(Parte 3 de 4)

Exemplo:

Seja f uma função e suponha que para todo x tenhamos |f(x)| ≤ x2.

a)Calcule, caso exista,limx→ 0 f(x); b)f é contínua em x = 0? Por quê? Solução: a)|f(x)| ≤ x2 ⇔–x2 ≤ f(x) ≤ x2

Comolimx→ 0 f(–x2) = 0 =limx→ 0 rema do confronto, quelimx→ 0 f(x) = 0.

b)Segue de (a) que f será contínua em 0 se f(0)=0. Pela hipótese, |f(x)| ≤ x2 para todo x, logo, |f(0)| ≤ 0e, portanto, f(0)=0. Assim, limx→ 0 f(x) = 0 = f(0), ou seja, f é contínua em 0.

Como as funções f(x) = x2– 9 e g(x) = x – 3 se anulam para x = 3, cairemos na expressão e nada poderemos concluir. Assim, devemos simplificar a fração, eliminando a indeterminação.

Logo,

2.Calcular .

Nesse caso, devemos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador.

1.Calcule limx→ 1 (log 10x).

2.Determine o Valor de.

a) 1/5 b) 2/6 c)3/4 d) 4/3 e) 3/5 a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 19

4. Calcule a) 2/5 b) 3/5 c) 3/2 d) 2/3 e) 2/4 a) 1 b) –1 c) –2 d) 3 e) –4

6.Oé igual a:

a) x b) 2x c) 4x d) 3x e) 5x

UEA– Licenciatura em Matemática

8.O é igual a:

a) 1/9 b) 1/27 c) 1/243 d) 1/81 e) 1/54

9.O valor deé:

a) 2 b) 0 c) 8 d) 4 e)

10.O limite a)não existe; b)não é nenhum número real; c)vale 2; d)vale 0; e)vale 4.

1. Ovale:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6

12. O valor deé:

a) –1 b) –2 c) d) 0 e) 1

TEMA 05 LIMITES INFINITESIMAIS

5.1 Limites infinitos

Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos analisar o comportamento numérico dessa função por meio das tabelas abaixo.

Quando x →0, por valores maiores que zero

(x →0+) os valores da função crescem sem limite.

Quando x →0, por valores menores que zero (x →0), os valores da função decrescem sem limite.

Observamos que próximo de x = 0, o comportamento da função é estranho.

Baseado nesse exemplo, podemos afirmar que quando x tende a 0, esta função não tem os valores aproximando-se de um limite bem definido.

Ao analisar o comportamento numérico de f(x)=1/x², nas proximidades de x=0, observamos que:

Cálculo I– Limites

Observamos pelas tabelas, que se x →0, por valores maiores ou menores do que 0, os valores da função crescem sem limite. Assim, podemos afirmar, por este exemplo, que, quando x →0 esta função tem os valores aproximando-se de um limiar (inf = infinito = ∞). Nesse caso, dizemos que não existe o limite de f(x)=1/x² no ponto x=0, mas denotamos tal fato por:

Por causa dessa notação, costuma-se dizer que algumas funções têm limites infinitos, e por causa desse limite, dizemos também que o gráfico desta função tem uma assíntota vertical, que é uma reta cuja equação é dada por x = 0, neste caso.

Definição:

Seja f uma função definida para todo x em I, exceto possivelmente no ponto x = a em I um intervalo aberto contendo a. Diz-se que f tem limite infinito, quando x se aproxima de a, o que

Se, para todo número real L>0, existir um d>0 tal que se 0<|x–a|<d, então f(x) > L.

De modo similar, g(x)=–1/x² apresenta um gráfico com todos os valores da imagem no intervalo (–∞,0). O comportamento de g próximo de x = 0 é similar ao de f(x) = 1/x², porém os valores são negativos. Nesse caso, dizemos que não existe limite no ponto x = 0, no entanto represen-

Definição:

Se o limite de f(x) tende a infinito, quando x→a pela esquerda e também pela direita, dizemos que o limite de f(x), quando x → a é infinito,e escrevemos: limx→af(x) = +∞ Analogamente, a expressão matemática:

significa que f(x) tende a –∞, se x→a pela esquerda e também pela direita.

5.2Extensão sobre limites no infinito

Pelas tabelas, observamos que:

Limx→– ∞h(x) = 0

Quando construímos o gráfico de h, observamos que existe uma reta (assíntota) horizontal que é a reta y=0, que nunca toca a função, mas aproxima-se dela em +∞e em –∞.

