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MATEMÁTICA TECNOLÓGICA – JANEIRO / 2009

O cálculo integral é a matemática da variação e do movimento. Onde há movimento ou crescimento, onde atuam forças produzindo aceleração, o cálculo é o instrumento matemático adequado. O cálculo é um conjunto de processos matemáticos que diferem dos processos algébricos comuns porque, introduzem uma operação nova: a passagem de limites.

Um grande matemático do séc. X, John von Heumann (1903 – 1957), escreveu:

“O cálculo foi a primeira conquista da matemática moderna, e é difícil subestimar sua importância; define, de maneira mais precisa do que qualquer outra coisa, o marco inicial da matemática moderna, e o sistema o sistema de análise matemática – seu desenvolvimento lógico – ainda constitui o maior avanço técnico do pensamento exato.”

Do modo geral, podemos definir um infinitésimo como sendo uma quantidade variável que pode tornar-se menor que qualquer arbitrariamente pequena. Com base neste conceito e em suas propriedades desenvolveu-se toda uma rigorosa Teoria dos Limites.

Para derivar uma função dada podemos estabelecer uma regra geral, que consiste em determinar o limite da razão ∆y /∆x quando ∆x tende a zero (∆x 0). Para tanto tomemos uma função y = f(x), dando a x um acréscimo ∆x, y sofrerá um acréscimo ∆y e teremos conforme figura-1.

y1 + ∆y = f(x1 + ∆x) y1 = f(x1) da figura-1 temos:

dividindo por ∆x e tomando o limite quando ∆x 0 vem:

lim(1)

f x x f xdy

que é a inclinação da secante PQ (figura-1). A notação dy/dx simboliza “derivada, em relação a x, de.”

Exemplo-1

Calcular dy/dx para a função yx=, x<0.

Fig.-1: Derivada de uma função

Seja yx= dando um acréscimo ∆y e ∆x temos yx∆∆+=+ x xyx x x ∆ ∆∆ ∆

x x x 1

portanto temos:

dy y 1 1 lim lim

Inspirado inicialmente pelo problema das áreas, sua generalização constituiu um dos mais importantes avanços da ciência, que colocou nas mãos dos pesquisadores, talvez o mais usado de seus instrumentos. A significação matemática da palavra “integrar”, será amplamente ilustrada quando formos calcular áreas limitadas por curvas, volumes de vários sólidos, comprimento de curvas, centro de gravidade, etc., ou seja, integrar é “achar uma função cuja a derivada é dada”. Seja, portanto, determinar a área da figura-2.

O valor desta área denomina-se por definição, a integral da função f(x) entre o intervalo a e b. Se chamarmos de A esse valor, podemos representar essa operação pela expressão.

a A f x dx= ò

Fig.-2 Determinação de área onde dx representa o infinitésimo tomado como base e mais comumente chamado de diferencial de x. Os símbolos ∫ , dx e o nome integral, foram propostos pelo matemático

Leibniz (1646 – 1716) para representar simbolicamente a maneira pela qual se obteve o Limite.

O Teorema da Média ou Teorema do Valor Intermediário define-se como: seja f uma função contínua, positiva, em a ≤ x ≥ b. Seja ∫ num intervalo de a até b, a área sob o gráfico de f no referido intervalo. Então existe ao menos um número c entre a e b tal que:

fc ba=-ò(2)
Seja portanto m e M o mínimo e o máximo respectivamente de f no domínio ab.

a Então temos:

b b

m baMbaou mM

Para calcular a área no intervalo a, b (figura-3), consideremos uma abscissa qualquer, x, entre o intervalo a e b, a área, x x x

e a áreaonde x0∆∆+

Fig.-3: Incremento da função área ò

Deduziremos uma equação diferencial para a função área x

Seja x a 0=ò, nos permitira calcular a área a qualquer x e, em particular, de a até b.

A área do gráfico será: c b b x x x x x

a c a a x a ou de modo que:

x x x x x x

a a a x

++æö÷ç÷ç=-=÷ç÷ç÷çèøòòòò(3)

então pela equação (2): () x x

(4)

onde c é um número entre x e x + ∆x que deve portanto tender para x quando ∆x 0. Combinando (3) e (4), e dividindo por ∆x vem:

( )x a f cx

portanto, x x

a a x 0 c x lim lim fcfx dx x® ® onde decorre do fato de ser f contínuo. Assim se F(x) é uma integral qualquer de f(x)dx temos:

0F(a)ccF(a) e==+=-®ò

a F(x)F(a) fazendo x = b vem:=-ò

F(b)F(a)=-ò(7)

As equações (6) e (7), resumem o método para achar, por integração, a área sob uma curva. Se a equação da curva é y = f(x), integramos f achando:

F(x) + c = ∫f(x)dx(8)

no intervalo a ≤ x ≤ b teremos:

F(x)F(b)F(a)==-ò(9)

Exemplo-2

Determinar a área delimitada pela parábola cuja equação é y=x2 – 4, conforme figura-4.

f(x) = x2 – 4 intervalo do gráfico a = 2 e b = -2, portanto

1-CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE DUAS CURVAS

Supondo que: y1 = f1(x) e y2 = f2(x), define duas funções de x contínua em a≤x≤b.

Então a curva y1 esta acima da curva y2 desde de a até b (figura-5). Consideremos o problema de determinar a área da porção de superfície plana delimitada acima pela curva y1, abaixo pela curva y2 e, dos lados pelas retas x = a e x = b. Dividiremos o intervalo-x desde a até b, em n subintervalos iguais, cada um de largura ∆x = (b – a)/n, e utilizaremos um retângulo de largura ∆x e cuja altura é um segmento retilíneo, perpendicular ao eixo y2 e a curva y1, como aproximação da porção da área entre

as curvas compreendida en- ter x e x + ∆x. A área de tal retângulo é:

Obtém-se uma aproximação da área total somando-se as áreas de todos esses retângulos.

1 2a A f x f x x∆é ù» -ë ûå

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