(Parte 2 de 4)

Considere a função y = ax, denominada função exponencial, em que a base a é um número positivoe diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que, nessas condições, axé um número positivo, para todo x∈IR, onde IR é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais po- sitivos por R+*, poderemos escrever a função exponencial como segue:

f: R → R*+; y = ax, 0 < a ≠ 1 Essa é bijetora, pois:

a) É injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.

b)É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, ou seja, admite uma função inversa.

Vamos determinar a da função y = ax , onde 0 < a ≠ 1.

Permutando x por y, vem:

x = ay→ y = logax Portanto a função logarítmica é então:

Mostramos, a seguir, os gráficos das funções exponencial (y = ax) e logarítmica

(y = logax), para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1.

Observe que, sendo as funções inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricas em relação à reta y = x.

Cálculo I– Função

Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:

•Para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.

•Para 0 < a ≠ 1, elas são DECRESCENTES.

•O conjunto imagem da função y = logax é o conjunto R dos números reais.

•O domínio da função y = axé o conjunto R dos números reais.

Observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto-imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto-imagem da função exponencial. Isso ocorre porque as funções são inversas entre si.

UEA– Licenciatura em Matemática

UNIDADE I Limites

TEMA 02 LIMITES: DEFINIÇÃO E LIMITES LATERAIS

2.1O papel dos limites de funções reais

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental.

O motivo para isso é que nem tudo o que queremos realizar ocorre no meio físico, e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns, e essa procura ocorre com os limites nos estudos de seqüências, séries, cálculos de raízes de funções...

Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível por meio de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limite e continuidade. Na verdade, esse cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresentado no fim), que é uma conseqüência do estudo de continuidade de funções.

2.2Idéia intuitiva de limite

Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R – {1} →R definida por: lim

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples: f(x) = x + 1.

Ao analisar o comportamento dessa função nas vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que a função se aproxima rapidamente do valor L = 2, quando os valores de x se aproximam de x = 1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1) quanto por valores x > 1 (à direita de 1).

Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x = 1.

Pela esquerda de x = 1

Pela direita de x = 1

Nesse caso, dizemos L = 2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por:

limx→1 f(x) = 2

Esse resultado pode ser visto por meio da análise gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:

2.3Limite de uma função real

tence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais

Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no ponto x = c que per-

Diz-se que o limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c. Em símbolos:

limx→ +∞f(x) = Ld O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (à esquerda de c) menores que c. Em símbolos:

limx→ +∞f(x) = Le Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz–se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld = Le = L. Com notações simbólicas, escrevemos:

Cálculo I– Limites

UEA– Licenciatura em Matemática limx→ c f(x) = L

O que significa que, para qualquer e > 0 e arbitrário, existe um d > 0, que depende de e, tal que

|f(x)–L| < e para todo x satisfizando 0 < |x–a| < d.

No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de ambos existirem, porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão.

O próximo resultado afirma que uma função não pode aproximar-se de dois limites diferentes ao mesmo tempo, e ele é denominado o teorema da unicidade, porque garante que se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único.

Unicidade do limite– Se Lim f(x) = A e Lim f(x) = B quando x tende ao ponto c, então A = B.

Demonstração– Se e > 0 é arbitrário, então existe d' > 0 tal que |f(x)–A| < e/2 sempre que 0< |x – a| < d'. Como também temos por hipótese que existe d">0 tal que|f(x)–B| < e/2 sempre que 0<|x–a|<d". Tomando d=min{d',d"}>0, temos que:

|f(x)–A| < e/2e|f(x)–B| <e/2 sempre que 0<|x–a|<d.

Pela desigualdade triangular, temos: |A–B| = |A–f(x)+f(x)–B| < |A–f(x)| + |f(x)–B|. Como e>0 é arbitrário, temos: |A–B| < e então |A–B| = 0, o que garante que A=B.

Exemplos:

1.Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a xque se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1(x→1), y tende para 3 (y→3), ou seja:

limx→1 (2x + 1) = 3

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x→1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)→3), dizemos que o limite de f(x) quando x→1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos:

limx→a f(x) = b se, quando x se aproxima de a(x → a), f(x) se aproxima de b (f(x) → b).

