modelaçao de series temporais

modelaçao de series temporais

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Departamento de Matem atica

Universidade do Minho 2005/2006

S eries Temporais Licenciatura em Matem atica

IV. Modelac ~ao de s eries temporais Primeira parte - Modelos Lineares

O modelo mais simples que vamos considerar e o ru do branco, ou seja o processo puramente aleat orio que consiste numa sequencia de vari aveis aleat orias w(t), mutuamente independentes e identicamente distribu das. O processo e desprovido de mem oria. Tem-se:

Para al em de ser (fracamente) estacion ario de segunda ordem, a independencia m utua implica que o processo e tamb em estritamente estacion ario. Frequentemente se de ne w = 0 (ru do com m edia zero) e/ou w(t) com distribui c~ao normal (ru do gaussiano).

N~ao sendo particularmente interessante como modelo para uma s erie temporal por si s o, o processo puramente aleat orio e o elemento base de constru c~ao de modelos mais complexos. Se existe dependencia entre as vari aveis aleat orias referentes a tempos sucessivos, ent~ao pode entender-se um processo estoc astico como o resultado de sucessivos choques aleat orios ou inova c~oes causadas por um ru do branco.

1 Processos m edia m ovel (MA - moving average)

processo.

Processos MA s~ao usados em areas diversas e na econometria em particular. Por exemplo, indicadores econ omicos s~ao afectados por acontecimentos diversos (inova c~oes) como decis~oes pol ticas, greves, crises de mat erias primas, e outros, cujos efeitos se far~ao sentir durante algum tempo para al em do imediato.

Tem-se:

• µx = 0 (note-se que para obter um processo com m edia x 6= 0 bastar a adicionar essa constante no lado direito da equa c~ao (1) o que n~ao afecta a FACov)

Assim, um processo m edia m ovel de ordem nita q e estacion ario de segunda ordem. A queda brusca da FAC a partir da ordem q e uma caracter stica dos processos MA(q). A FACP e calculada a partir da FAC e tende para zero de forma exponencial ou de uma sinus oide amortecida. Se o ru do branco gerador do processo for gaussiano, ent~ao x(t) e tamb em gaussiano e e estacion ario em sentido estrito.

Se o processo MA n~ao tiver ordem nita (MA(1)) estamos perante um processo linear geral

Neste caso as express~oes acima para a FACov e para a FAC envolvem somas in nitas e para que um processo linear geral tenha fun c~ao de autocovariancia (e de autocorrela c~ao) nita e necess ario que seja convergente s erie 1X

As equa c~oes lineares as diferen cas como a apresentada em (2) para de nir um processo MA(1) desempenham um papel importante no estudo de modelos para s eries temporais. Para B o operador atraso, tal que Bjx(t) = x(t j), uma equa c~ao linear as diferen cas de q- esima ordem pode ser escrita como

com C(B) um polin omio em B de ordem q e cp 6= 0. A equa c~ao pode ser normalizada de forma

Sabe-se que:

Um processo estoc astico e invert vel se a inova c~ao w(t) pode ser expressa como a soma convergente dos valores presente e passados de x(t), ou seja

i=0 izi

No caso de um processo MA(q) tem-se

Tratando B como vari avel complexa e n~ao como operador, x(t) e invert vel se as ra zes da equa c~ao auxiliar (B) = 0 est~ao fora do circulo unit ario (m odulo maior do que 1).

A invertibilidade de um processo MA signi ca que este pode ser reescrito na forma de uma regress~ao nos seus valores passados ou autoregress~ao (AR), possivelmente in nita (AR(∞)),

A condi c~ao de invertibilidade de um processo pode tamb em ser estabelecida em fun c~ao do

Note-se que um processo invert vel n~ao e necessariamente estacion ario! A convergencia de (3) e consequente estacionaridade de um processo (assim como FACov e FAC de nidas positivas) e garantida pela convergencia de P iBi para jBj 1.

Caso Particular - MA(1) Considere-se o processo dado por

correspondendo a um MA de ordem q = 1. Facilmente se veri ca a estacionaridade de x(t).

A FAC vem

Calculando a FACP tem-se

1 (1)
(2)

caso, note-se que como j ( )j < a 1 a FACP e limitada por uma exponencial amortecida, decaindo para zero com j j ) 1. Na Figura 1 s~ao apresentados exemplo de realiza c~oes de processos MA(1) com diferentes valores de a1. As respectivas respectivas FAC e FACP te oricas est~ao representadas na Figura 2.

4 Processos autorregressivos (AR)

Suponha-se que w(t) e ru do branco com m edia zero e variancia 2w. Um processo autorregressivo de ordem p ou AR(p) e dado por

Um processo AR e sempre invert vel. Tem-se que

em que f(B) e chamado o polin omio autorregressivo. Assim, a equa c~ao (24) que de ne um processo AR pode ser reescrita como um processo MA de ordem in nita com

0 x(t)=w(t)−0.2w(t−1) x(t)=w(t)+0.2w(t−1)

(b) x(t)=w(t)−0.8w(t−1)

(c) x(t)=w(t)+0.8w(t−1)

(d) Figura 1: Exemplos de realiza c~oes de processos MA(1) com diferentes valores de a1

Para avaliar a estacionaridade de um processo AR vamos primeiro considerar o caso de p = 1.

4.1 Processo Autorregressivo de ordem 1 - AR(1) Considere-se o processo dado por

1.0 x(t)=w(t)−0.2w(t−1)

lag

1.0 x(t)=w(t)+0.2w(t−1) lag

(b)

1.0 x(t)=w(t)−0.8w(t−1)

lag

(c)

1.0 x(t)=w(t)+0.8w(t−1) lag

(d) Figura 2: FAC e FACP de processos MA(1) com diferentes valores de a1

A express~ao (28) e uma solu c~ao particular de (26). Ent~ao a solu c~ao geral de (26) e dada por

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