Temos, então, uma definição geral, englobando tal situação:

Definição:

Seja f uma função definida para todos os valores do intervalo (a,∞). Escrevemos:

limx→∞ f(x) = L quando, para todo e>0, existe um número real

M > 0 tal que |f(x)–L|<e sempre que x > M.

y x x y x y

UEA– Licenciatura em Matemática

Formalizaremos agora o conceito de assíntota horizontal.

Definição:

Dizemos que a reta y = L é uma assíntota horizontal do gráfico de f se

f(x) = anxn+ an–1xn–1++ a2x2 + a1x + a0.

Seja a função polinomial Então:

Demonstração:

Mas:

Logo:

De forma análoga, para g(x) = bmxm+...b1x + b0, temos:

Exemplos: 1.

1. Calcule a) 1/5 b) 2/6 c) 1/2d)3/4 e) 1/4

2.Calcule a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4 a) 0 b) 1 c) 6 d) 2 e) –2

4.Calcule .

a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0

5.Calcule os limites: a) b) c) d) e)

Cálculo I– Limites

TEMA 06

LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 6.1 Introdução

Demonstração:

Para x → 0,temossen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:

Invertendo, temos:

Mas:

cos x = 1 g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se limx→a g(x) = limx→a h(x) = b então, limx→a f(x) = b. Logo,

6.2 Exemplos: a)

2. Determinar Transformando, temos:

3. Calcular Transformando, temos:

1. Calcular os seguintes limites: a)

UEA– Licenciatura em Matemática

2. Determine: a) b) c)

3.Calcular os seguintes limites: a) c) d) e) f)

TEMA 07

LIMITES EXPONENCIAIS 7.1 Introdução

Nesse caso, erepresenta a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional cujo valor aproximado é 2,7182818.

Notamos que à medida que. De forma análoga, efetuando a substituição

, temos:

Ainda de forma mais geral, temos :

As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios desse tipo e evitam substituições algébricas.

Se ax– 1 = u, entãoax+ 1 = u. Mas:

Cálculo I– Limites

Logo:

Como x →0 , então u →0. Portanto:

Generalizando a propriedade acima, temos .

1. Determinar

Fazendo temos x = 3 u e x → + ∞implica u → +∞assim:

Logo:

Fazendo –x = t, temos: x → –∞ t → + ∞ Substituindo-se, vem:

1.Calcule a) e b) e7 c) 1/e3 d) ex e) e4

2.Calcule o a)eb) –e c)e2d) e) e4

3.Calcule os limites:

b) c)

UEA– Licenciatura em Matemática

Augustin-Louis Cauchy

(Paris, 21 de agosto de 1789 – Paris, 23 de maio de 1857) foi um matemático francês.

O primeiro avanço na matemática moderna por ele produzido foi a introdução do rigor na análise matemática. O segundo foi no lado oposto – combinatorial. Partindo do ponto centraldo método de Lagrange, na teoria das equações, Cauchy tornou-a abstrata e começou a sistemática criação da teoria dos grupos. Não se interessando pela eventual aplicação do que criava, ele desenvolveu para si mesmo um sistema abstrato. Antes dele, poucos buscaram descobertas proveitosas na simples manipulação da álgebra.

Foi um dos fundadores da teoria de grupos finitos. Em análise infinitesimal, criou a noção moderna de continuidade para as funções de variável real ou complexa. Mostrou a importância da convergência das séries inteiras, com as quais seu nome está ligado. Fez definições precisas das noções de limite e integral definida, transformando-as em notável instrumento para o estudo das funções complexas. Sua abordagem da teoria das equações diferenciais foi inteiramente nova, demonstrando a existência de unicidade das soluções, quando definidas as condições de contorno. Exerceu grande influência sobre a física de então, ao ser o primeiro a formular as bases matemáticas das propriedades do éter, o fluido hipotético que serviria como meio de propagação da luz.

A vida de Augustin Cauchy assemelha-se a uma tragicomédia. Seu pai, Louis-François, esteve muito próximo da guilhotina, apesar de ser advogado, culto, estudioso da Bíblia, católico fanático e tenente de polícia. Augustin era o mais velho dos seis filhos (dois homens e quatro mulheres). Seguia obstinadamente os preceitos da Igreja Católica. Seu eterno louvor à beleza e à santidade cansava os que o ouviam.

Cálculo I– Limites

UNIDADE I Derivada

Cálculo I– Derivada

TEMA 08 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO, DEFINIÇÃO

8.1CÁLCULO DIFERENCIAL: UMA DUPLA AGITA O MEIO CIENTÍFICO

As primeiras idéias sobre o cálculo foram registradas na Grécia, no século V a.C., e estavam ligadas ao cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos.

