Apostila de Concreto Armado I

Apostila de Concreto Armado I

(Parte 7 de 9)

Ao dividir todos os termos da equação (2.8), de equilíbrio em termos de momentos, por uma quantidade que tem a mesma dimensão de um momento, como o termo fc.b.d2, obtém-se uma equação de equilíbrio em termos adimensionais, que depois de substituído o valor de

Rcc=fc.b.y e cancelados os valores iguais no numerador e denominador fica:

d'1

bdf σ'A'K'K c

sds(2.10)

Onde:

c d bdf

MK=(2.1)

é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor solicitante (externo) de cálculo;

2d y1dy bdf

2 ydbyf é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor resistente (interno) de cálculo, devido ao concreto comprimido. O terceiro termo de (2.10) mede a intensidade do momento fletor resistente (interno) de cálculo, devido à armadura A’s comprimida.

Na equação (2.12), α é o valor da profundidade relativa da linha neutra referente ao diagrama retangular simplificado de tensões no concreto, ou seja:

α = (y/d) = 0,8 . (x/d) = 0,8 . ξ(2.13)

A equação (2.12) representa uma equação do segundo grau em α e ,portanto, conforme (2.13), em função da incógnita x (profundidade da linha neutra), que depois de resolvida fornece entre as duas raízes do problema, o seguinte valor possível:

Voltando-se à equação (2.10), multiplicando-se e dividindo-se o último termo simultaneamente por fyd, obtém-se a expressão para o cálculo da armadura comprimida A’s:

d'1

K'Kf bdfA' yd cs ÷−

−=(2.15)
φ = σ’sd / fyd ≤ 1(2.16)

Onde φ representa o nível de tensão na armadura comprimida, dada por: A partir da equação de equilíbrio (2.9) determina-se a armadura de tração As dada por:

yd sdsyd s f σ'A'f

byfA+=(2.17)

Multiplicando-se e dividindo-se simultaneamente o segundo termo de (2.17) por d e substituindo a relação σ’sd / fyd do terceiro termo pela equação (2.16), obtém-se:

φA'dyf bdfA s

cs+=(2.18)
As = As1 + As2(2.19)

De (2.13) e (2.14) sabe-se que (y/d) = α = 1 – (1 – 2.K’)1/2 que levado em(2.18) fornece: com

cs1−−=)(2.20)

d'1

K'Kf bdfφA'A yd c ss2

−==(2.21)

Uma vez calculada a armadura As, com sua parcela As2 pode-se obter a armadura A’s dada por:

A’s = As2 / φ(2.2)

As expressões (2.19) a (2.2) são as utilizadas para o cálculo à flexão de vigas com seção retangular.

A armadura de compressão A’s nem sempre é necessária para equilibrar o momento externo

Md (representado adimensionalmente por K), que nesse caso será equilibrado internamente apenas pelo momento devido ao concreto comprimido (representado adimensionalmente por

K’). A única possibilidade matemática de se ter armadura A’s nula e conseqüentemente também As2, é fazer em (2.15) ou em (2.21) K = K’. Essa igualdade tem uma explicação física coerente com a situação de armadura simples (sem armadura de compressão), ou seja:

- quando o momento externo Md, (K), for equilibrado pelo momento interno devido ao concreto comprimido, (K’), isto é K = K’, não é necessário armadura de compressão.

Conforme visto anteriormente na equação (2.6), a máxima profundidade relativa da linha neutra para se ter seção subarmada ou normalmente armada é a correspondente ao limite do domínio 3. Com essa profundidade limite obtém-se o máximo momento interno resistente

K’L, que deve ser equilibrado pelo momento externo limite KL. Para essa situação limite, a partir da equação (2.12), obtém-se:

KL = K’L = αL (1 - αL / 2)(2.23)
αL = (y/d)L = 0,8.(x/d)L = 0,8 . ξ3,lim(2.24)

Com 37

O valor de ξ3,lim depende do tipo de aço empregado, assim como as outras grandezas da tabela 2.1 abaixo.

Tabela 2.1 – Valores de KL sem a consideração da dutilidade

Aço fyd

(kN/cm2) εyd (‰) ξ3,lim

(x/d)3,lim αL KL

CA-25 21,74 1,035 0,772 0,617 0,427 CA-50 43,48 2,070 0,628 0,503 0,376

CA-60 52,17 2,484 0,585 0,468 0,358

A relação ξ = (x/d), além de satisfazer ao limite estabelecido em (2.6), que gerou a tabela 2.1, deve também atender aos limites fixados pela NBR 6118 em 14.6.4.3, para melhoria da dutilidade, que fixa a profundidade relativa limite em:

(2.25)

ξlim = (x/d)lim ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa ξlim = (x/d)lim ≤ 0,40 para concretos com fck ≤ 35 MPa

Observando-se a tabela 2.1 nota-se que todos os valores de ξ3,lim são superiores aos das equações (2.25) e que, portanto, para se atender às prescrições de melhoria de dutilidade das vigas deve-se ter os seguintes valores de KL da tabela 2.2, que agora não mais dependem do tipo de aço, mas sim apenas se a resistência fck do concreto é inferior ou não a 35 MPa.

Tabela 2.2 – Valores finais de KL, com a consideração da dutilidade fck KL

≤ 35 MPa 0,320

> 35 MPa 0,269

Md,L = KL . (fc.b.d2)(2.26)

A partir da equação (2.1) e considerando os valores limites da tabela 2.2, obtém-se: 38 bfK Md

dL=(2.27)

onde:

• Md,L é o máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples • dL é a altura útil mínima necessária para resistir ao Md com armadura simples

Caso o momento de cálculo atuante seja maior que Md,L ou ainda que a altura útil seja menor que dL,o que significa em ambos, K > KL, torna-se necessário para o equilíbrio a armadura de compressão A’s. Essa situação, com a utilização simultânea de armadura de tração As e de compressão A’s, caracteriza seções dimensionadas à flexão com armadura dupla.

Conforme já citado a superarmação deve sempre ser evitada, principalmente por ser antieconômica. Na situação de armadura dupla para os valores da tabela 2.2, caso se pretenda absorver um momento solicitante superior ao Md,L apenas com armadura de tração, isso não significa necessariamente peças superarmadas. Já com os valores da tabela 2.1, caso a mesma situação ocorra e seja possível o equilíbrio apenas com armadura simples (só As), essa seção será obrigatoriamente superarmada, uma vez que os limites da tabela 2.1 referem-se ao final do domínio 3.

Na situação de armadura dupla K > KL (Md > Md,L), basta fazer nas equações de dimensionamento à flexão em seções retangulares, equações (2.19) a (2.2), K’ = KL. Essa igualdade significa fisicamente que o momento interno resistente referente ao concreto comprimido K’ é igual ao máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples

KL. Essa parcela do momento total será resistida pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada As1. A diferença (Md – Md,L), que em termos adimensionais fica (K – KL), será absorvida pela parcela da armadura de tração As2 e pela armadura de compressão A’s.

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