Entendendo Malhas de Controle - Apostilas - Engenharia Elétrica Part1, Notas de estudo de Eletrotécnica

Baixe Entendendo Malhas de Controle - Apostilas - Engenharia Elétrica Part1 e outras Notas de estudo em PDF para Eletrotécnica, somente na Docsity! Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 1 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP ENTENDENDO E AJUSTANDO MALHAS DE CONTROLE Prof. José Jaime da Cruz São Paulo Abril 2004 Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 1 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP Entendendo e Ajustando Malhas de Controle Índice 1. PRÓLOGO ............................................................................................................................................. 1 1.1 Breve Histórico .......................................................................................................................... 1 1.2 Sistemas de Controle em Malha Aberta X Malha Fechada ...................................................... 2 1.2.1 Vantagens da operação em malha fechada ......................................................................... 2 1.2.2 Desvantagem da operação em malha fechada .................................................................... 2 1.2.3 Esquema geral de sistemas de controle em malha fechada ................................................ 3 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE ......................................................................................................... 4 2.1 Motivação ............................................................................................................................... 4 2.2 Definição ............................................................................................................................... 4 2.3 Transformadas de Funções Usuais .......................................................................................... 6 2.4 Solução de Equações Diferenciais Lineares ............................................................................ 6 2.5 Funções de Transferência ........................................................................................................ 7 2.6 Exemplos ............................................................................................................................... 8 2.6.1 Sistema elétrico .................................................................................................................... 8 2.6.3 Sistema mecânico ................................................................................................................ 8 2.6.4 Sistema eletromecânico - MCC controlado pela armadura .................................................. 9 2.7 Diagramas de Blocos ................................................................................................................ 10 2.7.1 Detector de erro ou comparador........................................................................................... 11 2.7.2 Distúrbios em sistemas em malha fechada .......................................................................... 13 2.8 Redução de Diagramas de Blocos ........................................................................................... 13 3. RESPOSTAS TEMPORAIS ................................................................................................................... 14 3.1 Introdução ............................................................................................................................... 14 3.2 Sistemas de 1a Ordem .............................................................................................................. 15 3.2.1 Resposta a degrau ............................................................................................................... 15 3.2.2 Resposta a rampa ................................................................................................................ 