Apostila de Cálculo I

Apostila de Cálculo I

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Notações

O conjunto de números B dos quais dependem do conjunto A de onde temos , estabelecemos o par de números , ou simplesmente:

Este é chamado de par ordenado. Sendo também a representação dos valores de , então podemos dizer que:

Sendo o valor de quando definido pelas operações em . Faixas 6Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo:

Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extremos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma:

Também é comum usar colchetes invertidos para extremos abertos:

Operações com funções

Consideremos duas funções f e g; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que:

Sendo D(f) o domínio da função f e D(g) o domínio da função g, o domínio da função resultante das operações acima é sempre:

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Limites Breve explanação:

Vejamos o gráfico a seguir:

Figura 1 O gráfico representa a função:

Esta função apresenta um valor indefinido quando , o que nos leva a , porém se fizermos temos ; se agora

fizermos teremos ; depois fazendo teremos

; portanto quando nós aproximamos x de 6 aproximamos y de 1. Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6,

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então se tivermos teremos ; e para

teremos ; finalmente, se teremos e vemos que o mesmo acontece, o que isto quer dizer? O que acontece é que quando aproximamos x de 6, y se aproxima de 1, o que indica uma tendência de se igualar a 1, ou seja quando x se aproxima de 6 de forma a alcançar o limite entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente também faz com que y alcance o número mais próximo de 1 possível, então dizemos que: se f(x) = y então, o limite de f(x)quando x tende a 6 é igual a 1.

Isto é comumente representado, pela seguinte notação:

Definição

Seja a função f(x), onde , se é um número em seu domínio, existe um número δ, tal que:

e sendo f(a), definido ou não, um número que tende a L, se existe um número ε, tal que:

e quando diminuimos δ até que não seja mais possível distingüir de ,embora eles sejam infinitesimalmente diferentes, tenhamos um ε

correspondente, então L é o limite de f(x) quando tende a . Adotamos a seguinte notação:

E de forma geral definimos que:

Se então quando

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Propriedades

Teoremas: T1 - (Unicidade)

See então:

Demonstração:

Proponhamos que: Logo teremos que admitir:

havendo uma diferença: Da desigualdade triangular:

Se tivermos um δ que seja englobado nas condições:

Teremos observado que:

Como podemos arbitrar ε, teríamos:

fazendo Que é contraditório, portanto:

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Wikilivros, livre pensar e aprender T2 - (Soma e diferença)

Demonstração:

Tomando: e , devemos , pela definição, provar que:

Posto que: ,

Podemos arbitrar: e pela desigualdade triangular:

como: , logo:

Temos como afirmar que a diferença também pode ser calculada da mesma maneira, pois as funções não estão restritas a valores positivos na demonstração acima.

T3 - (Produto)

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