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A LÓGICA NO COTIDIANO E A LÓGICA NA MATEMÁTICA Flávia Soares Mestre em Matemática e Doutora em Educação (PUC– RIO) Professora da Universidade Severino Sombra (USS) – Vassouras/RJ Instituto Superior de Tecnologia/ FAETEC (Paracambi/ RJ) fsoares.rlk@terra.com.br Geovani Nunes Dornelas Professor da Universidade Severino Sombra (USS) – Vassouras/RJ e da Rede Estadual de ensino gdornelas@uss.br Introdução “Ela [a Lógica] lhe dará clareza de pensamento, a habilidade de ver seu caminho através de um quebra-cabeça, o hábito de arranjar suas idéias numa forma acessível e ordenada e, mais valioso que tudo, o poder de detectar falácias e despedaçar os argumentos ilógicos e inconsistentes que você encontrará tão facilmente nos livros, jornais, na linguagem cotidiana e mesmo nos sermões e que tão facilmente enganam aqueles que nunca tiveram o trabalho de instruir-se nesta fascinante arte” (Lewis Carroll). Em Matemática estamos sempre tentando descobrir coisas novas e querendo saber se uma afirmação é verdadeira ou falsa. Em muitos casos, a intuição nos mostra a verdade, mas em outros ela pode nos pregar uma peça. Nesses momentos somos levados a buscar outros recursos mais eficientes que nos permitam afirmar com certeza o que queremos. Freqüentemente usamos expressões “é lógico que sim”, ou “é lógico que vai chover”, etc. Mas será que é realmente lógico? Em que nos baseamos para fazer tais afirmações? Quando usamos essas expressões quase sempre estamos nos referindo a algo que nos parece evidente ou quando temos uma opinião muito fácil de justificar (MACHADO, 2000). Fazemos afirmações e suposições de vários tipos e tiramos conclusões sobre os acontecimentos do dia a dia o tempo todo. A grande maioria delas é baseada em nossa intuição, em nossa experiência ou a partir de comparações com outras situações semelhantes já vivenciadas. Mas nem sempre isso é suficiente. Para provar alguma coisa, sustentar uma opinião ou defender um ponto de vista sobre algum assunto, é preciso argumentar. Ou seja, é preciso apresentar justificativas convincentes 2 e corretas que sejam suficientes para estabelecer, sem deixar nenhuma dúvida, se uma determinada afirmação é falsa ou verdadeira. A lógica formal surge com Aristóteles. Como indica o termo grego Órganon, nome dado ao conjunto dos escritos lógicos de Aristóteles, a lógica é um instrumento do pensamento para pensarmos corretamente. A Lógica não se refere a nenhum ser, a nenhuma coisa, ou a algum objeto em particular, nem a nenhum conteúdo, mas à forma do pensamento. Segundo Aristóteles, a lógica estuda a razão como instrumento da ciência ou como um meio de adquirir e possuir a verdade. E o ato próprio da razão é o ato de raciocinar (ou argumentar). O raciocínio ou argumentação é um tipo de operação do pensamento que consiste em encadear logicamente idéias para delas tirar uma conclusão. Essa operação vai de uma idéia a outra passando por um ou vários intermediários e exige o uso de palavras. Portanto é dita uma inferência mediata, isto é, procede por mediação, por meio de alguma coisa (CHAUÍ, 1994). Ainda segundo Aristóteles a Lógica é o que devemos estudar e aprender antes de iniciar uma investigação filosófica ou científica, pois somente ela pode indicar qual o tipo de proposição, de raciocínio, de demonstração, de prova, e de definição que uma determinada ciência deve usar (CHAUÍ, 1994). A Lógica é uma disciplina que fornece as leis, regras ou normas ideais de pensamento e o modo de aplicá-las para demonstrar a verdade. A Lógica também estabelece os fundamentos necessários para as demonstrações pois, dada uma certa hipótese, a lógica permite verificar quais são as suas conseqüências; dada uma certa conclusão, a lógica permite verificar se ela é verdadeira ou falsa (CHAUÍ, 1994). Um argumento lógico é aquele em que a conclusão é encontrada a partir da análise das relações entre as premissas, sem considerar o conteúdo real das mesmas. Lógica e raciocínio dedutivo não estão preocupados em examinar a verdade das premissas em um argumento lógico. A preocupação é com o fato de se a premissa envolve logicamente a conclusão. Lógica na Matemática e Lógica no Cotidiano Uma vez que a correção ou incorreção de um