16 3.3 Sistemas de 2a ordem ............................................................................................................... 17 3.3.1 Resposta a degrau ............................................................................................................... 17 3.3.2 Especificações da resposta transitória ................................................................................. 19 3.4 Erro Estacionário ....................................................................................................................... 24 3.5 Rejeição de Perturbações em Regime Estacionário ................................................................ 27 4. ESTABILIDADE ..................................................................................................................................... 28 4.1 Introdução ............................................................................................................................... 28 4.2 Critério de Routh ....................................................................................................................... 28 5. RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA ............................................................................................................ 31 5.1 Introdução ............................................................................................................................... 31 Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 2 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP J. C. Maxwell, 1868: primeiro estudo sistemático de estabilidade de sistemas de controle. Routh, 1877: critério de estabilidade. Minorski, 1922: pilotagem automática de navios - estudou a estabilidade. Black, 1927: amplificador a realimentação. Nyquist, 1932: estudou a estabilidade com base na resposta em freqüência (resposta estacionária a entradas senoidais). Bode, 1938: desenvolveu metodologia de projeto de amplificadores a realimentação. Evans, 1948: método do lugar das raízes (método gráfico que permite determinar as raízes da equação característica de um sistema). 1.2 Sistemas de Controle em Malha Aberta X Malha Fechada Malha Aberta: a saída não é utilizada para alterar a ação de controle. Exemplos: aquecedor elétrico para ambientes domésticos (o usuário escolhe a posição de um botão e não a altera mais); forno de fogão a gás doméstico. Malha Fechada: a saída é utilizada para alterar a ação de controle, motivo pelo qual é sinônimo de sistemas a realimentação. O controlador é um dispositivo cuja finalidade é usar o erro de um comparador entre o valor desejado de uma certa variável e o seu valor real para calcular o valor da variável de controle. Exemplo: geladeira doméstica (o usuário escolhe um nível de "frio" através de um botão com escala e a temperatura se mantém aproximadamente constante, a despeito de perturbações externas, tais como variações da temperatura ambiente, entrada de massas de ar quente provocada pela abertura de portas, armazenamento de alimentos à temperatura ambiente, etc). 1.2.1 Vantagens da operação em malha fechada • insensibilidade a perturbações externas (distúrbios externos); • insensibilidade a variações em parâmetros do sistema; • possibilidade de utilização de componentes baratos e não precisos para obter sistemas com desempenho de alta qualidade. 1.2.2 Desvantagem da operação em malha fechada • possibilidade de perda de estabilidade causada, em geral, por ganhos elevados (imagine um motorista dirigindo seu carro em uma estrada e aplicando correções acentuadas de direção sempre que observa algum erro de rumo; note, entretanto, que neste caso o controle em malha aberta é impraticável, já que haveria a necessidade de conhecimento prévio de toda a trajetória). Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 3 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP 1.2.3 Esquema geral de sistemas de controle em malha fechada + _ Controlador Planta Sensor Referência Erro Saída Perturbações Figura 1.3 – Classificação geral Os controladores são classificados em geral conforme a forma de energia principal que eles usam, isto é, elétrica, hidráulica, pneumática, mecânica, etc. Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 4 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP 2. Transformada de Laplace 2.1 Motivação Logaritmos: no curso colegial vimos que, com seu uso, é possível transformar operações aritméticas "complicadas" em outras mais simples. Por exemplo: produtos em somas; divisões em subtrações; exponenciações em produtos; radiciações em divisões. Mecanismo: 1. Tomar o logaritmo da expressão "complicada"; 2. Efetuar as operações "mais simples"; 3. Obter o resultado desejado aplicando a transformação inversa (antilogaritmo). Nota: esse processo funciona porque a transformação é biunívoca. A utilidade da Transformada de Laplace reside no fato de que equações "complicadas" (equações diferenciais lineares a coeficientes constantes) podem ser transformadas em equações mais simples (equações algébricas). Além disso, funções usuais em controle como degraus, senóides, exponenciais, senóides amortecidas, podem ser transformadas em funções racionais; operações como diferenciação e integração também podem ser substituídas por operações algébricas. Quando se resolvem equações diferenciais através da Transformada de Laplace, as condições iniciais são consideradas automaticamente. Por fim, através da Transformada de Laplace é possível prever o desempenho de sistemas dinâmicos utilizando-se técnicas gráficas, sem a necessidade de se resolver as equações diferenciais. 2.2 Definição Dada uma função f(t), define-se: L ( )[ ] ( ) ( ) dttfesFtf 0 st ⋅∫ ⋅ ∆ == +∞ − − Diferenciação L ( ) ( ) ( )−−⋅=         ⋅ 0fsFstf Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 7 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP com: ( ) 0i0i = e ( ) ( )t1tv = i. Tomamos a Transformada de Laplace de ambos os membros da equação diferencial: ( )[ ] ( ) ( ) s 1 sVsIRisIsL 0 ==⋅+−⋅⋅ ii. Isolamos a função a determinar ( I(s) ): ( )       +⋅ + + = L R ss L 1 L R s i sI 0 iii. Como o segundo termo não consta da tabela usual, reescrevêmo-lo: ( )             + −⋅+ + = L R s 1 s 1 R 1 L R s i sI 0 iv. Antitransformamos I(s): ( ) ( )         −⋅+⋅= ⋅−⋅− t L R t L R 0 et1R 1 eiti , ( )0t ≥ Verificações: ( ) 0i0ti == + (ok!) ( ) R 1 ti =∞→ (ok!) 2.5 Funções de Transferência Definem-se, apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo (S.L.I.T.), como sendo a relação entre as Transformadas de Laplace dos sinais de saída e de entrada do sistema, obtidas com condições iniciais nulas. Figura 2.4 S.L.I.T. x(t) y(t) ( ) ( ) ( ) .Q.I.CsX sY sG ∆ = Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 8 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP 2.6 Exemplos 2.6.1 Sistema elétrico LR i(t) C ei(t) eo(t) Figura 2.5 - Entrada: ei(t) Saída: eo(t) Hipóteses: elementos ideais frequência baixa, para valer a lei de Kirchhoff Lei de Kirchhoff (considerando C.I. nula no capacitor): ( ) ( ) ( ) ( )∫ ⋅⋅+⋅+⋅= t 0 i dttiC 1 tiR dt tdi Lte ( ) ( )∫ ⋅⋅= t 0 o dttiC 1 te Transformando segundo Laplace (C.I.Q.): ( ) ( ) ( ) ( ) s sI C 1 sIRsIsLsEi ⋅+⋅+⋅⋅= ( ) ( ) s sI C 1 sEo ⋅= Daí: ( ) ( ) ( ) 1sRCsLC 1 sE sE sG 2 i o +⋅+⋅ == 2.6.3 Sistema mecânico k F(t) x(t) m f Figura 2.6 Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 9 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP Entrada: F(t) Saída: x(t) Hipóteses: atrito viscoso linear mola linear com massa desprezível Lei de Newton: ( ) ( ) ( ) ( ) dt tdx ftxktF dt txd m 2 2 ⋅−⋅−=⋅ Aplicando a Transformada de Laplace (C.I.Q.): ( ) ( ) ( ) ( )sXsfsXksFsXsm 2 ⋅⋅−⋅−=⋅⋅ Daí: ( ) ( ) ( ) ksfsm 1 sF sX sG 2 +⋅+⋅ == Nota: observa-se, portanto, que a função de transferência tem a mesma forma daquela do sistema elétrico visto anteriormente. 