Supõe-se que foi o matemático grego Eudoxo de Cnido quem teria dado os primeiros passos nesse campo, criando o método de exaustão, que mais tarde foi aplicado brilhantemente pelo matemático grego Arquimedes de Siracusa (287–212 a.C.) para calcular a área de um segmento parabólico. Para o cálculo avançar, porém, era necessário descobrir fórmulas gerais, que permitissem, por exemplo, calcular a área de qualquer figura geométrica.

Contudo isso só veio a acontecer no século XVII, quando vários matemáticos, entre eles o francês Pierre de Fermat (1601–1665) e os ingleses Jhon Wallis (1616–1703) e Isaac Barrow (1630–1677), deram importantes passos nesse sentido, além de abrirem caminho para dois outros grandes matemáticos daquela época: Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz.

Isaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Essa dupla, trabalhando separadamente e no mesmo período, estabeleceu as bases do cálculo.

Newton fundamentava suas idéias na mecânica e Leibniz, na geometria.

A partir do século XVIII, o cálculo sofreria profundas transformações, principalmente por causa dos trabalhos dos matemáticos franceses Augustin Louis Cauchy (1789–1857) e Joseph Louis Lagrange (1736–1813).

O cálculo diferencial e integral, como é conhecido hoje, é um instrumento matemático de extrema importância. Suas aplicações, além da matemática e da física, estendem-se também à química, à biologia, à engenharia, etc.

8.2INTRODUÇÃO DO ESTUDO DAS DERIVADAS

O problema fundamental do cálculo diferencial é estabelecer uma medida para a variação da função com precisão matemática. Foi investigando problemas dessa natureza, lidando com grandezas que variam com continuidade, que Newton foi conduzido à descoberta dos princípios fundamentais do cálculo.

Da física, sabemos que quando uma partícula se movimenta segundo a equação horária S = f(t), em que s é a abscissa (posição) do ponto em que se encontra a partícula no instante t (s é uma função de t), a velocidade média do mo- vimento entre dois instantes (t0,t), que vamos indicar por Vm(t0;t) é dada por:

A velocidade (instantânea) no instante t0, V(t0) é definida pelo limite de Vm(t0; t) quando t tende a t0:

Exemplo:

•Uma particula movimenta-se segundo a equação horária S = 2t2+ 5t + 10, s em metros e t em segundos. Obter a velocidade:

a)no instante t = 1; b)num instante t = t0

UEA– Licenciatura em Matemática

Solução: a)

A velocidade média no instante t = 1 é:

V(1) = 9m/s b)

V(t0) = 4t0+ 5 equação da velocidade para t = 1 ⇒ V(1) = 4 ×1 + 5 = 9m/s

8.3 RAZÃO INCREMENTAL

Seja f (x) uma função definida em um intervalo

I de seu domínio, e sejam x0e x = x0 + Δx dois valores pertencentes a esse intervalo

Δx : acréscimo da variável x : Δx = x – x0 Δx : acréscimo da variável y : Δy = f(x) – f(x0) ou Δy = f(x0+ Δx) – f(x0) Denomina-se razão incerementalo quociente

Então, temos: ou

Exemplo:

Calcular a razão incremental da função f(x) = 3x – 1, relativa ao ponto x0= 2 Solução:

f(x) = 3x – 1 e f(x0) = f(2) = 3 . 2 – 1 ⇒ f(x0) = 5 Então, temos:

8.4DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO

Seja y = f (x) a função que está representada no gráfico, e sejam x0e x0 + Δx dois valores de seu domínio.

Denomina-se derivada da função f (x) no ponto x0o limite finito (se existir) da razão incremental da função quando Δx tende a zero, ou seja:

Cálculo I– Derivada

Exemplo:

1. Determinar a derivada da função f(x) = 4x2– 2 no ponto x0= 2 Solução:

Como , temos:

2.Dada a função f(x) = 3x2, definida em IR, calcular a função derivada f’(x).

Solução:

1.Calcule a razão incremental da função f (x), re- lativa ao ponto x0, nos seguintes casos: a)f(x) = 3x2+ 1, no ponto x0= 2 b)f(x) = x2+ 3x, no ponto x0= 1 c)f(x) = x3, no ponto x0= –1

2.Calcule a derivada da função f(x) no ponto x0 em cada caso:

a)f(x) = x2+ 1, no ponto x0= 3 b)f(x) = x2+ 2x, no ponto x0= 4 c)f(x) = x2– 3x + 4, no ponto x0= 1 d)f(x) = 2x – 1, no ponto x0= 2

3.Dada a função f (x), definida em IR, determine f´(x) nos seguites casos:

a)f(x) = x2– 2x b)f(x) = x c)f(x) = d)f(x) = 3x + 4 e)f(x) = x3+ 2x2

4.Determine o valor de x que anula a derivada da função f(x) = x2– 4x

5.Um ponto percorre uma curva obedecendo à equação horária s = t2+ t – 2. Calcule a sua velocidade no instante t0= 2seg.