argumento depende somente da relação estabelecida entre as premissas e a conclusão, a validade do argumento independe da veracidade das premissas. Entretanto é fácil cair na tentação de aceitar 5 Matemática teria em tal tarefa, pois que, qualquer assunto poderia apresentar situações igualmente profícuas nesse sentido. Mas mesmo estando presente no seu discurso e mesmo que eles acreditem nessa capacidade da Matemática, a maior parte dos professores muitas vezes não compreende explicitamente o que isso significa e nem sabe como proporcionar situações para que os alunos realmente raciocinem bem. Os livros didáticos por muitos anos excluíram os alunos da construção dos conteúdos, abandonando o raciocínio dedutivo e as demonstrações, e enfatizando o uso de algoritmos e fórmulas nem sempre bem compreendidas pelos estudantes. No ensino da Matemática, pensar por meio de algoritmos tem uma desvantagem sobre o pensamento lógico. Os alunos aprendem uma enorme quantidade de fórmulas e em que tipos de situações devem aplicá-las. Assim, quando o estudante se depara com uma situação similar ele pode resolvê-la facilmente, entretanto não pode resolver qualquer tipo de problema desconhecido, mesmo se ele tem todo o conhecimento para isso. Problemas em Geometria tem uma característica comum: eles não podem ser resolvidos com o mesmo padrão. Nesses casos não é suficiente substituir um dado em uma fórmula, mas sim combinar e aplicar os teoremas conhecidos. Isto é problemático para os estudantes o que torna o desempenho deles fraco em Geometria mesmo que sejam bons em outros assuntos da Matemática. Outros temas geram igual dificuldade como a Análise Combinatória. No ensino de combinatória os livros didáticos e os professores tendem a agrupar as diferentes situações de contagem em combinações, arranjos e permutações, sem que se compreenda o porquê das fórmulas. Assim, somente o conhecimento das mesmas não resolve os problemas realmente significantes, aqueles nos quais o raciocínio lógico aliado ao princípio fundamental da contagem leva facilmente a resposta correta. Ensinar lógica freqüentemente pode ser associado com o ensino de conectivos, tabelas verdade e diagramas de Venn. Sendo assim, voltamos a ensinar mais uma vez algoritmos e fórmulas. Estes algoritmos têm praticamente nenhuma aplicação no ensino da Matemática no Ensino Fundamental e Médio, o que faz com que as escolas não ensinem Lógica alguma. Acreditamos que se deve ensinar lógica de uma forma diferente, ajudando os alunos a perceber a existência de uma estrutura lógica do pensamento matemático melhorando sua capacidade de resolver problemas. Aliado a essa questão, enfatizamos 6 que é necessário ainda entender que, embora na linguagem matemática e linguagem do cotidiano as frases guardem certas semelhanças as regras de entendimento para podem se distintas dependendo da situação a ser analisada. Dessa forma algumas das atividades que acreditamos serem úteis para um primeiro contato com a Lógica matemática são as atividades que envolvem a argumentação lógica no cotidiano, enigmas lógicos e atividades lúdicas envolvendo o raciocínio lógico (matemático ou não). A Lógica é freqüentemente deixada de fora do ensino de matemática. Este fato tem efeitos no entendimento da Matemática e em outras linguagens. Este minicurso aponta para alguns tipos de atividades que podem ser realizadas para que a Lógica passe a fazer parte do currículo de Matemática. Os principais tópicos abordados serão os seguintes:  Informações gerais sobre a História da lógica;  O que é Lógica e qual a sua importância para o ensino e aprendizagem da Matemática;  Tipos de argumentos (argumentos válidos, inválidos, sofismas, estrutura de um argumento, silogismos);  Lógica simbólica (uso dos conectivos e e ou);  Proposições do tipo “Se A então B” e sua importância nas demonstrações de teoremas (reconhecimento de tese e hipótese, negação, recíproca)  Exemplos mais comuns de demonstrações em Matemática (demonstração direta e demonstrações por absurdo)  Exercícios de Lógica envolvendo situações matemáticas e exemplos do cotidiano (atividades recreativas envolvendo lógica, enigmas lógicos, exercícios de vestibulares recentes e concursos);  Sugestões de leitura para aprofundamento. A maior parte das atividades foi retirada de Barros (2001, 2003); Silva (2000) e Machado (2000); exames de Vestibulares e concursos públicos. Referências BARROS, Dimas Monteiro de. Raciocínio lógico, matemático e quantitativo. São Paulo: Novas Conquistas São Paulo, 2001. (Série Concursos Públicos). 