2.6.4 Sistema eletromecânico - MCC controlado pela armadura Ra va(t) ia(t) ea(t) if = cte J fω(t)T Figura 2.7 Entrada: va(t) Saída: ω(t) Hipóteses: La desprezível MCC linear eixo rígido atrito viscoso linear campo MCC constante (La: indutância da armadura; MCC: motor de corrente contínua) Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 12 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP No entanto, muitas vezes isso pode requerer algum cuidado. Consideremos, por exemplo, um sistema de controle do tipo piloto automático de navio, cujo objetivo é controlar o rumo de navegação. Neste caso, o sinal de referência deve ser estabelecido pelo timoneiro que, acionando o timão, gera um sinal na forma de uma tensão elétrica (R(s): Volts), enquanto que o sinal de saída do sistema é o ângulo de rumo da embarcação (C(s): graus). É necessário, então, utilizar um bloco que converta ângulo em tensão elétrica para alimentar adequadamente o detector de erro. Essa conversão é representada pelo bloco H(s) da figura acima. Outra função importante que pode ser desempenhada pelo bloco H(s) é a de modificar o sinal de saída antes de compará-lo com a entrada. Essa flexibilidade é, aliás, um dos pontos chave da engenharia de controle, pois, através da escolha adequada de H(s), pode-se, muitas vezes, fazer com que o sistema em malha fechada se comporte de uma maneira desejada. Um dos propósitos da engenharia de controle é, pois, estabelecer procedimentos que permitam definir o bloco H(s). Definem-se: • Função de Transferência de Malha Aberta: ( ) ( ) ( ) ( )sHsG sE sB ⋅== • Função de Transferência do Ramo Direto: ( ) ( ) ( )sG sE sC == • Função de Transferência de Malha Fechada: ( ) ( )sR sC = Vejamos como a Função de Transferência de Malha Fechada se relaciona com G(s) e H(s). Do diagrama de blocos: ( ) ( ) ( )sEsGsC ⋅= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCsHsRsBsRsE ⋅−=−= Substituindo a última expressão na anterior, vem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCsHsGsRsGsC ⋅⋅−⋅= e portanto: No caso de realimentação unitária (H(s)=1): R(s) E(s) C(s)+ - G(s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sHsG1 sG sR sC ⋅+ = ( ) ( ) ( ) ( )sG1 sG sR sC + = Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 13 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP 2.7.2 Distúrbios em sistemas em malha fechada Distúrbios (ou perturbações externas) são sinais agindo no sistema, sobre os quais não se pode atuar diretamente. No caso do piloto automático de navios, o bloco )s(K poderia representar o controlador juntamente com os atuadores (máquina do leme e leme). O bloco )s(G poderia representar o navio propriamente dito. O bloco )s(H poderia representar o sensor de rumo. Nessas condições, o distúrbio )s(N representaria os torques externos atuantes sobre a embarcação (provocados pela ação de ventos, correntes, ondas, etc.) R(s) E(s) C(s) + - K (s) H(s) G (s) N(s) (distúrbio) + + Figura 2.10 2.8 Redução de Diagramas de Blocos Os diagramas de blocos podem ser redesenhados utilizando-se algumas regras simples, conforme discutido a seguir. 1) X X-Y Y + - X-Y+Z Z + + ≡ X X+Z Z + + X+Z-Y Y - + 2) G1(s) G2(s) X G1 .X G2 G1 .X ≡ G2(s) G1(s) X G2 .X G1 G2 .X 3) G1(s) G2(s) X G1 .X G2 G1 .X ≡ G2(s) .G1(s) X G2 G1 .X 4) +G1 .X G1(s) G2(s) +G2 .X (G1+G2) .XX ≡ G1(s)+G2(s) X (G1+G2) .X 5) + G1(s) - G2(s) ≡ G G G 1 1 21+ Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 14 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP 3. Respostas Temporais 3.1 Introdução Uma das vantagens da realimentação é permitir ajustar os desempenhos transitório e estacionário de sistemas de controle. Para projetar e analisar sistemas de controle, é necessário definir e medir o desempenho dos sistemas. Então, com base no desempenho desejado, os parâmetros do controlador podem ser ajustados para se atingir esse objetivo. É necessário estabelecer uma base que permita ao analista/projetista comparar os desempenhos de diferentes opções de sistemas de controle. Isto pode ser feito escolhendo-se sinais de entrada particulares e comparando-se os desempenhos obtidos em cada caso. Um bom número de critérios de projeto baseia-se nesses sinais particulares ou na resposta do sistema a condições iniciais. As especificações de projeto de sistemas de controle normalmente incluem vários índices