Analise Descritiva de series temporais

Analise Descritiva de series temporais

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Departamento de Matem atica

Universidade do Minho 2005/2006

S eries Temporais Licenciatura em Matem atica

I. An alise descritiva

Cronograma - representa c~ao gr a ca de uma s erie temporal marcando os tempos no eixo das abcissas e os valores observados no eixo das ordenadas.

O primeiro passo na an alise de uma s erie temporal e fazer o cronograma. Permite veri car a presen ca de:

• descontinuidades (por exemplo, mudan cas de n vel) observa c~oes discordantes (outliers) mudan cas do n vel m edio (movimentos suaves) ao longo do tempo - tendencia varia c~oes peri odicas (por exemplo relacionados com as esta c~oes do ano ou as horas do dia) - sazonalidade ou estacionalidadade altera c~oes da variancia - heteroscedascidade outros movimentos oscilat orios sem periodicidade de nida ou de ciclo longo, por isso muitas vezes dif ceis de deparar da tendencia (por exemplo resultantes dos ciclos econ omicos)

Componentes determin sticas, explic aveis por fen omenos f sicos podem e devem ser retiradas! A componente estoc astica, de natureza aleat oria que n~ao pode ser explicado por nenhuma varia c~ao das anteriores e chamada de res duo, componente irregular ou err atica.

No cronograma da Figura 1 est a representada uma s erie com descontinuidade e na Figura 2(a) uma s erie com um outlier resultante de um erro de transcri c~ao. Corrigindo o erro, o cronograma obtido e representado na Figura 2(b), sendo facilmente se identi ca uma tendencia crescente. O cronograma da Figura 3 apresenta uma not oria varia c~ao sazonal com heteroscedascidade.

O agregado ou popula c~ao a que se refere o fen omeno medido deve ser suposto constante ao longo do tempo. Para tal muitas vezes e necess ario normalizar a medi c~ao pelo n umero de elementos ao tempo da observa c~ao, por exemplo considerando o valor per capita. Preferencialmente as observa c~oes seriam sempre igualmente espa cadas (intervalos de tempo iguais

Figura 1: Produ c~ao de cerveja na Austr alia (Fonte: Hyndman, R.J. (n.d.) Time Series Data Library, http://w-personal.buseco.monash.edu.au/ hyndman/TSDL/. Acedido a 10 de Fevereiro, 2006).

entre observa c~oes ou acumulados relativos a per odos da mesma dura c~ao), mas per odos n~ao exactamente iguais como o mes ou o trimestre s~ao utilizados com frequencia. Para efeitos de compara c~ao de valores pode ser conveniente corrigir as observa c~oes pelo per odo a que se referem, por exemplo dados mensais podem ser divididos pelo numero efectivo de dias (ou dias uteis) no mes e multiplicados por 365/12. Um exemplo desta correc c~ao e apresentado na Figura 4

(a) s erie com erro de transcri c~ao

(b) s erie corrigida

Figura 2: Cronograma da s erie discreta do acumulado anual das entradas de cidad~aos espanh ois em territ orio portugues (Fonte: Instituto Nacional de Estat stica - Portugal).

Figura 3: Cronograma das vendas mensais de Champanhe (Fonte: Hyndman, R.J. (n.d.) Time Series Data Library, http://w-personal.buseco.monash.edu.au/ hyndman/TSDL/. Acedido a 10 de Fevereiro, 2006)

(a) s erie original

(b) s erie corrigida

Figura 4: Cronograma da produ c~ao mensal de leite por vaca. (Fonte: Hyndman, R.J. (n.d.) Time Series Data Library, http://w-personal.buseco.monash.edu.au/ hyndman/TSDL/. Acedido a 10 de Fevereiro, 2006) Cryer (1986).

onde T(t) e a componente da tendencia, S(t) e a componente sazonal de per odo s conhe-

componente aleat oria (res duo com S["(t)] = 0). As componentes consideradas no modelo da equa c~ao (1)podem combinar-se de duas maneiras em cada s erie em particular.

No modelo aditivo as componentes sazonais e c clicas s~ao identicas ao longo do tempo. No entanto e frequente encontra s eries em que existe interac c~ao entre a tendencia e sazonalidade (heteroscedascidade), por exemplo em que o efeito sazonal aumenta com o n vel m edio. Neste caso estamos perante um modelo multiplicativo. Como e habitual utilizar uma transforma c~ao logar tmica para transformar s eries seguindo um modelo multiplicativo em modelo aditivo. Um exemplo desta transforma c~ao e apresentado na Figura 5.

Considerando apenas o modelo aditivo da equa c~ao 2, as componentes n~ao estoc asticas podem ser estimadas/eliminadas utilizando m etodos diversos.

1.1 Estima c~ao/elimina c~ao da tendencia na ausencia de sazonalidade Seja x(t) uma s erie com tendencia T(t) dominante, sem componentes sazonais ou c clicas:

O m etodo funcional para a determina c~ao de T(t) numa s erie deste tipo consiste em assumir um modelo determin stico para a tendencia, por exemplo utilizando regress~ao polinomial,

Dever a ser escolhido o modelo que melhor se ajusta a s erie em an alise. Assumido o modelo, as estimativas para os parametros (no no caso polinomial, os valores ai;i = f1;:::;ng), podem ser obtida utilizando o m etodo dos m nimos quadrados.

