(Parte 2 de 2)

d) o produto interno de dois vetores será sempre um número real.

e) o produto interno de vetores é também conhecido como produto escalar.

6.4.1 - CÁLCULO DO PRODUTO INTERNO EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS DO VETOR

Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d jVamos multiplicar escalarmente os vetores u e v .u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j

Lembrando que os versores i e j são perpendiculares e considerando-se as conclusões acima, teremos: i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0

Daí, fazendo as substituições, vem:u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd

Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos produtos das componentes correspondentes ou homônimas.

Unindo a conclusão acima, com a definição inicial de produto interno de vetores, chegamos a uma importante fórmula, a saber:

Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d)Já sabemos que: u.v = u.v.cos = ac + bdLogo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que:

Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas coordenadas.Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o produto interno deles, pelo produto dos seus módulos. Achado o coseno, o ângulo estará determinado.

Veremos um exercício de aplicação, no final deste arquivo.

Vamos demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto interno de vetores.

Seja o triângulo retângulo da figura abaixo:

É óbvio que: w = u + v

Quadrando escalarmente a igualdade vetorial acima, vem:w2 = u2 + 2.u.v + v2

Dos itens (b) e (c) acima, concluímos que w2 = w2 , u2 = u2 , v2 = v2 e u.v = 0 (lembre-se que os vetores u e v são perpendiculares).

Assim, substituindo, vem:w2 = u2 + 2.0 + v2 , ou, finalmente: w2 = u2 + v2 (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos).

Agora, convidamos ao visitante, a deduzir o teorema dos cosenos, ou seja : em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados pelo coseno do ângulo formado entre eles.

Existe uma outra operação elementar definida no espaço R3 , denominada PRODUTO VETORIAL ou PRODUTO EXTERNO, que será objeto de discussão na próxima atualização desta página, prevista para a primeira semana de fevereiro.

Para concluir, vamos resolver algumas questões envolvendo vetores.

1 - Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i - 5 j e v = i + j , pede-se determinar:a) o vetor soma u + vb)o módulo do vetor u + vc)o vetor diferença u - vd)o vetor 3 u - 2 ve)o produto interno u.vf)o ângulo formado pelos vetores u e v

SOLUÇÃO:a)Temos: u = (2, -5) e v = (1, 1). Logo, u + v = (2, -5) + (1, 1) = (3, -4) = 3 i - 4 jb)| u + v| =  32 + 42 =  25 = 5 ou 5 u.c (u.c. = unidades de comprimento). c) u - v = (2, -5) - (1, 1) = (1, -6) = i - 6 jd)3u - 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 je) u.v = 2.1 + (-5).1 = - 3 f) conforme visto acima, teremos que calcular os módulos de u e de v .

Vem:u =  22+(-5)2 =  4+25 =  29 e v =  12+12 =  2Logo, cos = (-3) /  29. 2 = (-3) /  58 = (-3/58). 58  - 0,3939 Então, o ângulo  será igual aproximadamente a 113,19738º , obtido numa calculadora científica.

2 - Dado o vetor no espaço R3, u = x.i + y.j + z.k , deduza a fórmula para o cálculo do módulo u , vista no item 5.

DICA: determine o produto interno u.u , lembrando que os versores i, j, k são perpendiculares dois a dois e, portanto os produtos internos serão nulos. Como u.u = u2, teremos: u = u.u .

No próximo capítulo, resolveremos mais questões e daremos continuidade ao assunto, apresentando PRODUTO VETORIAL.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 10/01/2000

Vetores II

No texto a seguir,os vetores serão indicados através de letras em negrito e os seus módulos, através das mesmas letras sem o negrito.Exemplo: u indicará o módulo do vetor u.Considere dois vetores u e v pertencentes ao espaço R3.Define-se o Produto Vetorial u x v como sendo um terceiro vetor w, com as seguintes características:

a) o módulo de w é w = |u x v| = u.v.senß, onde ß é o ângulo formado pelos vetores u e v.

b) a direção de w é perpendicular ao plano dos vetores u e v.

c) o sentido do vetor w = u x v é dado pela regra da mão esquerda:Dispondo-se os dedos médio e indicador da mão esquerda, apontando no mesmo sentido dos vetores u e v, o dedo polegar apontará o sentido do vetor w.Veja a figura a seguir:Notas importantes:1 – o produto vetorial é também denominado produto externo.2 – do item (c) da definição dada, conclui-se que uxv = -(vxu), ou seja, o produto vetorial é uma operação não comutativa.3 – se ß = 0º, ou seja, os vetores u e v são paralelos, o módulo do vetor w = uxv será w = u.v.sen 0º = u.v.0 = 0 e, portanto, o vetor w = uxv será o vetor nulo.