de resposta temporal para um sinal de entrada determinado, além de uma precisão especificada para a resposta estacionária. Muitas vezes, na prática, o sinal de referência de um sistema de controle não é conhecido a priori (por exemplo, o controle de trajetória de robôs móveis). Pode ocorrer, inclusive, que o sinal de referência seja de natureza aleatória. Há, naturalmente, exceções, como o caso de máquinas de corte, foguetes lançadores de satélites, etc. Os sinais de referência mais utilizados são o degrau, a rampa, a parábola (menos comum), o impulso e a senóide. O tipo de sinal mais apropriado para uma dada aplicação depende das características desta. Assim, por exemplo, quando se altera o valor desejado para a temperatura ambiente controlada através de um sistema do tipo ar condicionado + calefação, o degrau é um sinal apropriado. O mesmo ocorre, por exemplo, no caso de um piloto automático de navio quando se altera bruscamente o rumo desejado. Por outro lado, imagine-se um sistema de posicionamento para uma antena rastreadora de satélites. Neste caso, uma boa escolha para o sinal de referência é a rampa. Por fim, considere-se um sistema de controle de uma suspensão ativa de automóvel. Se o objetivo for estudar o comportamento do sistema quando o carro passar, em alta velocidade, por um buraco, o impulso será uma escolha adequada para o sinal de distúrbio. Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 17 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP ( ) ( )TtTte >>≅ o que significa que há um erro estacionário. 3.3 Sistemas de 2a ordem 3.3.1 Resposta a degrau Consideremos o sistema de 2a ordem genérico com Função de Transferência em malha fechada: ( ) ( ) )0( s2ssR sC n2 nn 2 2 n >ω ω+⋅ξω+ ω = Os pólos deste sistema são as raízes de: 0s2s 2nn 2 =ω+⋅ξω+ . Analisemos a localização dos pólos em função dos parâmetros do sistema. Temos:       −ξ±ξ−⋅ω= ω−ωξ±ξω− = 1 2 442 s 2n 2 n 2 n 2 n 2,1 . Subamortecimento: 0 < ξ < 1 -σ Im ξωn Re ω ξn 1 2− jωd β ωn Figura 3.3 Neste caso, os pólos do sistema são: d 2 nn2,1 j1js ω⋅±σ−=ξ−ω⋅±ξω−= ∆ A figura ao lado mostra a representação desses pólos no plano complexo. Note que: Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 18 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP ( )β=ξ cos e ( )β=ξ− sen1 2 Nomenclatura: ωn = freqüência natural não amortecida ωd = freqüência natural amortecida ξ = coeficiente de amortecimento Vamos ver em seguida as razões dessas designações. Aplicando um degrau unitário na entrada do sistema ( )R s s =       1 e considerando condições iniciais nulas, a saída será: ( ) ( ) ( )dd 2 n jsjss sC ω−σ+⋅ω+σ+⋅ ω = Expandindo em frações parciais e antitransformando cada parcela (ou consultando uma tabela), obtém-se: ( ) ( ) ( )0ttsene 1 1 1tc d t 2 ≥β+ω⋅⋅ ξ− −= σ− O gráfico de c(t) tem o aspecto mostrado na figura abaixo. 2 0 T 2T 3T 4T 1 t t T p = π c(t) 1 1 2 − − − e t σ ξ 1 1 2 + − − e t σ ξ 0 1 < < ξ Figura 3.4 Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 19 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP Nota-se que: i. a resposta c(t) é uma oscilação amortecida; ii. a freqüência de oscilação é ωd (daí a designação freqüência natural amortecida) e, portanto, depende tanto de ωn quanto de ξ, sendo sempre ωd < ωn e, à medida que ξ aumenta, ωd diminui; iii. a envoltória das oscilações é uma exponencial amortecida com constante de tempo T =1/σ, que também depende de ωn e ξ, e, à medida que ωn ou ξ aumentam, σ aumenta e T diminui; iv. o valor estacionário da resposta é ( ) 1c =∞ e, portanto, a saída é igual à entrada; v. apenas como verificação, nota-se que: ( ) ( ) 0sen 1 1 10c 2 =β⋅ ξ− −= 3.3.2 Especificações da resposta transitória É grande o número de casos práticos em que as especificações de desempenho do sistema de controle são estabelecidas com base em grandezas relacionadas à sua resposta temporal. A resposta a degrau é, com freqüência, usada como referência para essas especificações. Além de ser simples de testar, ela representa uma excitação bastante severa sobre