modelaçao de series temporais, Notas de estudo de Matemática Computacional

Baixe modelaçao de series temporais e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Computacional, somente na Docsity! Departamento de Matemática Universidade do Minho 2005/2006 Séries Temporais Licenciatura em Matemática IV. Modelação de séries temporais Primeira parte - Modelos Lineares O modelo mais simples que vamos considerar é o rúıdo branco, ou seja o processo puramente aleatório que consiste numa sequência de variáveis aleatórias w(t), mutuamente independentes e identicamente distribúıdas. O processo é desprovido de memória. Tem-se: • µw constante • γw(τ) = { σ2w, τ = 0 0, τ = ±1 ,±2, . . . • ρw(τ) = { 1, τ = 0 0, τ = ±1 ,±2, . . . Para além de ser (fracamente) estacionário de segunda ordem, a independência mútua implica que o processo é também estritamente estacionário. Frequentemente se define µw = 0 (rúıdo com média zero) e/ou w(t) com distribuição normal (rúıdo gaussiano). Não sendo particularmente interessante como modelo para uma série temporal por si só, o processo puramente aleatório é o elemento base de construção de modelos mais complexos. Se existe dependência entre as variáveis aleatórias referentes a tempos sucessivos, então pode entender-se um processo estocástico como o resultado de sucessivos choques aleatórios ou inovações causadas por um rúıdo branco. 1 Processos média móvel (MA - moving average) Suponha-se que w(t) é rúıdo branco com média zero e variância σ2w. Um processo de média móvel de ordem q ou MA(q) é dado por x(t) = β0w(t) + β1w(t− 1) + . . .+ βqw(t− q) (1) para βi, i = 0, 1, . . . , q constantes. É habitual reescalar-se w(t) de forma a que β0 = 1. Note- se que o efeito da inovação w(t) faz-se sentir até ao instante x(t+ q) conferindo memória ao processo. Processos MA são usados em áreas diversas e na econometria em particular. Por exemplo, indicadores económicos são afectados por acontecimentos diversos (inovações) como decisões poĺıticas, greves, crises de matérias primas, e outros, cujos efeitos se farão sentir durante algum tempo para além do imediato. Tem-se: • µx = 0 (note-se que para obter um processo com média µx 6= 0 bastará adicionar essa constante no lado direito da equação (1) o que não afecta a FACov) • γx(τ) =    0, τ > q σ2w ∑q−τ i=0 βiβi+τ , τ = 0, 1, . . . , q γx(−τ), τ < 0 • ρx(τ) =          1, τ = 0 q−τ i=0 βiβi+τ q i=0 β 2 i , τ = 0, 1, . . . , q 0, τ > q ρx(−τ) τ < 0 Assim, um processo média móvel de ordem finita q é estacionário de segunda ordem. A queda brusca da FAC a partir da ordem q é uma caracteŕıstica dos processos MA(q). A FACP é calculada a partir da FAC e tende para zero de forma exponencial ou de uma sinusóide amor- tecida. Se o rúıdo branco gerador do processo for gaussiano, então x(t) é também gaussiano e é estacionário em sentido estrito. Se o processo MA não tiver ordem finita (MA(∞)) estamos perante um processo linear geral x(t) = β0w(t) + β1w(t− 1) + . . . = ∞ ∑ i=0 βiw(t− i) (2) Neste caso as expressões acima para a FACov e para a FAC envolvem somas infinitas e para que um processo linear geral tenha função de autocovariância (e de autocorrelação) finita é necessário que seja convergente série ∞ ∑ i=0 βiβi+τ (3) 2 Equações lineares às diferenças As equações lineares às diferenças como a apresentada em (2) para definir um processo MA(∞) desempenham um papel importante no estudo de modelos para séries temporais. Para B o operador atraso, tal que Bjx(t) = x(t− j), uma equação linear às diferenças de q-ésima ordem pode ser escrita como g(t) = c0z(t) − c1z(t− 1) − . . .− cqz(t− q), t ≥ q (4) = (c0z(t) − c1Bz(t) − . . .− cqB q)z(t) = C(B)z(t) 2 Calculando a FACP tem-se φ(1, 1) = ρ(1) = a1 1 + a21 = a1(1 − a 2 1) 1 − a41 (19) φ(2, 2) = ∣ ∣ ∣ ∣ 1 ρ(1) ρ(1) ρ(2) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 ρ(1) ρ(1) 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = − a2 1 (1+a2 1 )2 1 − a2 1 (1+a2 1 )2 = −a21 1 + a21 + a 4 1 = −a21(1 − a 2 1) 1 − a61 (20) φ(3, 3) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 ρ(1) ρ(1) ρ(1) 1 ρ(2) ρ(2) ρ(1) ρ(3) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 ρ(1) ρ(2) ρ(1) 1 ρ(1) ρ(2) ρ(1) 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = a3 1 (1+a2 1 )3 1 − 2 a2 1 (1+a2 1 )2 = a31 1 + a21 + a 4 1 + a 6 1 = −a31(1 − a 2 1) 1 − a81 (21) ... (22) φ(τ, τ) = −aτ1(1 − a 2 1) 1 − a 2(τ+1) 1 , τ ≥ 1 (23) Para que x(t) seja invert́ıvel (1 + a1B) = 0 ⇒ |B| > 1, ou seja ∣ ∣ ∣ − 1 a1 ∣ ∣ ∣ > 1 ⇔ |a1| < 1. Neste caso, note-se que como |φ(ττ)| < aτ1 a FACP é limitada por uma exponencial amortecida, decaindo para zero com |τ | ⇒ ∞. Na Figura 1 são apresentados exemplo de realizações de processos MA(1) com diferentes valores de a1. As respectivas respectivas FAC e FACP teóricas estão representadas na Figura 2. 4 Processos autorregressivos (AR) Suponha-se que w(t) é rúıdo branco com média zero e variância σ2w. Um processo autorre- gressivo de ordem p ou AR(p) é dado por x(t) = α1x(t− 1) + α2x(t− 2) + . . .+ αpx(t− p) + w(t) (24) para αi, i = 1, 2, . . . , p constantes. Um processo AR é sempre invert́ıvel. Tem-se que x(t) − α1xB(t) − α2B 2x(t) − . . .− αpB px(t) = w(t) ⇔ ⇔ ( 1 − α1B − α2B 2 − . . .− αpB p ) x(t) = w(t) ⇔ ⇔ f(B)x(t) = w(t) ⇔ ⇔ x(t) = w(t)f(B)−1 em que f(B) é chamado o polinómio autorregressivo. Assim, a equação (24) que define um processo AR pode ser reescrita como um processo MA de ordem infinita com θ(B) = 1 + β1B + β2B 2 + . . . = f(B)−1 = ( 1 − α1B − α2B 2 − . . .− αpB p ) −1 (25) 5 0 20 40 60 80 100 −3 −2 −1 0 1 2 x(t)=w(t)−0.2w(t−1) t x (a) 0 20 40 60 80 100 −3 −2 −1 0 1 2 x(t)=w(t)+0.2w(t−1) t x (b) 0 20 40 60 80 100 −3 −1 0 1 2 3 x(t)=w(t)−0.8w(t−1) t x (c) 0 20 40 60 80 100 −3 −1 0 1 2 3 x(t)=w(t)+0.8w(t−1) t x (d) Figura 1: Exemplos de realizações de processos MA(1) com diferentes valores de a1 Para avaliar a estacionaridade de um processo AR vamos primeiro considerar o caso de p = 1. 