7 ________, Dimas Monteiro de. Enigmas, Desafios, Paradoxos e outros divertimentos matemáticos. Araçatuba: Novas Conquistas São Paulo, 2003. CHAUÍ, Marilena. Introdução à história da filosofia: dos pré-socráticos a Aristóteles. v. I. São Paulo: Brasiliense, 1994. DIAS, Maria da Graça Bompastor Borges. O desenvolvimento do raciocínio dedutivo. In: DIAS, Maria da Graça Bompastor Borges; SPINILLO, Alina Galvão (Orgs.) Tópicos em Psicologia Cognitiva. Recife: Editora da Universitária da UFPE, 1996. p. 11-44. DRUK, Iole de Freitas. A linguagem Lógica. Revista do Professor de Matemática, 17, p. 10 – 18, 1998. MACHADO, Nílson José. Lógica? É Lógico! São Paulo: Scipione, 2000. _________, Nílson José. Matemática e Língua Materna. 5.ed. São Paulo, Cortez, 2001. MALTA, Iaci; PESCO, Sinésio; LOPES, Hélio. Cálculo a uma Variável: uma Introdução ao Cálculo. v.1. Rio de Janeiro: Ed. PUC – Rio; São Paulo: Loyola, 2002. NASSER, Lilian; TINOCO, Lúcia A. A. Argumentação e Provas no ensino da Matemática. Rio de Janeiro: IM / UFRJ – Projeto Fundão, 2001. PALIS, Gilda de La Rocque; MALTA, Iaci. Somos todos mentirosos? Revista do Professor de Matemática, 37, p.1–10, 1998. SALMON, Wesley C. Lógica. Trad. Álvaro Cabral. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil. SILVA, Josimar José da; LOPES, Luís. É divertido resolver problemas. Rio de Janeiro: J. Silva, 2000. 10 b) Kárita e Mariana não foram ao clube. c) Kárita foi ao clube. d) Mariana não foi à praia e Kárita foi ao clube. e) Mariana e Kárita foram ao clube no dia seguinte. 3. (UFF-98) Numa cidade litorânea é rigorosamente obedecida a seguinte ordem do prefeito: “ Se não chover, então todos os bares à beira-mar deverão ser abertos” . Pode-se afirmar que: a) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu. b) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não choveu. c) Se choveu, estão todos os bares à beira-mar não estão abertos. d) Se choveu, estão todos os bares à beira-mar estão abertos. e) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu. 4. (AFC/ 96) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço que Pedro. Se João é mais moço que Pedro, então Carlos é mais velho que Maria. Ora, Carlos não é mais velho que Maria. Então: a) Carlos não é mais velho que Júlia e João é mais moço que Pedro. b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade. 5. Considere a proposição verdadeira: Se duas retas são perpendiculares então o ângulo formado entre elas mede 90º. A partir desta proposição podemos afirmar que: a) Se as retas r e s não são perpendiculares então r e s não formam um ângulo de 90º. b) Se as retas r e s não formam um ângulo de 90º então as retas r e s são perpendiculares. c)Se as retas r e s formam um ângulo de 90º então r e s não são perpendiculares. d) Se duas retas r e s não formam entre si um ângulo de 90º então as retas r e s não são perpendiculares. e) Se duas retas r e s não são perpendiculares então as retas r e s formam entre si um ângulo de 90º. BLOCO IV 1. Considere a afirmação abaixo: “Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.” a) Escreva a proposição acima na forma “ Se ... então...” b) Escreva a recíproca do item (a) c) Escreva a contra positiva do item (a) 2. Considere a afirmação abaixo: “ Num triângulo isósceles os ângulos da base são iguais.” a) Escreva a proposição acima na forma “ Se ... então...” b) Escreva a recíproca do item (a) c) Escreva a contra positiva do item (a) 3. Considere a afirmação abaixo: 11 “Num triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. a) Escreva a proposição acima na forma “Se ... então...” b) Escreva a recíproca do item (a) c) Escreva a contra positiva do item (a) BLOCO V 1. (ICMS/SP-97) Assinale a alternativa que apresenta uma CONTRADIÇÃO. a) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião. b) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião. c) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano. 2. Tomando como verdadeira a proposição “Quem fuma morre de câncer”, assinale V para as conclusões verdadeiras e F para as conclusões falsas. ( ) Rafael fuma, logo Rafael morrerá de câncer. ( ) Rafael não fuma, logo Rafael não morrerá de câncer. ( ) Rafael não morreu de câncer, logo Rafael não fumava. ( ) Rafael têm câncer, logo Rafael não fuma. 3. Tomando como verdadeira a proposição “Sorte no jogo, Azar no amor”, assinale V para as conclusões verdadeiras e F para as conclusões falsas. ( ) Andréia tem sorte no jogo, logo Andréia tem azar no amor. ( ) Andréia tem não sorte no jogo, logo Andréia não tem azar no amor. ( ) Andréia tem azar no amor, logo Andréia não tem sorte no jogo. ( ) Andréia não tem azar no amor, logo Andréia não tem sorte no jogo. 4. Considere as seguintes proposições. I. Se X torce pelo Flamengo, então X não torce pelo Vasco. II. Se X é vascaíno, então X é inteligente. Com base nessas duas proposições, pode-se concluir que: a) Todo pessoa inteligente é vascaína. b) Existe vascaíno que não é inteligente. c) Se X não torce pelo Flamengo, então X é inteligente. d) Se X não é inteligente, então X não torce pelo Vasco. e) Existem pessoas inteligentes que torcem pelos dois times. 5. Todos os primogênitos da família Almeida Braga têm olhos azuis. Emiliano tem olhos castanhos. Então, NÃO se pode afirmar que: a) se Emiliano é primogênito, então certamente não pertence à família Almeida Braga. b) se Emiliano pertence à família Almeida Braga, então certamente não é primogênito. c) é possível que Emiliano pertença à família Almeida Braga e seja primogênito. d) é possível que Emiliano não pertença à família Almeida Braga nem seja primogênito. e) Emiliano pertence à família Almeida Braga se e somente se não for primogênito. 6. Sabe-se que: I- Quando Ricardo fica gripado, ele falta ao trabalho. II- Emília só falta ao trabalho quando está gripada. 12 III- Ivete jamais falta ao trabalho quando está gripada. Hoje, Ricardo, Emília e Ivete faltaram ao trabalho. Então, pode-se afirmar: a) Talvez Ricardo e Ivete estejam gripados. b) Ricardo e Emília estão gripados. c) Emília está gripada e é possível que Ricardo não esteja gripado. d) Ricardo, Emília e Ivete estão gripados. e) Ricardo está gripado e Emília certamente não está gripada. 7. Considere a afirmação como verdadeira: “ Se eu estudar bastante então passarei de ano.” A opção verdadeira é: a) Se eu não estudar bastante passarei de ano. b) Se eu não estudar bastante então não passarei de ano. c) Só passarei de ano se eu estudar bastante. d) Se eu não passar de ano é porque não estudei bastante. e) Mesmo que eu estude bastante não passarei de ano. 8. (ICMS/SP-97) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo, a) seu esforço é condição suficiente para vencer. b) seu esforço é condição necessária para vencer. c) Se você não se esforçar, então não irá vencer. d) você vencerá só se esforçar. e) mesmo que se esforce, você não vencerá. 9. (UFF – 2002 – Etapa 1) O seguinte enunciado é verdadeiro: “ Se uma mulher está grávida, então a substância gonadotrofina cariônica está presente na sua urina.” Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exames e constatou-se que a substância gonadotrofina cariônica está presente na urina de Fátima e não está presente na urina de Mariana. Utilizando a proposição enunciada, os resultados dos exames e o raciocínio lógico dedutivo: a) garante-se que Fátima está grávida e não se pode garantir que Mariana está grávida. b) garante-se que Mariana não está grávida e não se pode garantir que Fátima está grávida. c) garante-se que Mariana está grávida e que Fátima também está grávida. d) garante-se que Fátima não está grávida e não se pode garantir que Mariana está grávida. e) garante-se que Mariana não está grávida e que Fátima está grávida 10. (UERJ-2002) Rafael comprou quatro passagens aéreas para dar uma de presente para cada um de seus quatro netos. Para definir a época em que irão viajar, Rafael pediu para cada um dizer uma frase. Se a frase fosse verdadeira, o neto viajaria imediatamente; se fosse falsa, o neto só viajaria no final do ano. O quadro abaixo apresenta as frases que cada neto falou: NETO FRASE I Viajarei para a Europa II Meu vôo será noturno III Viajarei no final do ano IV O Flamengo é o melhor time do Brasil