2.Seja, agora, a função lim

Como x2+ x – 2 = (x – 1)(x + 2), temos:

Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x →1), f(x) se aproxima de 3, embora para x = 1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x→1. E, no caso, y → 3. Logo, o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:

Se g: IR→ IR e g(x) = x + 2, limx→1 g(x) = limx→1 (x + 2)

= 1 + 2 = 3, embora g(x) ≠ 1 f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

Cálculo I– Limites

3.Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.

Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe e é igual a 2:

Ora, x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de f(x) é 2.

2.4Generalização do conceito de limite

Definição

Dados uma função f: B IR e um ponto de acumulação a de B, diz-se que um número ∈IR é limite de f em a, e escreve-se:

limx→a f(x) = ou f(x) → , com x → a quando vale a seguinte condição: Para todo ε> 0, existe δ = δ(ε) > 0 tal que: x ∈ B, 0 < |x – a| < δ ⇒ |f(x) – | < ε.

Exemplos:

1. Consideremos a função à

Note que f não está definida no ponto x = 1. No entanto, para x ≠ 1 temos f(x)=2(x+1) e, por- tanto, é natural suspeitar que limx→1 f(x) = 4.

Mostremos por meio da definição que este é o caso. De fato, se x ≠ 1 podemos escrever

|f(x)–4| = |2(x + 1) – 4| = 2|x – 1|. Assim, dado ε> 0, se escolhermos δ= ε/2 obtemos 0 < |x – 1| < δ ⇒ 2|x – 1|< ε, ou seja, |f(x) – 4| < ε. Veja a figura abaixo:

limx→1 2(x2– 1)/(x – 1) = 4 [δ= ε/2]

2.limx→2 (3x + 4) = 10. De fato, dado ε > 0, para encon- trar um δ > 0 que nos convenha, notemos que neste caso a = 2 e |f(x) – | = |(3x + 4) – 10|. Assim, se tomarmos δ= ε/3, temos:

0 > |x – 2| < δ ⇒ |(3x + 4) – 10| = 3|x – 2| < 3δ= ε.

3.limx→2 (x2+ 1) = 5. De fato, dado ε > 0, vamos procurar δ > 0 sob a restrição δ ≤ 1. Assim, |x – 2| < δimplica 1< x < 3 e, portanto,

|x+2| < 5. Logo, se 0 < δ≤ ε/5, temos 0 < |x – 2| < δ, então |(x2+ 1) – 5| = |x + 2||x – 2| < 5|x – 2|< 5δ≤ε.

Portanto basta tomar 0 < δ≤ min{1,ε/5}.

4.limx→a cos x = cos a. De fato, observemos que sem- pre |cos x1– cos x2|≤||x1– x2|; confira com a figura abaixo. Assim, dado ε > 0, podemos tomar δ = εuma vez que, nesse caso:

0 <|x – a|< δ,então: |cos x – cos a|≤||x – a| < δ = ε

UEA– Licenciatura em Matemática

1.Na função f definida por temos:

mos que limx→1 f(x) não existe.

2.Dada a função f definida porpara to-

, temos:

mos que não existelimx→0 f(x).

. Solução:

1.Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. a) 1 b) n c) 1 d) n

TEMA 03 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

3.1 Introdução

Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto ado seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

∃f(a)

∃limx→a f(x) limx→a f(x) = f(a)

3.2Propriedade das funções contínuas

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então: f(x) ±g(x) é contínua em a; f(x) . g(x) é contínua em a; f(x) g(x) é contínua em a (g(a) ≠0).

3.3Generalização sobre continuidade de uma função

Dizer que uma função f é contínua em um ponto asignifica que f(a) existe e que f leva pontos “próximos” de aem pontos “próximos” de f(a). Isso pode ser resumido precisamente na seguinte definição:

Definição:

Uma função f : B → é contínua em um ponto a∈B se, dado ε, existe δ > 0 de modo que x∈B, |x – a| < δ ⇒ |f(x) – f(a)| < ε.

Note que, se o domínio de f for um intervalo, B=(b,c), b<c, a definição está exigindo as três seguintes condições: 1) a∈B; 2)existe limx→a f(x) e

3) limx→a f(x) = f(a).

3.4O teorema de Weierstrass

Toda função contínua num intervalo fechado [a,b] assume um máximo e um mínimo em

[a,b].

Entretanto é importante observar que ele garante que uma função, sendo contínua num intervalo fechado, certamente admitirá ponto de extremo, tanto máximo como mínimo, poden-

Cálculo I– Limites do ser interior ao intervalo ou em qualquer das extremidades.