4.1 Processo Autorregressivo de ordem 1 - AR(1) Considere-se o processo dado por x(t) = αx(t− 1) + w(t) = (1 − αB)x(t) + w(t) (26) O polinómio autorregressivo (1 − αB) tem uma única ráız B1 = α −1 com multiplicidade 1, logo a solução da equação homogénea (1−αB)x(t) = 0 é x∗(t) = αtP1 em que P1 é de ordem 0 (constante) e arbitrário1 Como x(t) = αx(t− 1) + w(t) (27) = w(t) + α(αx(t− 2) + w(t− 1)) = w(t) + αw(t− 1) + α2w(t− 2) + . . . = ∞ ∑ j=0 αjw(t− j) (28) 1Substituindo x(t) por x∗(t) vem: (1−αB)x(t) = x∗(t)−αx∗(t− 1) = αtP1−αα t−1P1 = α tP1−α tP1 = 0, para qualquer constante P1. 6 0 2 4 6 8 10 −1 .0 −0 .5 0. 0 0. 5 1. 0 x(t)=w(t)−0.2w(t−1) lag FAC FACP (a) 0 2 4 6 8 10 −1 .0 −0 .5 0. 0 0. 5 1. 0 x(t)=w(t)+0.2w(t−1) lag FAC FACP (b) 0 2 4 6 8 10 −1 .0 −0 .5 0. 0 0. 5 1. 0 x(t)=w(t)−0.8w(t−1) lag FAC FACP (c) 0 2 4 6 8 10 −1 .0 −0 .5 0. 0 0. 5 1. 0 x(t)=w(t)+0.8w(t−1) lag FAC FACP (d) Figura 2: FAC e FACP de processos MA(1) com diferentes valores de a1 7 0 2 4 6 8 10 −1 .0 −0 .5 0. 0 0. 5 1. 0 x(t)=−0.2x(t−1)+w(t) lag FAC FACP (a) 0 2 4 6 8 10 −1 .0 −0 .5 0. 0 0. 5 1. 0 x(t)=0.2x(t−1)+w(t) lag FAC FACP (b) 0 2 4 6 8 10 −1 .0 −0 .5 0. 0 0. 5 1. 0 x(t)=−0.8x(t−1)+w(t) lag FAC FACP (c) 0 2 4 6 8 10 −1 .0 −0 .5 0. 0 0. 5 1. 0 x(t)=0.8x(t−1)+w(t) lag FAC FACP (d) Figura 4: FAC e FACP de processos AR(1) com diferentes valores de α 10 Modelos que dependem apenas de valores presentes e passados são chamados de causais. Os modelos explosivos são portanto não causais. 4.2 Caso geral - AR(p) No caso geral de um AR(p) dados pela equação 24 se todas as ráızes do polinómio autorre- gressivo f(B) estiverem fora do circulo unitário, pelo Teorema enunciado na secção 3, tem-se que f(B)−1 = θ(B) pode ser escrito como uma série de potências θ(B) = ∑ ∞ i=0 βiB i com β0 = 1 e ∑ ∞ i=0 βi < ∞. Tendo escrito x(t) sob a forma de um processo MA (equação (25)) fica claro que • µx = E[θ(B)w(t)] = ∑ ∞ i=0 βiE[w(t− i)] = 0 (para obter um processo com média µx 6= 0 bastará adicionar essa constante no lado direito da equação (24)) • γx(t, t+τ) = E [(θ(B)w(t))(θ(B)w(t+ τ))] = ∑ ∞ i=0 βiβi+τE [w(t)w(t+ τ)] = σ 2 w ∑ ∞ i=0 βiβi+τ , com β0 = 1 e ∑ ∞ i=0 ∑ ∞ j=0 βiβj <∞ Assim, para que um AR(p) seja estacionário é necessário e suficiente que todas as ráızes do polinómio autorregressivo estejam fora do circulo unitário. Os valores βi podem ser dif́ıceis de calcular de forma algébrica, mas assumindo que o processo é estacionário, multiplicando ambos os lados de (24) por x(t− τ) e tomando o valor esperado tem-se, para τ > 0, E[x(t)x(t− τ)] = E[α1x(t− 1)x(t− τ) + α2x(t− 2)x(t− τ) + . . . + αpx(t− p)x(t− τ) + w(t)x(t− τ)] ⇔ ⇔ γ(−τ) = α1γ(−τ + 1) + α2γ(−τ + 2) + . . .+ αpγ(−τ + p) ⇔ ⇔ γ(τ) = α1γ(τ − 1) + α2γ(τ − 2) + . . .+ αpγ(τ − p) (32) usando o facto que τ > 0 ⇒ E[w(t)x(t − τ)] = 0 e a simetria da FACov. Dividindo por σ2x vem ρ(τ) = α1ρ(τ − 1) + α2ρ(τ − 2) + . . .+ αpρ(τ − p), τ > 0. (33) A FAC de um processo AR(p) decai para zero de forma exponencial ou sinusoidal amortecida. Tomando sucessivamente τ = 1, 2, . . . , p em (33) obtêm-se as equações de Yule-Walker ρ(1) = α1 + α2ρ(1) + . . .