1.A derivada da função f(x) = x2– 3x no ponto x = 0 é igual a:

b)– 3
c)– 1
d)1

a) 0 e) n.d.a.

a)4
b)12
d)36

UEA– Licenciatura em Matemática e) n.d.a.

3.Se f(x) = 6x3, então f’(x) é igual a: a) 9x2 b) x2 c) 18x2 d) 3x2 e) n.d.a.

a)y’ = 3x

4.A função derivada de y = x3é definida por: b) y’ = 3x2 c)y’ = x2 d) y’ = 3x3

5.A função derivada da funçãoé:

b) c) d) e) n.d.a.

6.A função derivada da função f(x) = 3x2– 2x anula-se para:

a)x = 0
b) x = 3

c) d) e) n.d.a.

TEMA 09

9.1. Introdução

Imaginemos que o gráfico cartesiano de uma função y = f (x) admita uma reta tangente t num ponto P de abscissa x0. Vamos represen- tar por αt(x0) o ângulo de inclinação da reta tangente em relação ao eixo x.

Da geometria analítica, sabemos que o coeficiente angular da reta t, que vamos indicar por

Se Q é um ponto qualquer do gráfico de f, de abscissa x ≠ x0, a reta S = é uma secante ao gráfico. O coeficiente angular da secante, que indicaremos por

Fazendo x tender a x0, isto é, imaginando P fixo e Q movimentando-se sobre o gráfico, aproxi-

Cálculo I– Derivada mando-se de P, observamos que a inclinação da reta secante tende à inclinação da reta tan- gente: αs→ αt(x0)

Nesse caso, temos tambem: tgαs→ tgαt(x0) ms→ mt(x0) Então, temos:

Quando existe o limite finito Exemplo:

Calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = x² no ponto de abscissa x = 1

Solução

9.2 DEFINIÇÃO

Para estudar esse problema, consideremos o gráfico da função y = f (x) indicado na figura:

Em que: Δx= incremento da variável x Δyincremento da função razão incremental

Na figura, temos: s é uma reta secante à curva;

(considerando o triângulo ABC)

Note que, quando Δx → 0, o ponto B tenderá ao ponto A, e a reta secante s tenderá à reta tangente t; como conseqüência, o ângulo β tenderá a α, e teremos:

Enquanto Δx tende a zero, a reta secante tende a uma posição limite, que é a reta tangente à

Portanto o coeficiente angular da tangente é o valor do limite dos coeficientes angulares das secantes quando Δx tende a zero.

O valor desse limite denomina-se derivada da função f(x) no ponto de abscissa x0, e indicamos f’(x0).

UEA– Licenciatura em Matemática

Definição:

Seja a função f (x) definida no intervalo [a, b], e seja um ponto de abscissa x0desse inetrvalo. Denomina-se derivada da função f (x) no ponto de abscissa x0, o limite, se existir e for finito, da razãoquando Δx tende a zero.

Ou ou

Exemplos:

•Determinar a derivada da função f(x) = 3x2 no ponto de abscissa x0= 2. Solução:

Se x0= 2 ⇒ f(x0) = f(2) = 3 ×22= 12 Logo:

f(x0 + Δx) = f(2 + Δx) = 3 (2 + Δx)2= 12 + 12Δx + 3(Δx)2 f(x0 ) = f(2) = 3 . 2= 12 Logo:

f’(2) = 12

•Dada a função , calcular a derivada de f’(x) no ponto x = 0.

Solução: Daí:

Observação:Não possui derivada em x = 0

•Determinar, pela definição, a função derivada de f(x) = x2.

Solução:

•Qual a reta tangente ao gráfico da função na origem?

SOLUÇÃO A reta que procuramos passa no ponto (0;0)

(x → 0+, pois é definida só para x ≥0).

Cálculo I– Derivada

Quando o limite é +∞, a reta tangente é perpendicualr ao eixo x. Concluímos que a reta tangente a na origem é o eixo y.

•Dada a função f(x) = x2– 2x, determinar f’(6):

SOLUÇÃO f(x) = x2– 2x f(x0) = f(6) = 62– 2 . 6 = 24 Logo:

•Dada a função f (x) = sen x, determinar, pela definição, a função derivada de f (x).

Como, pela triigonometria, sen a – sen b = , temos:

(Parte 3 de 4)

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