Observe então que o produto vetorial de dois vetores pode ser nulo, sem que pelo menos um dos vetores seja nulo; basta que eles sejam paralelos.4 – se ß = 90º, ou seja, os vetores u e v são perpendiculares, o módulo do vetor w = uxv será w = u.v.sen90º = u.v.1 = u.v5 – Lembrando dos vetores unitários(ou seja, de módulo igual a 1) do espaço R3, i,j e k, os quais são perpendiculares entre si dois a dois, e, baseados nas notas (3) e (4) acima, podemos escrever as seguintes igualdades relativas aos produtos vetoriais dos vetores unitários i, j e k:

i x i = 0

i x j = k

j x j = 0

j x k = i

k x k = 0

k x i = j

Para melhor entender a tabela acima, basta lembrar que vetores paralelos possuem produto vetorial nulo (todo vetor é paralelo a si próprio e portanto, i // i, j // j e k // k)e também lembrar que os vetores i, j, k são perpendiculares entre si dois a dois.

6 – Vimos em Trigonometria que a área de um triângulo pode ser calculada pelo semi-produto das medidas de dois dos seus lados,pelo seno do ângulo que eles formam, ou seja:

A = 1/2 .a.b.sen ß, onde a e b são as medidas de dois lados e ß é o ângulo formado entre eles, e A é área.

Nestas condições, considere o paralelogramo da figura abaixo:

Então, o triângulo limitado pelos vetores u e v que formam entre si o ângulo ß, terá uma área dada por A = 1/2.u.v.sen ß

A área S do paralelogramo, será evidentemente igual ao dobro da área deste triângulo, ou seja: S = 2.A = u.v.sen ß

Ora, u.v.sen ß é, exatamente, o módulo do produto vetorial uxv, conforme já vimos acima.

Logo, a conclusão final é que:

A área do paralelogramo construído a partir dos vetores u e v , é igual ao módulo do produto vetorial u x v.

Assim,S = |u x v|

Antes de resolver e propor exercícios, temos que aprender a determinar o produto vetorial de dois vetores.

Sejam os vetoresu = (a,b,c) = a.i + b.j + c.kv = (d,e,f) = d.i + e.j + f.k

Suponha que u x v = (x,y,z) = x.i + y.j + z.k

Teremos:x.i + y.j + z.k = (a.i + b.j + c.k) x (d.i + e.j + f.k)

Efetuando as operações indicadas no segundo membro da igualdade acima, vem:x.i + y.j + z.k = a.d.(ixi) + a.e.(ixj) + a.f.(ixk) + b.d.(jxi) + b.e.(jxj) + b.f.(jxk)+ c.d.(kxi) + c.e.(kxj) + c.f.(kxk)

Observando pela tabela anterior que i x i = k x k = j x j = 0,e substituindo acima, vem:x. i + y.j + z.k = a.e.(ixj) + a.f.(ixk) + b.d.(jxi) + b.f.(jxk)+ c.d.(kxi)+ c.e.(kxj).

Observando ainda que: i x j = k, k x i = j, j x k = i,j x i = -k, k x j = -i e i x k = -j, vem, substituindo:x . i + y.j + z.k = a.e.k + a.f.(-j) + b.d.(-k) + b.f.i + c.d.j + c.e.(-i).

Somando os termos semelhantes e arrumando convenientemente, vem:x.i + y.j + z.k = (b.f – c.e).i + (c.d – a.f).j + (a.e – b.d).k

Comparando ambos os membros da igualdade obtida, vem:x = b.f - c.ey = c.d – a.fz = a.e – b.d

Portanto, em resumo, teremos:

Dados os vetoresu = (a,b,c) = a.i + b.j + c.kv = (d,e,f) = d.i + e.j + f.kO produto vetorial u x v será o vetorw = (x,y,z) = x.i + y.j + z.k , onde x, y e z são dados pelas relações acima, ou seja:x = b.f - c.ey = c.d – a.fz = a.e – b.dO resultado acima, pode ser expresso na forma de determinante, conforme abaixo:

Vamos agora resolver o seguinte problema:Calcule a área do triângulo cujos vértices são os pontosA(2,1,-1), B(1,-1,0) e C(-1,1,2).Solução:Considere a figura a seguir:

Como já vimos no capítulo de Vetores I, usando a notação de Grassman para vetores, podemos escrever:

AB = B – A = (1,-1,0) – (2,1,-1) = (-1,-2,1)AC = CA = (-1,1,2) – (2,1,-1) = (-3,0,3)Como já sabemos, o módulo deste vetor, nos dará a área do paralelogramo. A área do triângulo, será então, a metade da área deste paralelogramo.

Teremos:

Módulo do vetor AB x AC :Portanto, a área do paralelogramo é igual a  6Então, a área do triângulo será a metade, ou seja:3Cujo valor aproximado é 4,2.A área do triângulo vale então aproximadamente 4,2 unidades de área ou 4,2 u.a.Agora, resolva este:Determine a área do triângulo de vértices P(3,2,4), Q(1,1,1)e R(2,1,0).

Resposta: aproximadamente 2,6 u.a.Nota: as figuras foram executadas pelo meu filho Rafael C. Marques, 14.

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