+ αpρ(p− 1) ρ(2) = α1ρ(1) + α2 + . . .+ αpρ(p− 2) ... (34) ρ(p) = α1ρ(p− 1) + α2ρ(p− 2) + . . .+ αp (35) A FACP é dada por φττ = ατ , τ = 1, 2 . . . , p, obtidos resolvendo o sistema (35) que pode ser reescrito como      ρ(1) ρ(2) ... ρ(p)      =      1 ρ(1) . . . ρ(p− 1) ρ(1) 1 . . . ρ(p− 2) ... ... ... ... ρ(p− 1) ρ(p− 2) . . . 1           α1 α2 ... αp      (36) 11 Como num processo AR(p) os valores no instante t dependem apenas dos valores nos p − 1 instantes anteriores e da inovação w(t), φττ = 0, τ > p. Assim, a FACP apresenta uma queda brusca para zero logo que τ é superior à ordem do processo. Note-se que a FAC dos processos AR(p) tem um comportamento semelhante à FACP dos processos MA(q) e a FACP dos processos AR(p) tem um comportamento semelhante à FAC dos processos MA(q)! Este facto resulta da dualidade entre este dois tipos de processos, expressa na correspondência: MA(q) ⇒ AR(∞) AR(p) ⇒MA(∞) 5 Processos mistos autorregressivos e médias móveis (ARMA(p, q)) Um processo ARMA descreve uma série temporal cuja estrutura resulta da combinação de ambas as representações anteriores. Um processo diz-se ARMA(p, q) se satisfaz a seguinte equação às diferenças estocástica x(t) − α1x(t− 1) − . . .− αpx(t− p) = w(t) − β1w(t− 1) − . . .− βqx(t− q) (37) fp(B)x(t) = θq(B)w(t) (38) para fp(B) = 1 − α1B − . . .− αpB p θq(B) = 1 − β1B − . . .− βqB q e w(t) é rúıdo branco com média zero e variância σ2w. Para que o processo seja estacionário as ráızes do polinómio fp(B) devem estar fora do ćırculo unitário. Para que o processo seja invert́ıvel as ráızes do polinómio θq(B) tem de estar fora do ćırculo unitário. Aproximar um processo ARMA utilizando exclusivamente um modelo AR ou MA iria ter de um elevado numero de coeficientes comparado com o modelo original. Um processo ARMA estacionário e invert́ıvel pode no entanto escrever-se como uma representação de médias móveis x(t) = θq(B) fp(B) w(t) (39) = (1 + ψ1B + ψ2B 2 + . . .)w(t) (40) ou autorregressiva fp(B) θq(B) x(t) = w(t) (41) (1 + π1B + π2B 2 + . . .)x(t) = w(t) (42) em que os coeficientes ψi e πii = 1, 2, . . . são obtidos pelo método dos coeficientes indetermi- nados a partir das relações (1 + β1B + β2B 2 + . . .+ βqBq) = (1 + α1B + α2B 2 + . . .+ αpBp)(1 + ψ1B + ψ2B 2 + . . .) 12 7 Processos Estritamente Sazonais Nos modelos ARMA é assumida uma dependência dos valores passados do rúıdo branco ou da própria série, que tende a decrescer com o afastamento temporal. No entanto, na presença de sazonalidade a relação entre dois valores separados do peŕıodo sazonal S será certamente mais relevante do que entre dois outros instantes, mesmo que mais próximos. Os modelos sazonais tem em consideração esta dependência. 7.1 Processos MA Estritamente Sazonais - MA(Q)S Os processos média móvel estritamente sazonais de ordem Q são da forma x(t) = w(t) − Θ1w(t− S) − Θ2w(t− 2S) − . . .