas da linha de corrente é dado por:

v va s

s R2d

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3.4-Exemplos propostos de aplicação

3.1- O campo de velocidade de um escoamento é dado por ( )( )→→→ +−+=jyxxixv11.

Desenhe a linha de corrente que passa no ponto ()00y,x e compare-a com a linha de rasto das partículas que passam nesse ponto.

3.2- O campo de velocidade de um escoamento no plano xy é dado por: sm6,m/s3==yxvv para s20s0<<t e m/s0,m/s4=−=yxvv para .s40s20<≤t

Se a partir do instante 0=t se injectar tinta no ponto de coordenadas ( )0=== zyx desenhe:

a- As trajectórias de duas partículas de fluido que passam na origem, respectivamente nos instantes s0=t e s20=t.

b- As linhas de corrente que passam no ponto ()0===zyx nos instantes s10=t e

3.3- Um fluido está em escoamento em torno de uma esfera tal como mostra a figura.

Longe da esfera a velocidade é m/s300=v, e na zona frontal da esfera é θsen 23 0vv=.

Determine as componentes normal e tangencial da aceleração no ponto A sabendo que o raio da esfera é 0,20 m.

Rv v0 A

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