o sistema, dado que a entrada muda bruscamente de nível no instante da aplicação do degrau. Sua importância reside tanto no estudo da resposta transitória como da resposta em regime estacionário. As variáveis associadas à resposta temporal são definidas para a entrada degrau unitário no caso oscilatório, por razões que serão discutidas a seguir. São elas (vide figura): a) tempo de subida (rise time) (tr); b) instante de pico (peak time) (tp); c) tempo de acomodação (settling time) (ts); d) sobressinal máximo (maximum peak) (Mp); Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 22 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP 0 0.5 1.0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ξ M p ( % ) Figura 3.7 Para melhor visualizar o significado desse comportamento, a figura abaixo ilustra a resposta a degrau do sistema de 2a ordem parametrizado em ξ. ξ = 0.3 ξ = 0.2 ξ =0.1 ξ = 0.0 ξ = 0.4 ξ = 0.5 ξ = 0.6 ξ = 0.7 ξ = 1.0 ξ = 2.0 0 2 4 6 8 10 12 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 ω n t c(t) Figura 3.8 c) Tempo de acomodação (ts): Adotando a faixa de 2% em torno do valor estacionário para definir ts, pode-se mostrar que: ( ) ( )9.0044T4%2t n s <ξ< ξω = σ =≅ Para a faixa de 5%, por outro lado: ( ) ( )9.0033T3%5t n s <ξ< ξω = σ =≅ Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 23 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP Note que é possível reduzir o tempo de acomodação (que é uma medida do tempo de duração do transitório) aumentando ωn, mesmo que ξ esteja fixo pela especificação do sobressinal. Exemplo: considere o sistema representado na figura. Deseja-se selecionar os parâmetros p e k de maneira que 05.0Mp ≤ e ( ) s4%2ts ≤ . R(s) C(s)+ - ( ) k s s p⋅ + Figura 3.9 Para: 05.0043.0M, 2 2 p <≤≥ξ Por outro lado: ( ) 144%2t n n s ≥ξω⇒≤ ξω ≅ Essas duas condições definem a região admissível para a localização dos pólos de malha fechada como sendo aquela hachurada na figura abaixo. Podemos escolher, por exemplo, j1±− . Tendo em vista que a função de transferência de malha fechada é kpss k )s(R )s(C 2 ++ = Re45o Im -1 Figura 3.10 e identificando os polinômios kpss)j1s)(j1s( 2 ++≡++−+ , resultam os valores 2=p e 2=k . Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3 nº. 158 – Prédio de Engenharia Elétrica – Bloco A – Térreo CEP 05508-900 – Butantã - São Paulo. Telefone: ++55 11 30377545 / Fax: ++55 11 30377536 24 EPUSP Convênio Rockwell Automation Escola Politécnica da USP 3.4 Erro Estacionário O desempenho de muitos sistemas de controle pode ser especificado não apenas com base na sua resposta transitória, mas também pelo erro estacionário em relação a certos sinais de referência, tais como degraus, rampas e parábolas. A este respeito, um conceito útil em teoria de controle é o de tipo do sistema, que está associado a uma medida qualitativa da precisão com que o sistema é capaz de acompanhar, em regime estacionário, as entradas acima. Consideremos o sistema em malha fechada com realimentação unitária representado na figura ao lado. Seja G(s) escrito na forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1sT1sT1sTs 1s1s1sK sG p21 N m210 +⋅⋅+⋅+⋅ +τ⋅⋅+τ⋅+τ⋅ = Κ Κ , Figura 3.11 onde os pólos na origem em malha aberta foram explicitados através do termo sN. Esta forma de escrever a função de transferência será chamada aqui de forma de constante de tempo. O valor de N define o tipo do sistema. Usualmente, fala-se em sistemas tipo 0, 1 ou 2, respectivamente, para N = 0, 1 ou 2. À medida que cresce o tipo do sistema, aumenta sua capacidade de seguir entradas, no sentido: degrau α rampa α parábola. Em compensação, sistemas de tipos mais altos requerem compensadores mais complexos para sua estabilização. Para o sistema representado pelo diagrama de blocos acima, obtém-se facilmente a Função de Transferência que relaciona E(s) a R(s): ( ) ( ) ( )sR sG1 1 sE ⋅ + = Admitindo que o sistema em malha fechada seja estável, o Teorema do Valor Final fornece: ( ) ( ) ( ) ( )sG1 sRs limsEslimtelim)(e 0s0st + ⋅ =⋅==∞ →→∞→ R(s) E(s) C(s)+ - G(s)