− ΘQw(t−QS)+ = ΘQ(B S)w(t) (46) onde w(t) é rúıdo branco com média zero e variância σ2w e ΘQ(B S) = 1 − Θ1B S − Θ2B 2S − . . .− ΘPB PS é o polinómio de médias móveis sazonal de grau Q em BS . À semelhança dos MA(q), estes processos são sempre estacionários e são invert́ıveis se as ráızes de ΘQ(B S) estão fora do circulo unitário. Caso Particular - MA(1)S Para um MA(1)S tem-se x(t) =w(t) − Θx(t− S) =(1 − ΘBS)w(t) que é invert́ıvel se |Θ| < 1. Facilmente se verifica que µx = 0 e γx(τ) = E[w(t)w(t+τ)]−Θ (E[w(t)w(t− S + τ)] + E[w(t− S)w(t+ τ)])+ Θ2E[w(t− S)w(t− S + τ)]. Logo γx(0) = (1 + Θ 2)σ2w γx(S) = −Θσ 2 w γx(τ) = 0, k 6= S, A FAC vem ρx(S) = − Θ 1 + Θ2 ρx(τ) = 0, k 6= S Assim, a FAC de um MA(1)S assume sobre os múltiplos de S um comportamento semelhante 15 0 10 20 30 40 −1 .0 −0 .5 0. 0 0. 5 1. 0 FAC de x(t)=w(t)−0.8w(t−12) lag (a) 0 10 20 30 40 −1 .0 −0 .5 0. 0 0. 5 1. 0 FACP de x(t)=w(t)−0.8w(t−12) lag (b) Figura 5: FAC e FACP de um processo MA(1)12 ao de um MA(1), sendo zero para os restantes valores de τ . Calculando a FACP vem φx(ττ) = − Θ 1 + Θ2 , τ = S, φx(ττ) = − Θm(1 − Θ2) 1 − Θ2(m+1) , τ = kS, m = 0, 1, 2, . . . φx(ττ) = 0, τ 6= S, que é nula para valores não múltiplos de S sendo majorada por uma exponencial amortecida que decai gradualmente para zero ao percorrer os múltiplos de S. Um exemplo destas funções para um processo MA(1)12 está representado na Figura 5 Como foi ilustrado para o caso mais simples de um MA(1)S , a FAC e a FACP de pro- cessos MA(Q)S mantém as caracteŕısticas das correspondentes em processos MA(q) sobre os valores de τ múltiplos de S, anulando-se a FAC a partir do Q-ésimo múltiplo de S e decaindo a FACP lentamente para zero. 7.2 Processos AR Estritamente Sazonais - AR(P )S Os processos autorregressivos estritamente sazonais de ordem P são da forma x(t) = Φ1x(t− S) + Φ2x(t− 2S) + . . .+ ΦPx(t− PS) + w(t) ΦP (B S)x(t) = w(t) (47) 16 onde w(t) é rúıdo branco com média zero e variância σ2w e ΦP (B S) = 1 − Φ1B S − Φ2B 2S − . . .ΦPB PS é o polinómio autorregressivo (sazonal) de ordem P em BS . À semelhança dos AR(p), estes processos são sempre invert́ıveis e são estacionários se as ráızes de ΦP (B S) estão fora do circulo unitário. A solução estacionária de (47) é dada por x(t) = [ ΦP (B S) ] −1 w(t) = Ψ(BS)w(t) = ∞ ∑ j=0 ψjw(t− jS) com ΦP (B S)Ψ(BS) = 1 Caso Particular - AR(1)S Para um AR(1)S tem-se x(t) = Φx(t− S)w(t) (1 − ΦBS)x(t) = w(t) que é estacionário se |Φ| < 1. Neste caso a solução estacionária é x(t) = ∞ ∑ j=0 Φjw(t− jS) e tem-se µx = 0 γx(τ) = ∞ ∑ i=0 ∞ ∑ j=0 ΦiΦjE[w(t− iS)w(t+ τ − jS)] 17 0 10 20 30 40 −1 .0 −0 .5 0. 0 0. 5 1. 