E ainda poss vel a utiliza c~ao de regress~ao local ou rectas m oveis em que rectas T(t) = a1 + a2t

(a) Modelo multiplicativo

(b) Modelo aditivo

Figura 5: a)Cronograma do total de passageiros transportados em voos internacionais entre Janeiro de 1949 a Dezembro 1960; b) Cronograma do logaritmo natural dos dados usados em a) [Fonte: Hyndman, R.J. (n.d.) Time Series Data Library, http://wpersonal.buseco.monash.edu.au/ hyndman/TSDL/. Acedido a 13 de Fevereiro, 2006; Fonte original: Box & Jenkins (1976), O.D. Anderson (1976) and O’Donovan(1983)].

s~ao ajustadas a cada sec c~ao da s erie.

Um m etodo alternativo ao anterior e a utiliza c~ao de amaciamento n~ao param etrico. O m etodo das m edias m oveis de ordem k e um caso particular de m etodos de amaciamento utilizando ltros lineares. T(t) e estimada como a s erie amaciada numa janela de tamanho 2k + 1 centrada em t, em que as vari c~oes r apidas foram removidas. No caso mais simples a tendencia estimada por m edia m oveis e dada por

O tamanho da janela (2k + 1) deve ser escolhido de forma a que T(t) seja aproximadamente linear em cada janela, caso contrario T(t) n~ao e uma boa estimativa de T(t). No caso da equa c~ao 7 todos as observa c~oes na janela tem igual peso na m edia. Um maior amaciamento e conseguindo utilizando uma maior janela ou m edias m oveis pesadas

Note-se que, como o valor T(t) depende de x(t k) e de x(t+k), T(t) s o pode ser estimada para k < t < N k, para bN o n umero de observa c~oes (efeito fronteira da ltragem). Existem v arios m etodos para estimar os valores nas fronteiras, que n~ao podem ser calculados directamente (como por exemplo completar o sinal para o passado/futuro considerando simetria, ou zeros). A solu c~ao mais imediata e rejeitar estas observa c~oes, o que poder a ser aceit avel se o objectivo da an alise for apenas a descri c~ao e a caracteriza c~ao da s erie observada e n~ao a previs~ao de valores futuros.

Um m etodo alternativo de ltragem que evita os problemas de fronteira e a utiliza c~ao de ltros assim etricos, tal que o valor T(t) dependa apenas das observa c~oes passadas e presente.da apenas das observa c~oes passadas e presente. O chamado m etodo de amaciamento exponencial e um ltro deste tipo. Sendo ainda uma m edia m ovel pesada, neste caso a janela n~ao tem um tamanho xo pois todas as observa c~oes anteriores a x(t) s~ao consideradas com pesos que decrescem exponencialmente com a antiguidade

A tendencia de pode ainda ser removida por diferencia c~ao. Seja o operador atraso B de nido como Bx(t) = x(t − 1), o operador 1as-diferen cas ou diferen cas e ordem 1 (5x(t)) e dado por (1 B) ou seja

O operador da d- esima diferen ca ou diferen ca de ordem d corresponde a 5d = (1 B)d Uma tendencia polinomial de ordem d pode ser reduzida a uma constante por aplica c~ao de 5d.

Depois de estimada a tendencia esta pode ser retirada do modelo assumida no equa c~ao (4), obtendo-se a s erie residual estimada

1.2 Estima c~ao/elimina c~ao de componentes sazonais e/ou c clicas na ausencia de tendencia

Caso a componente dominante da s erie seja sazonal e na ausencia de tendencia relevante, ou seja considerando uma s erie temporal uma forma de estimar S(t) e a utiliza c~ao de uma regress~ao em termos de polin omios trigonom etricos

em que s e o per odo de sazonalidade, por exemplo s = 12 ou s = 365 para per odos anuais ou di arios, respectivamente. Caso a componente sazonal tenha v arios per odos s1;s2;:::;sk, a equa c~ao (13) pode ser generalizada como

sj + a2;j sin

A componente sazonal pode tamb em ser removida por diferencia c~ao, aplicando o operador da s- esima diferen ca ou diferen ca de ordem s

Assumindo que a componente sazonal e estritamente peri odica e constante e poss vel

A estimativa da componente sazonal vem

Se a s erie x(t) tem ciclos sazonais incompletos (por exemplo, numa s erie de pluviosidade mensal inicia num mes de Mar co e termina num mes de Novembro) a equa c~ao (17) ter a de ser ajustada, j a que m varia com o valor de k.

1.3 Estima c~ao/elimina c~ao de tendencia e sazonalidade Em s eries apresentado tendencia e componentes sazonais

E ainda poss vel a utiliza c~ao dos m etodos descritos para estima c~ao/elimina c~ao da tendencia mas s~ao requeridas algumas adapta c~oes.

Utilizando diferencia c~ao aplicando o operador da s- esima diferen ca (5s) e muitas vezes su ciente para eliminar tendencia e sazonalidade. Noutros casos e necess ario aplicar tamb em o operador da d- esima diferen ca

1. Estima c~ao preliminar da componente tendencia por ciclo T[1](t) utilizando o m etodo das m edias m oveis. Para N e o n umero de observa c~oes se o per odo sazonal for mpar, utiliza-se uma m edia m ovel simples com janela de tamanho s

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