Observação:

No gráfico, observamos que a função admite um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local, ambos interiores ao intervalo.

Entretanto o ponto de máximo global da função ocorre na extremidade b, e o ponto de mínimo global ocorre na extremidade ado intervalo.

Também é conveniente observar que o Teorema só vale se a função é contínua num intervalo fechado. Se a continuidade for num intervalo aberto, não é possível garantir a existência de máximo e mínimo globais.

Exemplos:

1Consideremos à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

À medida que x aproxima–se de 2, f(x) aproxima–se de 0.4 e consequentemente temos a igualdade limx→ 2 f(x) = 0.4. Sempre que se veri- fique a igualdade f(c) = limx→ c f(x), diz–se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções.

à O limite de g(x) à medida que x se aproxima de

2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas limx→ 2 g(x) ≠ g(2) e consequentemente g não é contínua em x = 2.

3.a função f(x) = 2x + 1 definida em IR é contínua em 1, pois

Notemos que f é contínua em IR, pois para todo a ∈IR, temos:

4.A função definida em IR é descontínua em 1, pois

Observemos que f é contínua em IR – {1} pois, para todo a IR – {1}, temos:

5.Dada a função, verificar se existe algum ponto de descontinuidade .

Como limx→ 3f(x) = limx→ 3(x + 1) = 4; limx→ 3+ f(x) =

= limx→ 34 = 4 e f(3) = 4 temos que limx→ 3 f(x) = f(3) o que implica que a função é contínua no ponto x = 3.

Para k ≤ 3, limx→ kf(x) = limx→ k (x + 1) = limx→ kx + limx→ k 1 = k + 1 e f(k) = k + 1

Para k > 3, limx→ kf(x) = limx→ k 4 = 4 e f(k) = 4

Então, f é contínua em IR e não há ponto de descontinuidade.

Em geral, restringimos a análise aos valores de x que não verificam as condições de existência de f ou que “quebram” o domínio de f (neste exemplo, x = 3).

6.Verifique se a funçãoé contínua em x = 3.

Cálculo de f(3):

Cálculo de limx® 3 f(x) =

Como limx® 3 f(x) = f(3), f(x) é contínua em x = 3

Verifique se a função f é contínua no ponto especificado.

TEMA 04 PROPRIEDADES DOS LIMITES

4.1 Introdução

Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos x→a.

•Se f(x) = C onde C é constante, então

Lim f(x) = Lim C = C.

•Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b.

•Se f e g são duas funções, k uma constante,

A e B números reais e além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:

(5)Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.

(6)Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A) •Se acontecer uma das situações abaixo:

Lim f(x) = 0. Lim f(x)>0 e n é um número natural. Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar. Então:

Exemplos: 1.

UEA– Licenciatura em Matemática

Cálculo I– Limites

Observações sobre as propriedades:

As propriedades que valem para duas funções, valem também para um número finito de funções.

As propriedades 3–1, 3–2 e 3–5 estabelecem que, se existem os limites das parcelas, então existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas.

Teorema do anulamento –Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim g(x) = 0, quando x→a, então: Lim f(x)·g(x) = 0.

Esse resultado é útil para podermos obter cálculos com limites.

Teorema do Confronto (regra do sanduiche) – Se valem as desigualdades f(x)< g(x) < h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez em x = a e se Lim f(x) = L = Lim h(x), então Lim g(x) = L.

Generalização: Sejam f, g, h : B → tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) x∈B,e limx→a f(x) = limx→a h(x) = . Então limx→a g(x) = .

O gráfico de g fica "preso'' entre os de f e h, como mostra a figura abaixo.

Demonstração: Seja ε > 0 um número qualquer. Como limx→a f(x)=limx→a x∈A, 0<|x – a|<δ1 ⇒ – ε< f(x) < + ε, x∈A, 0<|x – a|<δ2 ⇒ – ε< f(x) < + ε,

Logo, se δ: = min{δ1,δ2} > 0 e se x∈A, a condição 0 < |x – a| < δimplica ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < + ε,

Donde |g(x) – | < ε, ou seja, limx→a g(x) = .

Exemplo –Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades cos(x) < sen(x)/x < 1 então, quando x→0:

1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1

Observações –Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites são válidas também para limites laterais e para limites no infinito.

Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas, que são denominadas expressões indeterminadas, nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso.

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