0 FAC de x(t)=w(t)−0.5w(t−1)−0.6w(t−12)+0.6w(t−13) lag Figura 7: FAC e FACP de um processo ARMA(0, 1)(0, 1)12 MA(Q)S = ARMA(0, Q)S = ARMA(0, 0)(0, Q)S , ARMA(p, q) = ARMA(p, q)(0, 0)S , ARMA(P,Q)S = ARMA(0, 0)(P,Q)S . Se as ráızes de θq(B) e de ΘQ(B S) estão fora do circulo unitário o processo é invert́ıvel; se as ráızes de fp(B) e de ΦP (B S) estão fora do circulo unitário o processo é estacionário. A FAC e da FACP de processos multiplicativos são em geral dif́ıceis de obter apresentando um maior grau de complexidade que resulta da combinação das especificidades de cada uma das componentes. Pode no entanto salientar-se uma caracteŕıstica particular da FAC, que apresenta em geral um valor relevante em τ = S com valores não nulos em τ = S ± 1. Um exemplo está representado na Figura 7 8 Processos Integrados Mistos Muitos processos não estacionários podem ser transformados em processos estacionários uti- lizando diferenciação, como foi visto anteriormente. Considere-se x(t) o processo invert́ıvel não estacionário ARMA(p+ d, q) da forma f∗p+d(B)x(t) = θ0θq(B)w(t) (51) onde w(t) é rúıdo branco com média zero e variância σ2w e f∗p+d(B) = fp(B)(1 −B) d é um polinómio autorregressivo de ordem p + d com d ráızes no ćırculo unitário. A dife- renciação de x(t) d vezes transforma o processo num ARMA(p, q) estacionário e invert́ıvel. Inversamente, para recuperar o processo (não estacionário original), o modelo ARMA nos dados diferenciados tem de somado ou (integrado). Assim, define-se como um processo integrado misto não sazonal(ARIMA(p, d, q)) o processo definido por fp(B)(1 −B) dx(t) = θ0 + θq(B)w(t) (52) 20 com fp(B) = 1 − α1B − . . .− αp(B p) θq(B) = 1 − β1B − . . .− βq(B q) (53) polinómios autorregressivo estacionário e médias móveis invert́ıvel, respectivamente. Para x(t) estacionário tem-se d = 0 pois não necessidade de diferenciação. O parâmetro θ0 está relacionado com a média processo diferenciado. Para µ = E[5 dx(t)] tem-se θ0 = µ(1 − α1 − . . .− αp). Se µx = 0 então θ0 = 0, caso que é na prática mais utilizado. No caso da presença de componente tendência associada a uma componente sazonal de peŕıodo S é muitas vezes necessária a utilização de várias diferenciações. Em adição a 5d poderá aplicar-se uma diferenciação sazonal 5S eventualmente de forma repetida (frequente no caso de modelos multiplicativos). Generalizando os modelos anteriores a este caso, diz-se que x(t) é um processo multiplicativo integrado sazonal (SARIMA(p, d, q)X(P,D,Q)s) quando fp(B)ΦP (B S)(1 −B)d(1 −BS)Dx(t) = θq(B)ΘQ(B S)w(t) (54) fp(B)ΦP (B S)y(t) = θq(B)ΘQ(B S)w(t) em que os polinómios autorregressivos são estacionários e os polinómios média móvel são invert́ıveis e y(t) é a série estacionária transformada por aplicação da diferenciação 5S D vezes e da diferenciação de ordem d. Assim, x(t) tem uma não estacionaridade eliminável por diferenciação (sazonal e não sazonal), podendo o processo diferenciado y(t) ser escrito como um modelo ARMA(p∗, q∗) invert́ıvel e estacionário. Levando mais longe a generalização pode assumir-se a existência de várias componentes sazonais com diferentes peŕıodos Si, admitindo m polinómios autorregressivos e n polinómios média móvel sazonais. Referências [MMT93] BJF Murteira, DA Muller, and KF Turkman. Análise de sucessões cronologicas. McGrawHill, 1993. 21